2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение20.11.2017, 12:32 


21/02/16
372
deep down в сообщении #1266309 писал(а):
На всякий случай уточню - Вы теперь можете записать "определение 3 $\Rightarrow$ определение 2" на языке $\varepsilon$ и $N$?

Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 3.
Пусть $(x_n)$ - последовательность элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящаяся к $a$. Возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и возьмем $\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. По определению предела последовательности, начиная с некоторого номера, $x_n\in\dot{U}_\delta(a)$ и, следовательно, $f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$.
Таким образом доказано, что для любого $\varepsilon>0$ почти все члены последовательности $(f(x_n))$ содержатся внутри $U_\varepsilon(b)$, что по определению означает $(f(x_n))\to b$ и выполнение определения 2.

-- 20.11.2017, 12:58 --

deep down в сообщении #1266309 писал(а):
Задачу 2 для закрепления техники решите повторно - на этот раз в терминах $\varepsilon$-$\delta$.

Мне определенно нравятся Ваши доп.вопросы!
irod в сообщении #1265989 писал(а):
Задача 2.
Доказать единственность предела.

Пусть $b\neq c$ -- пределы функции $f$ при $x\to a$ по определению 3. Возьмем произвольный $\varepsilon$ такой, что $0<\varepsilon<\frac{|b-c|}{2}$. Пусть $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$, где положительные $\delta_1,\delta_2$ такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_1}(a)$ выполнено $f(x)\in U_\varepsilon(b)$, и $\forall y\in\dot{U}_{\delta_2}(a)$ выполнено $f(y)\in U_\varepsilon(c)$. Тогда $\forall z\in\dot{U}_\delta(a)$ одновременно выполнено $f(z)\in U_\varepsilon(b)$ и $f(z)\in U_\varepsilon(c)$, что невозможно, т.к. $U_\varepsilon(b)$ и $U_\varepsilon(c)$ не пересекаются. Это противоречие доказывает единственность предела функции при стремлении аргумента к одному и тому же числу.

-- 20.11.2017, 13:07 --

И пока я домучиваю модуль в 7.б, выложу следующую готовую

Задача 8.
Привести пример функции на $\mathbb{R}$, которая в точке $a$:

а) не имеет предела ни слева, ни справа.
Пример: $\frac{1}{x-a}$ (см. график -- гиперболу $\frac{1}{x}$, сдвинутую на $a$ по $Ox$).

б) имеет предел слева, но не имеет предела справа.
Пример: $
f=
\begin{cases} 
\frac{1}{x-a} & \mbox{при } x>a, \\
1 & \mbox{при } x\leq a
\end{cases}
$

в) имеет разные пределы слева и справа.
Пример: $
f=
\begin{cases} 
1 & \mbox{при } x>a, \\
0 & \mbox{при } x\leq a
\end{cases}
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение20.11.2017, 13:53 


21/02/16
372
Ну и следующую сразу, она простая.

Определение 6.
Функция $f$ называется бесконечно малой в точке $a$, если предел этой функции в точке $a$ равен нулю.

Задача 9.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=b$ тогда и только тогда, когда функция $f$ представима в виде $f(x)=g(x)+b$, где функция $g$ - бесконечно малая в точке $x_0$.

Доказательство в обе стороны следует из эквивалентности неравенств $|f(x)-b|<\varepsilon\Leftrightarrow |g(x)|<\varepsilon$, или другими словами, $f(x)\in U_\varepsilon(b)\Leftrightarrow g(x)\in U_\varepsilon(0)$ для произвольного $\varepsilon>0$, где $g(x)=f(x)-b$. Подставив это в определение 3, получим $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=b\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение21.11.2017, 04:00 


16/06/14
96
Всё верно. Для самоконтроля можете ещё раз прочитать условия задач и убедиться, что сразу возникает чёткое понимание, как её решать.
И в чём затруднение с модулем? Там достаточно применить несколько равенств вроде $|x-a|=|a-x|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение21.11.2017, 16:04 


21/02/16
372
deep down в сообщении #1267441 писал(а):
Там достаточно применить несколько равенств вроде $|x-a|=|a-x|$.

Вот с этой подсказкой получилось, до этого я вообще не в ту степь ушел (пытался на интервалы разложить).

Задача 7.б.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$.

Доказательство.
По свойствам модуля, $|x-3|=|x+3|$. Следовательно,
$$
|x-3|<\delta\Leftrightarrow|x-3||x+3|=|x^2-9|<\delta^2,
$$
где $\delta>0$ -- произвольное число.
Таким образом, $\forall\varepsilon>0$ берем $\delta=\sqrt{\varepsilon}$, тогда $\forall x\in\dot{U}_\delta(3)$ выполнено $x^2\in U_\varepsilon(9)$.

