2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 16:11 


21/02/16
477
Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
В этой теме - листок 15, делаю его параллельно с предыдущим.
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах. Помимо всего прочего, буду благодарен за замечания по стилистике доказательств.

Определение 1.
Множество $\dot{U}_\varepsilon(a)=U_\varepsilon(a)\setminus\{a\}$ называется проколотой $\varepsilon$-окрестностью точки $a$.

Определение 2.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества. Число $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящейся к $a$, последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ (или $f(x)\to b$ при $x\to a$).

Определение 3.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества. Число $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$.


Задача 1.
Доказать равносильность определений 2 и 3.

Уже долго бьюсь с этим доказательством, ощущение что хожу вокруг да около, и все чего-то не хватает. Прошу помощи.
Мои мысли следующие.
Из условий обоих определений (из предельности $a$) следует существование сходящейся к $a$ последовательности из элементов множества $M\setminus \{a\}$, т.е. $\forall\delta>0$ внутри $U_\delta(a)$ содержится бесконечно много элементов $M\setminus \{a\}$.
Из обоих определений следует, что последовательность значений функции $f$, сходящаяся к $b$, существует.
Теперь определения с доп. комментариями.
Определение 2: ... для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящейся к $a$ (а такая последовательность существует), последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$ (и последовательность $(f(x_n))$ обязательно существует, раз существует $(x_n)$). В этом определении для любого $\delta$ существует $\varepsilon$..., т.е. имеем зависимость $\varepsilon(\delta)$, причем делая $\delta$ сколь угодно малым, соответствующий $\varepsilon$ тоже сколь угодно близко приближается к нулю.
Определение 3: ... $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ (а таких $x$ существует бесконечно много, и из них можно составить последовательность, сходящуюся к $a$) выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Приближая $\varepsilon$ сколь угодно близко к нулю, получим сходящуюся к $b$ последовательность значений $f$, при этом соответствующая последовательность аргументов будет содержаться внутри соответствующей $U_\delta(a)$. В этом определении для любого $\varepsilon$ существует $\delta$..., т.е. имеем зависимость $\delta(\varepsilon)$, но неочевидно что с уменьшением $\varepsilon$ уменьшается и $\delta$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 16:28 
Заслуженный участник


16/02/13
3198
Владивосток
irod в сообщении #1265248 писал(а):
для любого $\delta$ существует $\varepsilon$..., т.е. имеем зависимость $\varepsilon(\delta)$, причем делая $\delta$ сколь угодно малым, соответствующий $\varepsilon$ тоже сколь угодно близко приближается к нулю
Во-первых, недопол, при чём тут $\varepsilon(\delta)$. Нам же надо как раз таки $\delta(\varepsilon)$, не?
Во-вторых, последовательностей может оказаться бесконечно много, это всё усложняет.
В-третьих, что вы, собственно, доказываете? Не, я, конечно, понимаю, равносильность доказывается выведением одного из другого и наоборот. Но вот конкретно что и в котором паарграфе — не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 16:37 


21/02/16
477
iifat
Я пока ничего не доказываю. Выше просто набор моих мыслей по теме. Связать их в доказательство я пока не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 17:05 


16/08/17
57
Давайте по порядку. Вы можете доказать, что из определения 3 следует определение 2. Это доказывается просто на уровне определений. Конечно, вам нужно знать определение предела последовательности, но, надо полагать, вы его знаете.

Обратное утверждение можно, например, доказать, переходя к противоположному событию. Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, тогда...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 17:08 
Заслуженный участник


16/02/13
3198
Владивосток
teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):
Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$
Точнее говоря, пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$ в смысле определения 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 17:15 


16/08/17
57
iifat в сообщении #1265268 писал(а):
teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):
Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$
Точнее говоря, пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$ в смысле определения 3.

