2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 35, 36, 37, 38, 39, 40  След.
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение30.09.2017, 16:22 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
VAL в сообщении #1251936 писал(а):
PS: Желающие пораньше увидеть остальные решения могут ускорить их появление своими комментариями.
Что-то желающих не наблюдается.
Но коль уж обещал...


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Владимира Дорофеева
MM224_DOROFEEV_19-9-2017.docx [19.51 Кб]
Скачиваний: 32
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
fiviol_mm224.docx [23.66 Кб]
Скачиваний: 27
Комментарий к файлу: Решение Валентины Колыбасовой
Ariadna_ММ224.pdf [714.82 Кб]
Скачиваний: 41
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение01.10.2017, 00:40 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
Завершаю публикацию решений ММ224.


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM224_Polubasoff.pdf [447.23 Кб]
Скачиваний: 39
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение04.10.2017, 12:45 
Заслуженный участник


06/07/11
4066
А еще такой вопрос. Допустим, решаю я задачу. И решение задачи приводит меня к тому, что задача сводится к другой задаче, причем не факт еще, что это в принципе правильное направление и что я не зайду в тупик. Могу ли я задавать вопросы в ПРР об этой подзадаче (не указывая при этом, зачем она мне нужна)? Будет ли это нечестным? Чтобы немного конкретизировать, представим, что у меня появилась такая подзадача во время текущего марафона: "при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом". Если вопрос будет поставлен как "где про это можно почитать" - это допустимо?

VAL в сообщении #1250136 писал(а):
Сейчас исправился.
И Вы исправляйтесь!
Я, похоже, неисправим :mrgreen:
Весь июнь искал новую няню для ребенка, потом надо было с отпуском что-то решить, потом, по возвращении, хозяйка квартиры, которую мы снимаем, обрадовала, что квартиру продает и надо куда-то съехать. В общем, на сайтах по поиску недвижимости я трачу гораздо больше времени, чем на решение олимпиадных задач :-( Есть пара идей, как решить еще одну задачу, но на этом я закончу. В следующем году отыграюсь :roll:

-- 04.10.2017, 14:06 --

VAL в сообщении #1246380 писал(а):
Особенно огорчает исчезновение марафонцев со стажем, таких как Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин...
Может, задачи им показались слишком простыми? По моим ощущениям, в предыдущие годы задачи были такие, что я хорошо если 1 - 2 смогу решить частично, а в этом году несколько задач кажутся вполне решаемыми, и плюс две из уже разобранных (которые я даже не пробовал решать) не требуют для решения ничего, что я не знаю. То есть уровень ниже существенно.
VAL в сообщении #1246380 писал(а):
ММ221
Более интересен вопрос: существуют ли решения, не попавшие в найденную серию. Но ответа на этот вопрос я не знаю.
А есть какой-то общий способ решения таких задач?
VAL в сообщении #1246380 писал(а):
Теперь вот думаю, где бы мне еще зарегистрироваться.
Попробуйте на програмистских форумах поискать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение04.10.2017, 14:55 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
rockclimber в сообщении #1252989 писал(а):
А еще такой вопрос. Допустим, решаю я задачу. И решение задачи приводит меня к тому, что задача сводится к другой задаче, причем не факт еще, что это в принципе правильное направление и что я не зайду в тупик. Могу ли я задавать вопросы в ПРР об этой подзадаче (не указывая при этом, зачем она мне нужна)? Будет ли это нечестным? Чтобы немного конкретизировать, представим, что у меня появилась такая подзадача во время текущего марафона: "при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом". Если вопрос будет поставлен как "где про это можно почитать" - это допустимо?
Думаю, такой подход тем допустимее, чем менее очевидна связь задаваемых вопросов с исходной задачей.

Что касается конкретного вопроса, то общие методы решения диофантовых уравнений второго порядка от двух переменных известны. В интернете даже есть он-лайн солверы для них.
Хотя в данном конкретном случае я бы ограничился рассмотрением приведенного выражения по модулю 4.
Цитата:
Весь июнь искал новую няню для ребенка, потом надо было с отпуском что-то решить, потом, по возвращении, хозяйка квартиры, которую мы снимаем, обрадовала, что квартиру продает и надо куда-то съехать. В общем, на сайтах по поиску недвижимости я трачу гораздо больше времени, чем на решение олимпиадных задач :-( Есть пара идей, как решить еще одну задачу, но на этом я закончу. В следующем году отыграюсь :roll:
Надеюсь. Главное успеть раньше последнего куплета :-)
Цитата:
VAL в сообщении #1246380 писал(а):
Особенно огорчает исчезновение марафонцев со стажем, таких как Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин...
Может, задачи им показались слишком простыми?
Уверен, что причина не в этом.
А в чем? Не знаю... Возможно, она озвучена выше.
Цитата:
VAL в сообщении #1246380 писал(а):
ММ221
Более интересен вопрос: существуют ли решения, не попавшие в найденную серию. Но ответа на этот вопрос я не знаю.
А есть какой-то общий способ решения таких задач?
Врпрос не ко мне. Если бы я знал такой метод, то знал бы и ответ на вопрос о существовании других решений.
Цитата:
VAL в сообщении #1246380 писал(а):
Теперь вот думаю, где бы мне еще зарегистрироваться.
Попробуйте на програмистских форумах поискать.
Не думаю, что там более заинтересованная публика, чем в специализированной группе на FB.
Возможно, участники этой группы и заинтересовались бы Марафоном, просто, как выясняется, моего анонса практически никто из них не видел. Оказывается, господин Цукерберг по каким-то лишь ему известным критериям определяет, что будет интересно участникам группы. Сообщение про Марафон таковым признано не было.
В следующий раз я попробую перехитрить Марка Эдуардовича (если FB к тому времени не прикроют).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.10.2017, 02:05 
Заслуженный участник