-- 21.11.2017, 16:06 --

Задача 10.
Пусть области определения функций $f$ и $g$ совпадают, $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=b$. Тогда
а) $\forall c\in\mathbb{R}\ \lim\limits_{x\to x_0}cf(x)=ca$;
б) $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=a\pm b$;
в) $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)g(x))=ab$;
г) если $b\neq 0$, то $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}$.

Доказательство всех пунктов следует из соответствующих утверждений для предела последовательности (задача 3 листка 12), примененных к последовательностям значений $f$ и $g$ из определения 2 (в пункте а) рассматриваем последовательность $(cf(x_n))$ как $(c_n\cdot f(x_n))$, где $c_n=c$ для всех $n$, и применяем пункт б) задачи 3 листка 12).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение21.11.2017, 16:06 


21/05/16
1043
Аделаида
irod в сообщении #1267578 писал(а):
По свойствам модуля, $|x-3|=|x+3|$.

Что???? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение21.11.2017, 16:07 


21/02/16
372
Задача 11.
Найти
а) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}$

Решение.
Т.к. по определению предела функции $x\neq 0$, на него можно сократить. Сократим числитель и знаменатель на $x^2$ и применим задачу 11:
$$
\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+3x^2}{3+x^2}=\frac{1}{3}.
$$

б) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}$

Решение.
Из любой $(x_n)\to\infty$ можно выбросить нулевые члены (их может быть лишь конечное число), стремление к $\infty$ при этом сохранится. Значит на $x$ снова можно сократить. Сократим числитель и знаменатель на $x^4$ и применим задачу 11:
$$
\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^2}+3}{\frac{3}{x^2}+1}=3.
$$

-- 21.11.2017, 16:10 --

kotenok gav в сообщении #1267582 писал(а):
irod в сообщении #1267578 писал(а):
По свойствам модуля, $|x-3|=|x+3|$.

Что???? :shock:

Ой :facepalm: Кажется фигня получилась. Исправлю.

-- 21.11.2017, 16:18 --

Задача 12.
Пусть функции $f,g$ и $h$ определены на множестве $M$, для любого $x\in M$ имеют место неравенства $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$, и $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to a}h(x)=b$. Тогда $\lim\limits_{x\to a}g(x)=b$.

Доказательство следует из соответствующего утверждения для предела последовательности (принцип двух милиционеров, задача 5 листка 12), примененного к последовательностям значений $f,g,h$ из определения 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение23.11.2017, 16:48 


21/02/16
372
irod в сообщении #1267578 писал(а):
Задача 7.б.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$.

Доказательство.

Для установления зависимости между $\varepsilon$ и $\delta$ сначала зададим $\delta>0$ такое, что $|x-3|<\delta$, и найдем $\varepsilon(\delta)$ такой, что $|x^2-9|<\varepsilon$.
Используем следующие свойства модуля (взяты из Википедии):
$$
|ab|=|a||b| \ \mbox{(1)},
$$
$$
|a+b|\leq|a|+|b| \ \mbox{(неравенство треугольника) (2).}
$$
По свойству (2),
$$
|x|=|x-3+3|\leq|x-3|+3\leq\delta+3,
$$
и значит
$$
|x+3|\leq|x|+3\leq\delta+6.
$$
Далее, по свойству (1), $$
|x^2-9|=|x-3||x+3|\leq\delta(\delta+6).
$$
Таким образом, для произвольного положительного $\varepsilon<1$ берем положительное $\delta<\varepsilon/12$, тогда $\delta^2+6\delta<\varepsilon$, что означает что $\forall x\in\dot{U}_\delta(3)$ выполнено $x^2\in U_\varepsilon(9)$.

-- 23.11.2017, 16:52 --

Перед задачей 13 хочу дополнить свое решение задачи 3, дав определение предела слева (справа) через предел последовательности (в стиле определения 2).
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой множества $M\cap\{x\mid x<a\}$ ($M\cap\{x\mid x>a\}$). Число $b$ называется пределом слева (справа) функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\cap\{x\mid x<a\}$ ($M\cap\{x\mid x>a\}$), сходящейся к $a$, последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$.

Задача 13.
Функция, монотонная на интервале $]a,b[$, имеет предел как слева, так и справа в каждой точке этого интервала.

Доказательство.
Пусть функция $f$ монотонна на $]a,b[$.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$.
Из любой последовательности $(x_n)\to x_0$ из чисел интервала $]a,x_0[$ можно выделить монотонно возрастающую подпоследовательность $(x_k)$ (задача 7 листка 12), которая также будет сходиться к $x_0$ (задача 10 листка 11). Последовательность $(f(x_k))$ является монотонной, т.к. $f$ и $(x_k)$ монотонны. $(f(x_k))$ также является ограниченной, т.к. она ограничена числами $f(x_0)$ и $f(x)$, где $x\in]a,x_0[$, сверху и снизу (или наоборот - в зависимости от вида монотонности $f$). Следовательно, $(f(x_k))$ сходится (задача 9 листка 12). Аналогично, для любой монотонно убывающей подпоследовательности $(y_k)$ последовательности $(y_n)\to x_0$ из чисел интервала $]x_0,b[$ последовательность $(f(y_k))$ является монотонной (если $f$ монотонно неубывающая, то $(f(y_k))$ монотонно невозрастающая, и наоборот) и ограниченной, и следовательно, сходится.

-- 23.11.2017, 16:54 --

Задача 14.
Дать определение функции, стремящейся к $\infty$ при $x$, стремящемся к $a$.

Ответ.

Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества.
Определение через предел последовательности (в стиле определения 2). $f$ стремится к $\infty$ в точке $a$, если для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящейся к $a$, последовательность $(f(x_n))$ стремится к $\infty$.
Определение на языке $\varepsilon$-$\delta$: $f$ стремится к $\infty$ в точке $a$, если $\forall C\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $|f(x)|>C$.
Обозначение: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ (или $f(x)\to \infty$ при $x\to a$).

-- 23.11.2017, 16:54 --

Задача 15.
Пусть функция $f$ не обращается в ноль в некоторой окрестности точки $a$. Доказать, что $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ тогда и только тогда, когда $\lim\limits_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=0$.

Доказательство следует из аналогичного утверждения для предела последовательности (задача 4 листка 12), примененного к последовательности значений $f$ из определения 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение23.11.2017, 19:11 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
irod в сообщении #1268374 писал(а):
Функция, монотонная на интервале $]a,b[$, имеет предел как слева, так и справа в каждой точке этого интервала.

Доказательство.
Пусть функция $f$ монотонна на $]a,b[$.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$.
Из любой последовательности $(x_n)\to x_0$

В данном случае отсылка к Гейне излишня. Доказывайте в лоб -- что $\sup\limits_{x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ и что $\inf\limits_{x>x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$. В лоб, исходя непосредственно из определений точных границ и односторонних пределов, с учётом монотонности. Это лучше потому, что даёт полезную дополнительную информацию и, кроме того, подчёркивает возможную недостижимость каждого из предельных значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение23.11.2017, 22:54 


16/06/14
96
ewert говорит правильно. Подпоследовательности нужны далеко не всегда. Сначала старайтестесь решить без них.
И в примерах сложнее, чем 7.6 можно заранее выбирать $\delta<1$, тогда $|x+3|<7$. И оценку можно сделать раньше, чтобы тащить её через меньшее количество формул.
Ещё наблюдение с "качественной" точки зрения. Если существует $\lim_{x\to 0}f(x)$, то $f$ ограничена в некоторой окрестности нуля (докажите это). Теперь смотрим на сомножители: $x-3$ бесконечно малая, $x+3$ ограничена. Значит, произведение тоже бесконечно мало (сформулируйте и докажите это утверждение в общем случае).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение28.11.2017, 13:49 


21/02/16
372
ewert в сообщении #1268409 писал(а):
Доказывайте в лоб -- что $\sup\limits_{x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ и что $\inf\limits_{x>x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$.

Простая и красивая идея, спасибо!
irod в сообщении #1268374 писал(а):
Задача 13.
Функция, монотонная на интервале $]a,b[$, имеет предел как слева, так и справа в каждой точке этого интервала.
Пусть функция $f$ монотонно не убывает на $]a,b[$.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$ и предположим, что $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ существует и равен $c$. Из определения (3) предела следует, что $\forall\varepsilon>0\ \exists x\in]a,x_0[$ такое, что $c-\varepsilon<f(x)$. Из монотонного неубывания $f$ на $]a,b[$ следует, что $f(x)\leq c$ для любого $x\in ]a,x_0[$. Таким образом, $c$ является наименьшей верхней гранью множества $\{f(x)\mid a<x<x_0\}$, т.е. $\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$.

Аналогично, $\inf\limits_{b>x>x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$.