Безусловно. Не дописал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5465
irod в сообщении #1265248 писал(а):
...но неочевидно что с уменьшением $\varepsilon$ уменьшается и $\delta$.
Не только не очевидно, но и совсем не обязательно. С Вас подтверждающий мои слова пример :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 18:55 


21/02/16
477
grizzly в сообщении #1265273 писал(а):
irod в сообщении #1265248 писал(а):
...но неочевидно что с уменьшением $\varepsilon$ уменьшается и $\delta$.
Не только не очевидно, но и совсем не обязательно. С Вас подтверждающий мои слова пример :)

Пусть $f(x)=0$ для всех $x$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ можно брать какой угодно константный $\delta>0$, например $\delta=1$. $a$ тут можно взять любое, $b=0$.
Кажется до меня дошло. Если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$, то никто не мешает нам брать для своих целей еще меньшую дельту, так чтобы при сколь угодном уменьшении эпсилона дельта тоже сколь угодно уменьшалась. Верно?
teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):
Давайте по порядку. Вы можете доказать, что из определения 3 следует определение 2. Это доказывается просто на уровне определений. Конечно, вам нужно знать определение предела последовательности, но, надо полагать, вы его знаете.

Пусть выполнено определение 3, и пусть $(\varepsilon_n)$ и $(\delta_n(\varepsilon_n))$ -- бесконечно малые последовательности положительных чисел такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ выполнено $f(x)\in U_{\varepsilon_n}(b)$ для любого натурального $n$. Взяв из каждой $\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ произвольный $x_n$, получим сходящуюся к $a$ последовательность $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, такую, что последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Таким образом, выполняется определение 2.
teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):
Обратное утверждение можно, например, доказать, переходя к противоположному событию. Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, тогда...

Попробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.11.2017, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5465
irod в сообщении #1265305 писал(а):
Пусть выполнено определение 3, и пусть $(\varepsilon_n)$ и $(\delta_n(\varepsilon_n))$ -- бесконечно малые последовательности положительных чисел такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ выполнено $f(x)\in U_{\varepsilon_n}(b)$ для любого натурального $n$. Взяв из каждой $\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ произвольный $x_n$, получим сходящуюся к $a$ последовательность $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, такую, что последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Таким образом, выполняется определение 2.
Вот уж нет. Вы просто нашли пример сходящейся последовательности, а не доказали, что любая будет сходиться. Вам нужно было изначально взять любую сходящуюся последовательность $x_n$ и показать, что если определение 3 выполнено, то и значения функции будут сходиться куда нужно.

-- 14.11.2017, 21:23 --

(Пример по моему вопросу привели годный.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение15.11.2017, 10:00 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
irod в сообщении #1265305 писал(а):
Пусть выполнено определение 3, и пусть $(\varepsilon_n)$ и $(\delta_n(\varepsilon_n))$ -- бесконечно малые последовательности положительных чисел такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ выполнено $f(x)\in U_{\varepsilon_n}(b)$ для любого натурального $n$. Взяв из каждой $\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ произвольный $x_n$, получим сходящуюся к $a$ последовательность $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, такую, что последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Таким образом, выполняется определение 2.
teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):
Обратное утверждение можно, например, доказать, переходя к противоположному событию. Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, тогда...

Попробую.

Вот как раз обратное утверждение 2=>3 и доказывается примерно на том языке, который Вы опрометчиво пытались использовать сейчас. Поскольку сводится к тому, что при невыполнении 3 найдётся хоть одна последовательность иксов, плохая для 2. А 3=>2 надо доказывать в лоб, беря произвольную сходящуюся последовательность иксов: по произвольному $\varepsilon$ выбираем сначала подходящую $\delta$ (только не надо их нумеровать, ради бога) и затем по этой $\delta$ -- границу $N$ из определения предела последовательности иксов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение16.11.2017, 17:25 


21/02/16
477
ewert в сообщении #1265430 писал(а):
Вот как раз обратное утверждение 2=>3 и доказывается примерно на том языке, который Вы опрометчиво пытались использовать сейчас. Поскольку сводится к тому, что при невыполнении 3 найдётся хоть одна последовательность иксов, плохая для 2.

Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 2.
Предположим, что определение 3 не выполнено, т.е. $\exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$.
Возьмем произвольное $\delta>0$ и возьмем $x_1\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_1)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Далее, на каждом ($n$-м) шаге уменьшаем $\delta$ вдвое и берем $x_n\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_n)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Получим последовательность $(x_n)\to a$, для которой последовательность $(f(x_n))$ не сходится к $b$. Полученное противоречие доказывает, что из определения 2 следует определение 3.
ewert в сообщении #1265430 писал(а):
А 3=>2 надо доказывать в лоб, беря произвольную сходящуюся последовательность иксов: по произвольному $\varepsilon$ выбираем сначала подходящую $\delta$ (только не надо их нумеровать, ради бога) и затем по этой $\delta$ -- границу $N$ из определения предела последовательности иксов.

Пусть теперь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 3.
Пусть $(x_n)$ - последовательность элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящаяся к $a$. Покажем, что $(f(x_n))\to b$. Сперва найдем подпоследовательность $(f(x_n))$, сходящуюся к $b$, с помощью следующего алгоритма. На первом шаге возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и возьмем $\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Возьмем $f_1=f(x_{n_1})$, где $n_1\in\mathbb{N}$ такое, что $\forall n\geq n_1\ x_n\in\dot{U}_\delta(a)$ (по определению предела последовательности) и, следовательно, $f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$. Далее, на каждом ($k$-м) шаге уменьшаем $\varepsilon$ вдвое, выбираем соответствующую $\delta>0$ по определению 3, и берем $f_k=f(x_{n_k})$, где $n_k$ такое, что $\forall n\geq n_k\ f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$ и $n_k>n_{k-1}$. Получим $(f(x_{n_k}))$ -- подпоследовательность $(f(x_n))$, сходящуюся к $b$. У $(f(x_n))$ нет других предельных точек кроме $b$, потому что вне любой $U_\varepsilon(b)$ находится не более конечного числа членов. Следовательно, $(f(x_n))\to b$, что означает выполнение определения 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение16.11.2017, 18:22 


16/08/17
57
irod в сообщении #1265827 писал(а):
Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 2.
Предположим, что определение 3 не выполнено, т.е. $\exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$.
Возьмем произвольное $\delta>0$ и возьмем $x_1\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_1)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Далее, на каждом ($n$-м) шаге уменьшаем $\delta$ вдвое и берем $x_n\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_n)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Получим последовательность $(x_n)\to a$, для которой последовательность $(f(x_n))$ не сходится к $b$. Полученное противоречие доказывает, что из определения 2 следует определение 3.

Согласен.

irod в сообщении #1265827 писал(а):
Пусть теперь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 3.
Пусть $(x_n)$ - последовательность элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящаяся к $a$. Покажем, что $(f(x_n))\to b$. Сперва найдем подпоследовательность $(f(x_n))$, сходящуюся к $b$, с помощью следующего алгоритма. На первом шаге возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и возьмем $\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Возьмем $f_1=f(x_{n_1})$, где $n_1\in\mathbb{N}$ такое, что $\forall n\geq n_1\ x_n\in\dot{U}_\delta(a)$ (по определению предела последовательности) и, следовательно, $f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$.

А вот теперь объясните, а зачем нужны были все остальные манипуляции? Может можно ещё разок вспомнить про определение предела последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение17.11.2017, 06:48 


21/02/16
477
teleglaz
действительно, остальное лишнее. Доказано, что для любого $\varepsilon>0$ почти все члены последовательности $(f(x_n))$ содержатся внутри $U_\varepsilon(b)$, что по определению означает $(f(x_n))\to b$.

В общем сплоховал я с этой задачей, ставлю себе неуд. Наверное, меня изначально смутила сложность 3-го определения, и я слишком долго вертел его в уме и так и сяк, пытаясь осознать "целиком" всю картину, даже от противного забыл попробовать :(

-- 17.11.2017, 06:54 --

Иду дальше.

Задача 2.
Доказать единственность предела.