06/07/11
4066
rockclimber в сообщении #1252989 писал(а):
при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом
До меня дошло, как это решать!!! Очень просто, оказывается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.10.2017, 03:44 
Аватара пользователя


08/12/11
96
СПб
rockclimber в сообщении #1253224 писал(а):
Цитата:
при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом
До меня дошло, как это решать!!! Очень просто, оказывается...
Не хочу показаться невежливым, но VAL дал точные указания. По модулю 4 рассматриваемое выражение может быть равно либо 2, либо 3, поэтому точным квадратом не будет никогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.10.2017, 09:26 
Заслуженный участник


06/07/11
4066
Masik в сообщении #1253233 писал(а):
rockclimber в сообщении #1253224 писал(а):
Цитата:
при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом
До меня дошло, как это решать!!! Очень просто, оказывается...
Не хочу показаться невежливым, но VAL дал точные указания. По модулю 4 рассматриваемое выражение может быть равно либо 2, либо 3, поэтому точным квадратом не будет никогда.
Я, как настоящий конспиратор, привел с потолка взятые коэффициенты. В реально появившемся у меня полиноме числа другие, и вот с ними все решается просто на отлично. Так что все нормально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение07.10.2017, 11:19 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
===========ММ225===============

ММ225 (6 баллов)

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $(2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0$ имеет два целых корня.

Решение

Участники порадовали разнообразием подходов. Поэтому вновь приведу все решения. (Но опять-таки не все сразу.)

(Решение Дмитрия Курашкина)

Обозначим целые корни $x_1$ и $x_2$. Тогда уравнение в общем виде должно выглядеть так:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$

Приведем уравнение из условия к такому виду, поделив обе части на $(2a+3)$:

$x^2 + x \cdot \frac{a} {2a+3} + \frac{3a - 1}{2a+3} = 0$

Очевидно, что выражения $- \frac{a} {2a+3}$ и $\frac{3a - 1}{2a+3}$ должны быть целыми числами, так как они являются соответственно суммой и произведением корней. Обозначим их $z_1$ и $z_2$:

$z_1 = - \frac{a} {2a+3}$

$z_2 = \frac{3a - 1}{2a+3}$

Выразим $a$ через $z_1$ и подставим в выражение для $z_2$:

$a = - \frac{3z_1}{2z_1 + 1}$

$z_2 = \frac{11z_1 - 1}{3}$

Далее имеем:

$x_1 + x_2 = z_1$

$x_1 x_2 = z_2$

$x_1 = z_1 - x_2$

$(z_1 - x_2) x_2 =\frac{11z_1 - 1}{3}$

$3x_2^2 - 3 z_1 x_2 + 11z_1 -1 = 0$

Задача свелась к тому, что нужно найти такое целое значение $z_1$, чтобы получившееся уравнение имело целые корни.[/quote] Для этого необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения, равный $9z_1^2 - 132z_1 + 12$, был полным квадратом, то есть

$9z_1^2 - 132z_1 + 12 = n^2$, где $n$ - целое число. Далее имеем:

$(3z_1 -22)^2- 472 = n^2$

$(3z_1 -22)^2 = n^2 + 472$

Путем перебора найдены следующие пары квадратов (легко можно доказать, что число вариантов для перебора конечно и значения $n$ не превышают 237):

$61^2 = 57^2 + 472$

$119^2 = 117^2 + 472$

То есть $3z_1 - 22 = \pm 61$ или $3z_1 - 22 = \pm 119$. При этом $z_1$ должно быть целым, то есть решений всего два - $z_1 = -13$ и $z_1 = 47$, других решений нет. Соответствующие им значения $a = -\frac{13}{9}$ и $a = -\frac{47}{31}$.


Обсуждение

Участники окончательно преодолели отпускную расслабленность и вновь не допустили ошибок в решении. Так держать!
В отличие использованных подходов (и предыдущей задачи), ответы не отличались разнообразием.

Окончательная оценка Евгения Гужавина сложилась с учетом добавки за несколько решений и сбавки за использование он-лайн солвера при решении простых диофантовых уравнений.

Награды

За решение задачи ММ225 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - по 7;
Виктор Филимоненков, Владислав Франк, Олег Полубасов, Валентина Колыбасова, Владимир Дорофеев, Дмитрий Курашкин и Евгений Гужавин - по 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

PS: Желающие (если таковые найдутся) пораньше увидеть остальные решения могут ускорить их появление своими комментариями.