$\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)$ и $\inf\limits_{b>x>x_0}f(x)$ существуют согласно аксиоме о точной верхней грани. Следовательно, $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$ существуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение28.11.2017, 14:08 


16/06/14
96
Существование предела Вам надо доказать. Предполагать имеет смысл двух случаях - в доказательствах от противного, либо когда мы хотим догадаться, чему же будет равен предел, если он существует (что Вы, собственно, и проделали).
То есть, из выкладок следует, что если пределы сущствуют, то они будут равны соответствующим $\sup$ и $\inf$. Теперь докажите по определению $\varepsilon-\delta$. Выкладки будут практически те же самые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение28.11.2017, 14:48 


21/02/16
372
deep down
Тогда меняю этот кусок:
irod в сообщении #1269883 писал(а):
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$ и предположим, что $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ существует и равен $c$. Из определения (3) предела следует, что $\forall\varepsilon>0\ \exists x\in]a,x_0[$ такое, что $c-\varepsilon<f(x)$. Из монотонного неубывания $f$ на $]a,b[$ следует, что $f(x)\leq c$ для любого $x\in ]a,x_0[$. Таким образом, $c$ является наименьшей верхней гранью множества $\{f(x)\mid a<x<x_0\}$, т.е. $\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$.

на следующий.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$. Из монотонного неубывания $f$ на $]a,b[$ следует, что множество $\{f(x)\mid a<x<x_0\}$ ограничено, и его супремум $c$ достигается с ростом $x$, т.е. $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in]x_0-\delta,x_0[$ выполнено $f(x)\in U_\varepsilon(c)$. Это по определению 3 означает, что $\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение28.11.2017, 16:22 


21/02/16
372
deep down в сообщении #1268483 писал(а):
Если существует $\lim_{x\to 0}f(x)$, то $f$ ограничена в некоторой окрестности нуля (докажите это).

Формально: надо доказать, что множество $\{f(x)\mid x\in U_\delta(0)\}$ ограничено для некоторого $\delta>0$.
Ограниченность множества можно рассматривать как принадлежность всех элементов этого множества некоторой окрестности некоторой точки.
$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=a$ по определению означает, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(0)$ выполнено $f(x)\in U_\varepsilon(a)$ для любого $\varepsilon>0$ и соответствующего $\delta>0$. Это и означает ограниченность множества соответствующих значений $f$.

-- 28.11.2017, 16:35 --

deep down в сообщении #1268483 писал(а):
Теперь смотрим на сомножители: $x-3$ бесконечно малая, $x+3$ ограничена. Значит, произведение тоже бесконечно мало (сформулируйте и докажите это утверждение в общем случае).

Утверждение: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность бесконечно мало.
Доказательство.
Пусть $(x_n)$ ограничена числом $c$, $(\alpha_n)$ бесконечно мала.
Тогда $-c\cdot\alpha_n\leq x_n\cdot\alpha_n\leq c\cdot\alpha_n$. Левая и правая части стремятся к нулю (задача 3.б листка 12), значит средняя часть также стремится нулю (принцип двух милиционеров).

-- 28.11.2017, 16:56 --

Не, я прошу прощения, на самом деле утверждение должно быть такое: если функция $f$ бесконечно мала при $x\to a$, а функция $g$ ограничена, то функция $fg$ бесконечно мала при $x\to a$.
Для доказательства можно использовать задачу 10.а этого листка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение29.11.2017, 13:36 


16/06/14
96
Теперь хорошо. Остались помарки и придирки.
irod в сообщении #1269908 писал(а):
его супремум $c$ достигается с ростом $x$, т.е.

Обычно говорят "достигается", когда у функции есть максимум и существует $x_M: f(x_M) = \sup f$. Хотя понятно, что Вы имели в виду. Вместо $\delta$ в данном случае уместно было бы явно написать, что существует такой $x_\varepsilon<x_0$, что $c-\varepsilon<f(x_\varepsilon)\le c$.
irod в сообщении #1269929 писал(а):
для любого $\varepsilon>0$ и соответствующего $\delta>0$. Это и означает ограниченность множества соответствующих значений $f$.

Тут тоже лучше явно сказать: возьзмём какое-нибудь $\varepsilon$, тогда найдётся интервал ... (дальше как у Вас).

irod в сообщении #1269929 писал(а):
Для доказательства можно использовать задачу 10.а этого листка.

10.а недостаточно - там функция строго констатная. Лучше докажите напрямую.
И ещё совет - в выкладках используйте определение 3. Последовательнось обычно появляется в доказательствах от противного (когда предполагаем, что предела нет и найдётся соответствующая последовательность). И при $\varepsilon-\delta$ лучше видно поведение функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение29.11.2017, 14:00 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков

(Оффтоп)

irod в сообщении #1269929 писал(а):
принцип двух милиционеров
Хорошая картинка есть в книге Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике:
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group