Доказательство.
От противного. Пусть $b\neq c$ -- пределы функции $f$ при $x\to a$, и пусть последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$ сходятся к $a$, $(f(x_n))\to b$, $(f(y_n))\to c$.
Сформируем последовательность $(z_n)$, в которой нечетными членами будут идущие по порядку члены $(x_n)$, а четными - идущие по порядку члены $(y_n)$. $(z_n)$ сходится к $a$. У последовательности $(f(z_n))$ есть 2 предельные точки - $b$ и $c$. Следовательно, $(f(z_n))$ не имеет предела, а по определению 2 она должна сходиться. Это противоречие доказывает единственность предела функции при стремлении аргумента к одному и тому же числу.

-- 17.11.2017, 06:58 --

Определение 4.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой множества $M\cap\{x\mid x<a\}$. Число $b$ называется пределом слева функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in ]a-\delta,a[\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon (b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=b$.

Задача 3.
Сформулировать определение предела справа.

Ответ.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой множества $M\cap\{x\mid x>a\}$. Число $b$ называется пределом справа функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in ]a,a+\delta[\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon (b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=b$.

Определение 5.
Пусть функция $f$ определена на неограниченном множестве $M$. Число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $\infty$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists c>0$ такое, что $\forall x\in M$ из $|x|\geq c$ следует $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=b$.

Задача 4.
Сформулировать определения предела функции $f$ при $x$, стремящемся к $+\infty$ ($-\infty$).

Ответ.
Пусть функция $f$ определена на неограниченном множестве $M$. Число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $+\infty$ ($-\infty$), если $\forall\varepsilon>0\ \exists c>0$ ($c<0$) такое, что $\forall x\in M$ из $x\geq c$ ($x\leq c$) следует $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$ ($\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$).

Задача 5.
Перевести определения 3 и 5 с "языка окрестностей" на "язык модулей".

Ответ.

Определение 3'.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества. Число $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что для любого $x\in M$ такого, что $0<|x-a|<\delta$, выполняется условие $|f(x)-b|<\varepsilon$.

Определение 5'.
Пусть функция $f$ определена на неограниченном множестве $M$. Число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $\infty$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists c>0$ такое, что $\forall x\in M$ из $|x|\geq c$ следует $|f(x)-b|<\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение17.11.2017, 13:45 


21/02/16
477
Задача 6.
Пусть функция $f$ имеет предел слева и справа в точке $a$. Доказать, что предел $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ существует тогда и только тогда, когда
$$
\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=\lim\limits_{x\to a+0}f(x).
$$

Доказательство в обе стороны следует из равенства $\dot{U}_\delta(a)=]a-\delta,a[\cup]a,a+\delta[$, согласно которому для любых положительных $\varepsilon,\delta$ условие выполнения $f(x)\in U_\varepsilon(b)$ для любого $x\in\dot{U}_\delta(a)$ эквивалентно условию выполнения $f(x_1)\in U_\varepsilon(b)$ и $f(x_2)\in U_\varepsilon(b)$ для любых $x_1\in]a-\delta,a[,x_2\in]a,a+\delta[$.

-- 17.11.2017, 13:51 --

Задача 7.
Доказать, что

а) $\lim\limits_{x\to 1}(2x+1)=3$

Доказательство.
Возьмем произвольный $\varepsilon>0$.
Имеем следующую цепочку эквивалентностей:
$$
(2x+1)\in U_\varepsilon(3)
\Leftrightarrow
|2x+1-3|<\varepsilon
\Leftrightarrow
|x-1|<\varepsilon/2
\Leftrightarrow
x\in U_{\varepsilon/2}(1),
$$
т.е. для любого $\varepsilon>0$ берем $\delta=\varepsilon/2$, тогда для любого $x\in\dot{U}_\delta(1)$ выполнено $(2x+1)\in U_\varepsilon(3)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение18.11.2017, 01:54 


16/06/14
96
Вот теперь уже лучше.
На всякий случай уточню - Вы теперь можете записать "определение 3 $\Rightarrow$ определение 2" на языке $\varepsilon$ и $N$?
Задачу 2 для закрепления техники решите повторно - на этот раз в терминах $\varepsilon$-$\delta$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group