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
fiviol_mm225.pdf [213.69 Кб]
Скачиваний: 31
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM225_Polubasoff.pdf [172.58 Кб]
Скачиваний: 36
Комментарий к файлу: Решение Валентины Колыбасовой
Ariadna_MM225.pdf [114.9 Кб]
Скачиваний: 32
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение07.10.2017, 11:38 
Заслуженный участник


06/07/11
4066
А можно вас (или участников) попросить сконвертировать решения в PDF? У меня мак, на маке в docx не видно формулы, только текст.

P. S. Решение Олега Полубасова понравилось. Я-то пока придумал решение (а до этого опробовал несколько тупиковых вариантов, а в процессе еще несколько раз ошибался и заходил в тупик) исписал мелким почерком листов 10 А4 с двух сторон :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение07.10.2017, 11:52 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
rockclimber в сообщении #1253868 писал(а):
А можно вас (или участников) попросить сконвертировать решения в PDF? У меня мак, на маке в docx не видно формулы, только текст.
Сконвертировал.

И привожу очередную порцию решений.


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Владимира Дорофеева
MM225_DOROFEEV_29-9-2017.pdf [203.1 Кб]
Скачиваний: 32
Комментарий к файлу: Решение Евгения Гужавина
Guzhavin_mm225.pdf [71.25 Кб]
Скачиваний: 32
Комментарий к файлу: Решение Владислава Франка
Frank_mm225.pdf [142.65 Кб]
Скачиваний: 34
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение07.10.2017, 20:03 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
Завершаю публикацию решений ММ225


Вложения:
Комментарий к файлу: РЕшение Анатолия Казмерчука
Kazmerchuk_pr_225.pdf [248.42 Кб]
Скачиваний: 31
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение08.10.2017, 23:32 
Заслуженный участник


06/07/11
4066
Вопрос по ММ226. Числа 1 и $n$ включаются в число натуральных делителей $n$? То есть число 4 имеет три делителя? Мне что-то казаться начало, что мое решение не такое уж и правильное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение09.10.2017, 00:15 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
rockclimber в сообщении #1254140 писал(а):
Вопрос по ММ226. Числа 1 и $n$ включаются в число натуральных делителей $n$?
Разумеется.
Цитата:
То есть число 4 имеет три делителя?
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение14.10.2017, 12:09 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
===========ММ226===============

ММ226 (5 баллов)

Назовем натуральное число $n$ счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель $n$ равен количеству натуральных делителей $n$.
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Владислава Франка и Евгения Гужавина.

Обсуждение

На ММ226 получено рекордное для нынешнего конкурса (хотя и скромное) количество ответов - 9. (Одно решение не оценено призовыми баллами.)

Поведаю небольшую мистическую историю случившуюся с ведущим при составлении этой задачи.
Нет, нет, инопланетяне меня не похищали. Но мне "удалось" показать, что счастливое число не может быть степенью простого. Я нашел поистине замечательное доказательство этого утверждения, но поля...
Впрочем, про поля - это все ля-ля тополя. Поля тут ни при чем. Просто "доказательство" было настолько простым, что я не стал его записывать, уверенный, что воспроизведу его в любой момент.
Однако я не смог сделать это уже через полтора месяца, по получении третьего ответа (до этого были один неверный и один - с известным мне числом $134^7$), являвшегося, к моему изумлению, степенью простого числа.

Награды

За решение задачи ММ226 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 9;
Анатолий Казмерчук - 8;
Евгений Гужавин - 7;
Владислав Франк и Владимир Дорофеев - по 6;
Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова, Дмитрий Курашкин и Тимофей Игнатьев - по 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Евгения Гужавина
mm226-Guzhavin.pdf [89.79 Кб]
Скачиваний: 31
Комментарий к файлу: Решение Владислава Франка
mm226_Frank.pdf [151.26 Кб]
Скачиваний: 30
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
Kazmerchuk_pr_226.pdf [247.75 Кб]
Скачиваний: 33
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение15.10.2017, 08:51 
Заслуженный участник


27/06/08
3144
Волгоград
Объяснительная

Обратите внимание на количество призовых баллов, начисленных Олегу Полубасову, за решение ММ226.
Вчерашние 5 превратились в 9.

События развивались так:
Когда, я дочитал решение Олега даже не до конца первой страницы, а только до слова "Ответ", мне позвонили и отвлекли достаточно надолго.
Может быть, оттого что меня прервали именно на этом слове, в голове отложилось, что есть только базовое решение и никаких обобщений. А поскольку вопросов к прочитанному не было, больше я к решению не возвращался.

Исправляю свой ляп, посыпаю голову пеплом :facepalm: и приношу свои извинения Олегу.
Быть более внимательным впредь не обещаю, ибо это не про меня. Но постараюсь.


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM226_Polubasoff.pdf [385.61 Кб]
Скачиваний: 42
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 594 ]  На страницу Пред.  1 ... 35, 36, 37, 38, 39, 40  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group