2 задачи про последовательности

[megatumoxa]

Преподаватель забраковал парочку моих решений, а я никак не могу перерешать их правильно.
1. Исследовать последовательность. Я уже доказал, что последовательность неограниченная и расходящаяся. Имеет пределы $+\infty$ и $-\infty$. Осталось определить, бесконечно большая эта последовательность или нет.
$X_n=(-1)^n\cdot\frac{n^2}{n+1}$
Вот как я решил (что оказалось неправильным решением):
$\forall E>0$ $\exists P_\varepsilon$ $\forall n\in N$ $(n>P_\varepsilon \Rightarrow |X_n|>E)$

$|X_2_k|>E$

Я почему-то решил, что можно оценить нижнюю дробь и убрать единицу.
$\frac{4k^2}{2k}>E$

$k>\frac{E}{2}=P_\varepsilon$

$|X_2_k_+_1|>E$

Здесь я уже добавил единицу в числитель и сократил.
$\frac{(2k+1)^2}{2k+2}>E$

$k>\frac{E-2}{2}=P_\varepsilon$
Если нельзя оценить дробь, то как тогда решить данное задание? Так и оставлять огромные дроби?

2. Исследовать сходимость последовательности, используя теорему о пределе монотонной, ограниченной последовательности. Я доказал, что последовательность монотонно возрастающая. А вот ограниченность доказать не могу.
$\forall n\in N$ $\exists M (x_n \leqslant M)$

Очевидно, что последовательность ограничена двойкой, но как это доказать?
$X_n=1+\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 2^2}+...+\frac{1}{n\cdot 2^n-1}<2=M$

[provincialka]

(1) А зачем вы отдельно четные и нечетные рассматриваете? Все равно же вам нужно $|X_n|$, что равно просто $\frac{n^2}{n+1}$.
Если вы хотите оценить это выражение снизу, то надо заменить его на меньшее, а не на большее. Для этого можно увеличить знаменатель или (что удобнее) уменьшить числитель. А вы все сделали наоборот.

-- 03.12.2017, 15:37 --

в (2) у вас запись общего члена не соответствует первым выписанным слагаемым. Впрочем, ясно, как поправить.
Сравните вашу сумму с геометрической прогрессией

[megatumoxa]

(1) Тогда можно из числителя вычесть единицу в квадрате, и сократить скобки.
$n>E+1$
(2) Так была дана последовательность изначально. Не приходит в голову, как данную последовательность сравнить с геометрической прогрессией.

[Lia]

megatumoxa в сообщении #1271483 писал(а):

Так была дана последовательность изначально

Изначально, наверное, $n-1$ в показателе жил.

[provincialka]

megatumoxa в сообщении #1271483 писал(а):

Не приходит в голову, как данную последовательность сравнить с геометрической прогрессией.

Общий член должен иметь вид $\dfrac1{n\cdot 2^{n-1}}$. Чтобы оценить его сверху, нужно уменьшить знаменатель. Причем довольно безжалостно...

[megatumoxa]

provincialka в сообщении #1271507 писал(а):

Общий член должен иметь вид $\dfrac1{n\cdot 2^{n-1}}$. Чтобы оценить его сверху, нужно уменьшить знаменатель. Причем довольно безжалостно...

А зачем нам нужно оценивать эту дробь? Я никак не могу уловить суть, как доказать, что данная последовательность ограничена двойкой.

[provincialka]

megatumoxa в сообщении #1271513 писал(а):

А зачем нам нужно оценивать эту дробь?

Чтобы оценить сумму, неплохо сначала оценить слагаемые. Чем-то простым, для которого сумма ищется легко.
Знаете ли вы, чему равна сумма геометрической прогрессии $1+q+q^2+...+q^{n-1}$? А чему равен ее предел при $n\to \infty$?

[megatumoxa]

Цитата:

Чтобы оценить сумму, неплохо сначала оценить слагаемые. Чем-то простым, для которого сумма ищется легко.
Знаете ли вы, чему равна сумма геометрической прогрессии $1+q+q^2+...+q^{n-1}$? А чему равен ее предел при $n\to \infty$?

Сумма высчитывается по формуле, но сразу видно, что она бесконечно возрастающая. Предел равен бесконечности.

[Dan B-Yallay]

megatumoxa в сообщении #1271535 писал(а):

Предел равен бесконечности.

ДАЖЕ если $q <1$?

[megatumoxa]

Dan B-Yallay в сообщении #1271540 писал(а):

megatumoxa в сообщении #1271535 писал(а):

Предел равен бесконечности.

ДАЖЕ если $q <1$?

Я думал, что эта прогрессия на примере последовательности из задания, где q>0. Если же наоборот, то последовательность уже бесконечно убывающая.

[Dan B-Yallay]

Я думал, что разговор был о задании номер

megatumoxa в сообщении #1271483 писал(а):

(2) Так была дана последовательность изначально. Не приходит в голову, как данную последовательность сравнить с геометрической прогрессией.

-- Вс дек 03, 2017 11:35:39 --

Кстати, $q>0$ и $q<1$ могут соблюдаться одновременно.

[provincialka]

megatumoxa в сообщении #1271544 писал(а):

прогрессия на примере последовательности из задания, где q>0.

Ноль тут ни при чем. А в вашем задании $q=\frac12$.

[megatumoxa]

Цитата:

Ноль тут ни при чем. А в вашем задании $q=\frac12$.

Упс, перепутал. $q>1$ B моем задании $q=1/2$, но я брал просто знаменатель за $q$.
Чтобы еще больше не запутаться, вернемся назад. Геометрическая последовательность бесконечно возрастающая при $q>1$, а предел ее равен бесконечности. Нужно только понять, как использовать геометрическую прогрессию для доказательства ограниченности последовательности. В моем случае, последовательность возрастающая, но каждый последующий ее член меньше предыдущего.

Можно попробовать оценить дробь. Не уверен, можно ли так. Я бы оставил $\frac{1}{n}$, ведь при бесконечно больших значениях $n$ значимость второго множителя в знаменателе незначительна.

[provincialka]

megatumoxa в сообщении #1271647 писал(а):

В моем случае, последовательность возрастающая, но каждый последующий ее член меньше предыдущего.

Вы сами поняли, что написали? Ну, мы, конечно, догадались, что вы хотели сказать. Последовательность (сумма $n$ слагаемых) возрастает, но сами слагаемые с ростом $n$ убывают.

Так чему равна сумма $1+\frac12+\frac1{2^2}+... +\frac1{2^{n-1}}+... $, до бесконечности?

-- 03.12.2017, 22:38 --

megatumoxa в сообщении #1271647 писал(а):

Я бы оставил $\frac{1}{n}$, ведь при бесконечно больших значениях $n$ значимость второго множителя в знаменателе незначительна.

Не-а! А вы проверьте!

$n: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 ,10...$
$2^{n-1}: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256 ,512...$

[megatumoxa]

Цитата:

Так чему равна сумма $1+\frac12+\frac1{2^2}+... +\frac1{2^{n-1}}+... $, до бесконечности?

Ну на вскидку ответ кроется в промежутке от 1.75 до 1.80

Цитата:

$2^{n-1}: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256 ,512...$

Немного неправильной логикой я руководствовался. Я посчитал, что при бесконечно больших значениях уже неважно насколько это значение большое. Ведь 2 в степени бесконечность тоже будет бесконечностью.

Ну, тогда оставляем в знаменателе значения со степенью.