===========ММ227=============== ММ227 (7 баллов)
Пусть
- каноническое разложение
. Обозначим через
число
.
Назовем натуральное число
слабым, если уравнение
неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.
РешениеПривожу решения Валентины Колыбасовой, Анатолия Казмерчука, Олега Полубасова и Тимофея Игнатьева.
(Решение Тимофея Игнатьева)
Если
, где
- простое, то
, т.к.
. Поскольку простых чисел бесконечное количество, то и сильных
тоже бесконечное число.
Если число
(
) - сильное, то и все числа с тем же набором простых делителей
- сильные. Пусть для такого
существует решение уравнения
. Тогда для
с тем же набором простых делителей, что и у
,
(т.к.
- сильное, то
делится на
) будет решением уравнения (из способа нахождения
видно, что у
и
одинаковый набор простых делителей, поэтому
).
Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для слабых чисел. Таким образом, если будет обнаружено хотя бы одно слабое число, то задача о доказательстве бесконечности множества слабых чисел будет решена (поскольку чисел с одинаковым набором простых делителей бесконечное количество).
Будем искать наименьшее слабое число в виде обыкновенного произведения различных простых чисел (исходя из выше написанного, для любого слабого
с набором простых делителей
существует слабое число вида
, которое, очевидно, не больше
). Число такого вида будет сильным, если для него можно подобрать такие простые числа
, что
(
,
), и слабым в противном случае. Т.к.
, то
, причем равенство достигается только в случае
,
,
. При
число
- сильное, поэтому в ходе перебора необходимо рассматривать наборы, состоящие по меньшей мере из 2 различных простых чисел.
Докажем, что число
- наименьшее слабое число:
- Покажем, что это число действительно является слабым. , но делится еще и на . Значит, по меньшей мере равно . Но не может быть равно даже , т.к. наименьшее произведение оставшихся простых чисел . Значит, , причем одно из "добавляемых" простых чисел не может быть равно (т.к. иначе второе уже не будет простым). Наименьшее из двух "добавляемых" простых равно , т.к. . Тогда второе "добавляемое" простое является делителем , т.е. (т.к. уже фигурирует в наборе). Но и делится на , которого нет в наборе.
- Покажем, что все меньшие числа, являющиеся произведениями различных простых чисел - сильные.
Отметаем меньшие числа в парах простых чисел-близнецов, т.к. для них - условие выполнено. Остаются (в скобках указаны числа ):
Обсуждение Я не обнаружил никаких следов ММ227 в OEIS. Планирую исправить это упущение. При этом интересны не сила или слабость тех или иных наборов простых множителей, сравнение силы сильных.
Этот момент не нашел своего выражения в присланных решениях. Придется отдуваться ведущему.
Рассмотрим, например, наиболее простой класс сильных чисел - степени простых.
Для каждого
уравнение
разрешимо. При этом количество решений зависит только от
. Таким образом, возникает любопытное разбиение всех простых числел на классы.
К классу 1 относятся простые числа 2, 61, 97, 113, 151, 173...
К классу 2 - 3, 5, 17, 29, 41, 53, 73, 79...
К классу 3 - 7, 11, 13, 23, 37, 47, 89...
К классу 4 - 19, 31, 43, 67, 103, 131...
К классу 5 - 71, 179...
Естественно возникает вопрос о бесконечности классов для каждого натуральноо числа.
Более тонок вопрос об асимтотической плотности классов.
Задача ММ227 понравилась участникам. Даже если исключить мнение марафонцев, оценивающих задачи по однобалльной шкале, оценка останется высокой
Такая ситуация весьма редка. Обычно, при достаточном количестве присланных решений палитра вкусовых предпочтений достаочно широка.
Разброс в призовых баллах тоже не слишком велик. Мне показалось недостаточно строгим обоснование слабости числа 46 Евгением Гужавиным. Это нашло отражение в оценке. Если Евгений докажет мне, что это я, а не он чего-то упустил готов пересмотреть его оценку.
НаградыЗа решение задачи ММ227 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 9;
Анатолий Казмерчук - 8;
Владислав Франк, Владимир Дорофеев, Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова и Тимофей Игнатьев - по 7;
Евгений Гужавин - 6.
Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла