3-я космическая. Опять 4 разных ответа.

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51 в сообщении #1268360 писал(а):

Имеются ещё вопросы к нашей задаче?

У меня нет, спасибо; умолкаю.

[Uchitel'_istorii]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1265406 писал(а):

Ну вот, теперь почти всё правильно. Начало у Вас уже очень хорошее...

В этом приближении закон сохранения энергии принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) -\frac{GMm}{R} = \frac{mv_2^2}{2} .$

...
Так вот, допустим, как частный случай такой задачи, мы задаём условия: пусть в как-то выбранной системе отсчёта начальная скорость Земли есть заданный вектор $\vec{V}_1,$ а желаемая скорость ракеты "на бесконечности" в той же системе отсчёта пусть совпадает с этим вектором: $\vec{v}_2=\vec{V_1}.$ Какую начальную скорость $v_1$ должна иметь ракета в этом случае? Наше уравнение для этого случая принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{V}_1) -\frac{GMm}{R} = \frac{mV_1^2}{2} .$

Такое решение намного понятнее, чем неочевидные прыжки из одной системы в другую. Тогда вопрос: почему сразу нельзя записать закон сохранения энергии всех тел
$T_\text{р1} + T_\text{З1}+T_\text{С1}+ U_\text{р-З1}+U_\text{р-С1}+U_\text{С-З1} = T_\text{р2} + T_\text{З2}+ T_\text{С2}+ U_\text{р-З2}+U_\text{р-С2}+U_\text{С-З2},
и закон сохранения импульса всех тел
$-M_\text{С}V_\text{С0} +(M_\text{З} + m)V_\text{З0} = 0;
$(M_\text{З} + m)V_\text{З0} = M_\text{З}V_\text{З1} + mv_1 = M_\text{З}V_\text{З2} + mv_2
$-M_\text{С}V_\text{С2} + M_\text{З}V_\text{З2} + mv_2 = 0
учесть , что
$v_2 = 0
$T_\text{р2} = 0
$U_\text{р-З2} = 0
$U_\text{р-С2} = 0
, --и отсюда найти $v_1 ?

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii
Закон сохранения энергии так можно записать. При этом закон сохранения импульса имеет вид одного векторного равенства:

$M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С1}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З1}}+m\vec{v}_1=M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С2}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З2}}+m\vec{v}_2$

UPD: здесь у масс Земли и Солнца были ошибочно приписаны номера 1 и 2; эти ненужные номера я теперь удалил.

[Uchitel'_istorii]

Т.е. для написания закона сохранения импульса нужно связать систему отсчета с какой-то точкой, которая должна двигаться с одинаковой скоростью. В системе центра масс всех тел Солнце, Земля, ракета до старта ракеты (назовем ее СО1) импульс нулевой, после старта -- тоже нулевой; но , когда ракета улетает на бесконечность , центр масс движется с новой скоростью, поэтому в системе СО1 импульс уже не нулевой. Т.е. мы не получим дополнительное уравнение для скоростей $V_\text{С0}, V_\text{З0}, V_\text{С1}, V_\text{З1}, V_\text{р1}. Так?

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii
В системе покоя центра масс всех тел суммарный вектор импульса равен нулю всё время, вне зависимости от того, как движутся тела и что с ними происходит. Это ведь закон сохранения импульса.

До старта у ракеты много топлива, а после старта топливо превратилось в новое тело - в струю газа, и масса оставшейся ракеты при этом уменьшилась. То есть ракета "распалась" на два отдельно летящих тела (или даже больше, чем на два, если от ракеты отделились ненужные ступени двигателя). Суммарный вектор импульса всех этих тел, вместе с Землёй и Солнцем, всё время остаётся таким же, как до старта, куда бы ни улетела ракета, газы, ступени двигателя, и как бы ни крутилась Земля вокруг Солнца. Это закон сохранения импульса!

Чтобы упростить себе приближённое вычисление 3-й космической скорости, не рассматривайте картину до старта и сам старт. Считайте, что остатки двигателя упали на землю, так что их масса и импульс теперь учитываются в массе и импульсе Земли. Считайте, что и струя газов (поскольку она осталась где-то в околоземном пространстве) добавила лишь какую-то мизерную добавку к массе и импульсу Земли.

То есть примите в качестве начального момента времени $t_1$ момент после старта, когда супер-пупер двигатель очень быстро и хорошенько разогнал ракету и выключился (и ненужные ступени уже отвалились). Так что ракета с оставшейся у неё массой $m$ летит "по инерции" с некоторой скоростью $\vec{v}_1,$ но ещё не успела удалиться от Земли на расстояние, сравнимое с радиусом Земли $R.$ То есть, в момент $t_1$ ракета массой $m$ уже летит с большой скоростью $\vec{v}_1,$ но ещё находится приблизительно на расстоянии радиуса Земли $R$ от центра Земли и приблизительно на расстоянии $R_1$ от центра Солнца, где $R_1$ - радиус приблизительно круговой орбиты Земли вокруг Солнца. А всё, что из ракеты отлетало по ходу старта, считается учтённым в массе Земли $M_{\text{З}}$ и в её начальном импульсе $M_{\text{З}} \vec{V}_{\text{З1}}.$

Вот для такого начального момента времени $t_1$ мы и записываем суммарный импульс всех тел:

$M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С1}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З1}}+m\vec{v}_1.$

Здесь я должен извиниться: в предыдущем сообщении я нечаянно прикопипастил номера 1 и 2 массам Земли и Солнца; это, конечно, опечатка. (Сейчас я её там исправил). Массы Земли, Солнца и ракеты считаются неизменными в процессе полёта ракеты "по инерции" в глубины космоса, так что номера моментов времени не надо приписывать массам.



Начальная энергия всей нашей системы тел в момент $t_1$ в рамках принятых приближений есть

$\frac{mv_1^2}{2}+\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З1}}^2}{2} +\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С1}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС1}}} \right ) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} \, .$

Её надо приравнять энергии всей нашей системы тел в какой-то конечный момент времени $t_2,$ когда ракета уже улетит настолько далеко ("на бесконечность" от Солнца), что можно пренебрегать энергией её притяжения к Земле и к Солнцу (при этом у ракеты будет какая-то скорость $\vec{v}_2,$ но как её конкретно записать - это зависит от постановки задачи и от выбора системы отсчёта):

$\frac{mv_2^2}{2}+\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З2}}^2}{2} +\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С2}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС2}}} \right ) \, .$

А начальному импульсу всей нашей системы трёх тел будет равен её конечный импульс, т.е. импульс в момент $t_2:$

$M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С2}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З2}}+m\vec{v}_2.$

Да, если в роли системы отсчёта выбрать систему покоя центра масс всех наших трёх тел, то и начальный и конечный векторы импульса равны нулю.

Чтобы извлечь из этих уравнений пользу, надо принять ещё некоторые физически разумные приближения, допущения, воспользоваться огромной разницей масс ракеты и Земли с Солнцем. Может быть, можно считать, что центр масс системы очень близок к Солнцу (оно ведь очень массивное по сравнению с остальными телами в этой задаче), и поэтому система покоя центра масс приближённо совпадает с системой покоя Солнца; а нам как раз и надо найти 3-ю космическую скорость в системе покоя Солнца, полагая $v_2=0.$ И, может быть, можно считать, что ракета очень слабо притягивает к себе Землю и Солнце, так что ракета практически не влияет на "внутреннюю энергию системы Земля-Солнце", которая складывается из кинетических энергий Земли и Солнца и их энергии притяжения друг к другу. Если это так, то вклады в начальную и конечную энергию, показанные выше в скобках (это "внутренняя энергия" системы Земля-Солнце), приблизительно равны друг другу, и тогда для $v_1$ сразу получается знакомый ответ.

[Uchitel'_istorii]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1269680 писал(а):

А всё, что из ракеты отлетало по ходу старта, считается учтённым в массе Земли $M_{\text{З}}$ и в её начальном импульсе $M_{\text{З}} \vec{V}_{\text{З1}}.$

Тут всё понятно. Можно двигатель заменить пружиной на поверхности Земли.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1269680 писал(а):

полагая $v_2=0.$ И, может быть, можно считать, что ракета очень слабо притягивает к себе Землю и Солнце, так что ракета практически не влияет на "внутреннюю энергию системы Земля-Солнце", которая складывается из кинетических энергий Земли и Солнца и их энергии притяжения друг к другу. Если это так, то вклады в начальную и конечную энергию, показанные выше в скобках (это "внутренняя энергия" системы Земля-Солнце), приблизительно равны друг другу, и тогда для $v_1$ сразу получается знакомый ответ.

Если формула выглядит так :
$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = 0
, то получается 43,62 \text{км/сек} (что подозрительно похоже на неправильный ответ тут post1254191.html#p1254191), а должно быть 46. Как я понимаю, это формула 3-й космической для закрепленных (неподвижных) Солнца и Земли .

Cos(x-pi/2) в сообщении #1269680 писал(а):

у ракеты будет какая-то скорость $\vec{v}_2,$ но как её конкретно записать - это зависит от постановки задачи и от выбора системы отсчёта

Вот тут и начинаются серьезные проблемы с импульсом. По лекции 10 , где Фейнман рассматривает разлет 2-х тел в разных системах отсчета (лабораторная система, автомобиль, система центра масс), взаимодействие прекращается мгновенно , и система отсчета движется с одной скоростью.

В задаче 14.21 до старта центр масс не движется, после старта он движется, а когда ракета улетает на бесконечность -- опять не движется. Т.е. получить какую-то пользу можно, только зная относительную скорость одной системы к другой.

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):

Если формула выглядит так :
$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = 0,$
то получается $43,62 \text{ км/сек}$ (что подозрительно похоже на неправильный ответ тут post1254191.html#p1254191 ), а должно быть 46. Как я понимаю, это формула 3-й космической для закрепленных (неподвижных) Солнца и Земли .

Да, формула эта, и я полагаю, что это вполне приемлемая оценка для 3-й космической; да, она даёт приблизительно $43,6 \text{ км/сек}$ относительно Солнца. Если у Вас есть чёткие аргументы против этой формулы, то приведите их в виде обоснованных математических выражений, а не в виде слов "должно быть 46". (Ведь численная разница ответов может возникать и просто из-за того, что разные люди берут разные приближённые значения для одних и тех же букв в одинаковых формулах).

Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):

Вот тут и начинаются серьезные проблемы с импульсом.

Опять-таки: пока не покажете в выкладках, о чём идёт речь, я не пойму, какие могут быть "проблемы с импульсом".

Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):

до старта центр масс не движется, после старта он движется, а когда ракета улетает на бесконечность -- опять не движется

Центр масс чего? Если речь о центре масс всей совокупности тел, то он в системе покоя центра масс всей совокупности тел всё время неподвижен, даже если тела распадаются, слипаются, сталкиваются, разлетаются. (И, аналогично, если рассматривать инерциальную систему отсчёта, в которой этот центр масс движется, то он всё время движется с одной и той же скоростью).

Если же речь о центре масс только двух тел (Земля и Солнце), то можно решать задачу в системе отсчёта, в которой после старта в момент $t_1,$ т.е. до улёта ракеты "на бесконечность" центр масс двух тел Земля-Солнце неподвижен. Тогда в момент $t_2,$ т.е. после улёта ракеты "на бесконечность", центр масс двух тел Земля-Солнце в этой системе отсчёта движется (это и понятно: ракета, улетая, немножко стронула его с места: потянула его за собой гравитацией, и он по инерции продолжает двигаться). Однако, как несложно вычислить, скорость этого движения центра масс Земля-Солнца ничтожно мала; она мала из-за малости отношения масс $m/M,$ где $M=M_{\text{C}}+M_{\text{З}}.$ И получается, что в этой системе отсчёта оценка для 3-й космической практически совпадает с указанной выше оценкой в системе отсчёта с неподвижным Солнцем. И эта оценка 3-й космической по тем же причинам практически совпадает с оценкой в системе покоя центра масс всей системы трёх тел Земля-Солнце-ракета. Почему у Вас "должно быть 46", я не знаю.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Почему у Вас "должно быть 46", я не знаю.

Так вот же:

Cos(x-pi/2) в сообщении #1265406 писал(а):

В этом приближении закон сохранения энергии принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) -\frac{GMm}{R} = \frac{mv_2^2}{2} .$

Если подставить сюда $v_2 = 42 \text{km/sec}, то $v_1 = 46 \text{km/sec}.

И способ с прыжками между системами: post1250802.html#p1250802 . Там получилось 16 \text{km/sec}, и если добавить скорость Земли 30 \text{km/sec}, то ответ 46 \text{km/sec} в системе Солнца.

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1269753 писал(а):

Если подставить сюда $v_2 = 42 \text{km/sec},$ то $v_1 = 46 \text{km/sec}.$

Во-первых, здесь Вы взяли из моего старого сообщения формулу для другой задачи (для 2-космической скорости). Во-вторых, в том старом моём сообщении дальше показано, как надо дальше обращаться с этой формулой, чтобы получить из неё правильную оценку для 2-й космической скорости. В-третьих: с какой радости подставлять туда $v_2 = 42 \text{km/sec}?$

Uchitel'_istorii в сообщении #1269753 писал(а):

И способ с прыжками между системами: post1250802.html#p1250802 .

Не знаю никаких прыжков. Знаю закон сохранения энергии: энергия всей замкнутой системы в любой момент времени $t_1$ равна энергии этой же системы в любой другой момент $t_2.$ (И аналогично действуют законы сохранения вектора импульса и вектора момента импульса). Всё. Вот законами сохранения и надо пользоваться. А всякие "прыжки" и переписывания без вывода формул с забора (или с Википедии) - это способ быстро самого себя запутать. Не имею ни малейшего желания искать ошибки в путанице, написанной "от балды", без вывода.

[Uchitel'_istorii]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1269758 писал(а):

с какой радости подставлять туда $v_2 = 42 \text{km/sec}?$

Вы писали:

Цитата:

Должно быть понятно, что существует сколько хочешь таких постановок задач: задается конкретная начальная скорость Земли (и затем она играет роль константы, характеризующей заданную систему отсчёта), и задаётся в этой же системе отсчёта конкретная желаемая скорость полёта ракеты по инерции "на бесконечности", а необходимую для этого начальную скорость ракеты надо вычислить.

Скорость $v_2 = 42 \text{km/sec}$ получается из уравнения:

$\tfrac{1}{2}mv^2 - GmM_\text{sun}/R_\text{sun-earth} = 0
Т.е. это скорость которую нужно развить телу, чтобы преодолеть притяжение Солнца, при отсутствии Земли (или в ситуации, когда земное притяжение уже преодолено).

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1270074 писал(а):

Скорость $v_2 = 42 \text{km/sec}$ получается из уравнения:

$\tfrac{1}{2}mv^2 - GmM_\text{sun}/R_\text{sun-earth} = 0$
Т.е. это скорость которую нужно развить телу, чтобы преодолеть притяжение Солнца, при отсутствии Земли (или в ситуации, когда земное притяжение уже преодолено).

Ну и хрен с ней. Не вижу смысла подставлять её в то уравнение для 2-й космической скорости.


Ладно, пошёл печатать Вам решение для 3-й космической в системе покоя Земли. А в системе покоя Солнца Вы уже видели правильное уравнение, и знаете ответ:

Uchitel'_istorii в сообщении #1269732 писал(а):

Если формула выглядит так :
$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = 0$
, то получается $43,62 \text{ км/сек}.$

Это правильный ответ.

Только не ленитесь ответы всегда выписывать в виде выражений, а не в виде готовых чисел. Глядя на выражение, можно увидеть, что в нём хорошо или что плохо. Если выражение правильное, то и число оно даст правильное, и сосчитать число по выражению в конце всей этой истории будет не проблема. А глядя на голое без выражения число $46 \text{ km/sec},$ нельзя увидеть, почему оно такое, а не другое; из числа не видно, как в нём появилась ошибка.

[Uchitel'_istorii]

Модератор уже написал решение: post1250802.html#p1250802 . Но в этом решении часть формул записывается для системы Солнца, часть -- для системы Земли (в частности энергия , которую нужно донабрать, в разных системах разная). Эти прыжки совершенно неочевидны. С Вашей подсказкой стало возможным посчитать всё в системе Солнца. Но , как я понимаю, задачу всё равно надо решать в 2 этапа: сначала преодоление поля Земли, потом Солнца (хотя до конца не уверен, правомерно ли считать, что после преодоления притяжения Земли, тело оказывается не на бесконечности, а остается на орбите 150 млн. км от Солнца). Для решения в 1 этап, как я хотел сделать тут post1268979.html#p1268979 , не хватает уравнений, число неизвестных больше.

Цитата:

А глядя на голое без выражения число $46 \text{ km/sec},$ нельзя увидеть, почему оно такое, а не другое; из числа не видно, как в нём появилась ошибка.

В Вашем решении никак не учитывается движение Земли. Т.е. получается, если Солнце и Земля представляют одно невращающееся тело (жестко связаны стержнем ), то ответ не отличается.

[Cos(x-pi/2)]

Про какое движение Земли Вы говорите?

Если про её вращение вокруг своей оси, то даже на экваторе Земли ему соответствует линейная скорость всего лишь $\approx 0.46 \text{ км/с}.$ Это может дать поправку к искомой космической скорости только порядка 1 %, такую мелочь мы здесь не обсуждаем.

А если бы считалось, что Земля и Солнце составляют одно неподвижное (в системе покоя Солнца) тело, то получалось бы, что 3-я космическая одна и та же в системе покоя Солнца и в системе покоя Земли.

Но у нас это не так: в системе покоя Земли 3-я космическая меньше, чем в системе покоя Солнца, на величину орбитальной скорости Земли $\sqrt{GM_{\text{С}}/R_1} \approx 30 \text{ км/с},$ (где $R_1$ - радиус земной орбиты вокруг Солнца). Значит, движение Земли учтено.

Uchitel'_istorii в сообщении #1270200 писал(а):

Но , как я понимаю, задачу всё равно надо решать в 2 этапа: сначала преодоление поля Земли, потом Солнца (хотя до конца не уверен, правомерено ли считать, что после преодоления притяжения Земли, тело оказывается не на бесконечности, а остается на орбите 150 млн. км от Солнца).

Задачу можно решать и в десять этапов — делая разные приближения, по разному уточняя, что значит на практике "улететь на бесконечность", и поочерёдно внося поправки, связанные, например, с наличием Меркурия, Венеры, Луны, прочих планет и т.д. вплоть до учёта давления солнечного света на ракету. Плюс, какая-нибудь международная комиссия по космонавтике вздумает законодательно постановить: "считать 3-космическую равной стольким-то км/c." В общем, стопятьсот разных приближений дадут стопятьсот немножко разных ответов (и тогда Вам придётся переименовать тему :-))

Но думаю, что сначала Вам надо научиться осознанно пользоваться законом сохранения энергии в самом простом приближении: есть всего три тела, и уже в таком случае точный вид траектории ракеты не вычислить элементарными расчётами, поэтому начинаем с самой простой модели. И в ФЛФ принят такой же подход к изучению физики.

А Вы ведь сейчас даже не можете чётко вывести из закона сохранения энергии якобы "правильные" $46 \text{ км/c},$ но упорно позволяете себе заявлять, будто ответ $43,6 \text{ км/c}$ неправильный. Не на словах, а обоснованными выкладками покажите, откуда возникает разница, тогда и посмотрим, какой ответ правильнее.

(Я нашёл "вывод 46 км/c" в учебнике механики Стрелкова, но, на мой взгляд, он неверный: ошибка там как раз в неправильных переходах между системами отсчёта. Возможно, этот "вывод" перекочевал и в другие книжки, а из них и в интернет).

[Uchitel'_istorii]

Вывод числа 46.
Этап I.
Ракета находится на расстоянии $R_\text{s-e} от Солнца в системе центра масс Солнца и ракеты. ЗСЭ:
$T_\text{s1}+T_\text{r1}+U_\text{s-r1} = T_\text{s2}+T_\text{r2}+U_\text{s-r2}
На бесконечности ракета неподвижна $ v_\text{r2} =0, по ЗСИ:$M_\text{s}V_\text{s2} = - mv_\text{r2} \Rightarrow V_\text{s2} =0
$T_\text{s1}+T_\text{r1}+U_\text{s-r1} = 0+0+0
$\tfrac{1}{2}M_\text{s}V_\text{s1}^2 +\tfrac{1}{2}mv_\text{r1}^2 - \tfrac{GmM_\text{s}}{R_\text{s-e}} = 0
Подставив $V_\text{s1} = -\tfrac{mv_\text{r1}}{M_\text{s}}:
$v_\text{r1} = \sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}^2}{(m+M_\text{s})R_\text{s-e}}}
В системе Солнца:
$v_\text{r1} = \sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}^2}{(m+M_\text{s})R_\text{s-e}}} + \tfrac{mv_\text{r1}}{M_\text{s}}
Если $m\to 0, то $v_\text{r1}=\sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}}.

Этап II.
Ракета находится на расстоянии $R от центра Земли в системе Солнца.
Вывод формулы, связывающей начальную и конечную скорости ракеты при преодолении притяжения Земли см. здесь post1265348.html#p1265348 .
\tfrac{m{v_1}^2}{2} -V_0 v_1 m - \tfrac{GMm}{R} = \tfrac{m{v_2}^2}{2} -V_0 v_2 m

$v_1 = V_0 + \sqrt{V_0^2-2V_0v_2+v_2^2+\tfrac{2GM}{R}}

В конце главы http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... ml#Ch13-S3 Фейнман говорит, что суммарные энергию и силу можно разложить на составляющие и производить расчеты, как если бы силы для каждой пары тел действовали независимо.
Поэтому вместо $v_2 в последней формуле нужно подставить $v_\text{r1} из этапа I, тогда конечная скорость в этапе II будет равна начальной в этапе I и будет обеспечено непрерывность рассмотрения этих двух взаимодействий независимо. По хронологии вначале наступает этап II, потом этап I.

$v_1 = V_0 + \sqrt{V_0^2-2V_0\sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}}+\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}+\tfrac{2GM}{R}}

При уменьшении массы Земли , сумма потенциальной и кин. энергий системы Земля - Солнце уменьшиться , но при $m=0$ это изменение также $=0$.

При подстановке числовых значений в последнюю формулу , получаем $v_1 = 46 \text{km/sec}.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1270211 писал(а):

Про какое движение Земли Вы говорите?

Речь о движении Земли вокруг Солнца со скоростью $V_0 = 30 \text{km/sec} в системе Солнца.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1270211 писал(а):

А если бы считалось, что Земля и Солнце составляют одно неподвижное (в системе покоя Солнца) тело, то получалось бы, что 3-я космическая одна и та же в системе покоя Солнца и в системе покоя Земли.

Но у нас это не так: в системе покоя Земли 3-я космическая меньше, чем в системе покоя Солнца, на величину орбитальной скорости Земли $\sqrt{GM_{\text{С}}/R_1} \approx 30 \text{ км/с},$ (где $R_1$ - радиус земной орбиты вокруг Солнца). Значит, движение Земли учтено.

Переход из системы в систему осуществляется вычитанием из скоростей всех тел скорости второй системы относительно первой. Т.е. Вы совершили переход , а не учет. Предположим, нам не надо знать скорость в системе покоя Земли. Тогда одинаковая 3-я космическая скорость в системе Солнца и системе Земли не является аргументом. Имеем 2 варианта начальных условий: 1) Земля летит со скоростью 30 км/сек в системе Солнца; 2) Земля удерживается неподвижно в системе Солнца. У Вас в системе Солнца получился одинаковый формульный ответ для этих двух вариантов. Возьмем 3-й вариант: Земля летит , со скоростью 42 км/сек. Опять формульный ответ будет такой же? Но ведь ракете тогда достаточно стоять на стартовой площадке и ждать, пока Земля сама улетит на бесконечность, а потом преодолеть только поле Земли.

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1270304 писал(а):

Переход из системы в систему осуществляется вычитанием из скоростей всех тел скорости второй системы относительно первой. Т.е. Вы совершили переход , а не учет.

Не надо заниматься игрой в слова. Если у тел скорости разные, то они во всех системах отсчёта разные; и сам тот факт, что скорости у тел разные, уже означает, что тела движутся друг относительно друга.

Uchitel'_istorii в сообщении #1270304 писал(а):

Имеем 2 варианта начальных условий: 1) Земля летит со скоростью 30 км/сек в системе Солнца; 2) Земля удерживается неподвижно в системе Солнца. У Вас в системе Солнца получился одинаковый формульный ответ для этих двух вариантов.

Да, так и должно быть; вроде, это очевидно.

Uchitel'_istorii в сообщении #1270304 писал(а):

Возьмем 3-й вариант: Земля летит , со скоростью 42 км/сек. Опять формульный ответ будет такой же? Но ведь ракете тогда достаточно стоять на стартовой площадке и ждать, пока Земля сама улетит на бесконечность, а потом преодолеть только поле Земли.

Но относительно Солнца ракета при этом не будет стоять, а будет лететь; в системе покоя Солнца формула и выдаёт скорость ракеты относительно Солнца. Будет ли ответ такой же в 3-м варианте, я пока не знаю. Это другая задача, её я ещё не решал.

-- 30.11.2017, 20:34 --

С Вашим "Этапом 1" я согласен как с решением задачи без учёта Земли: $v_\text{r1}=\sqrt{\tfrac{2GM_\text{s}}{R_\text{s-e}}}$ есть скорость в системе покоя Солнца, при которой ракета сможет улететь с расстояния $R_\text{s-e}$ от центра Солнца на бесконечность. (Кстати, это неплохая оценка для 3-й космической скорости: она всего примерно на 4 % меньше той, что получается с учётом Земли.)

Но "Этап 2" — какая-то муть мутная. Это непонятная мне попытка соединить решение задачи без Земли с задачей без Солнца, вместо того, чтобы честно вывести следствия из закона сохранения энергии и импульса в задаче сразу с тремя телами.


Ладно, так и быть. Не буду больше ждать. Вот обещанное моё решение задачи о 3-й космической скорости, основанное на законах сохранения в системе "Солнце + Земля + ракета" (без всяких мутных "Этапов"; но, разумеется, с приближениями). Получилось длинновато, зато подробно:

(Подробно)

Для ясности начну издалека: с формул законов сохранения энергии и импульса системы трёх тел "Солнце + Земля + стартовавшая_ракета", которые мы уже обсудили в недавнем посте:

$$\frac{mv_1^2}{2}+\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З1}}^2}{2}+\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С1}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС1}}} \right ) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} =$$

$$=\frac{mv_2^2}{2}+\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З2}}^2}{2} +\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С2}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС2}}} \right ) \, .$$

$$M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С1}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З1}}+m\vec{v}_1 =$$

$$=M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С2}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З2}}+m\vec{v}_2 \, .$$

Индексами $1$ и $2$ здесь и далее отмечаются величины, относящиеся соответственно к моментам времени $t_1$ и $t_2.$ Считается, что к моменту времени $t_2$ ракета улетела уже так далеко от Земли и Солнца, что к этому времени энергия её притяжения к Земле и Солнцу пренебрежимо мала. Эти равенства верны в любой ИСО. Конкретную ИСО выберем в самом конце выкладок; там мы выберем "систему мгновенного покоя Земли" в момент $t_1,$ а пока пишем всё в общем виде.

Выражение в скобках в левой стороне первого равенства это энергия двух тел "Земля + Солнце" в момент времени $t_1$ с учётом их движения и гравитационного взаимодействия друг с другом, но без учёта взаимодействия с ракетой. Механика учит нас, что можно ввести в рассмотрение воображаемую материальную точку с суммарной массой Земли и Солнца

$M=M_{\text{С}} + M_{\text{З}}$

с радиус-вектором центра масс Земли и Солнца (как он определяется, напомню потом, если будет надо). Его производная по времени в момент $t_1$ есть скорость движения центра масс Солнца и Земли $\vec{V}_{\text{СЗ1}}$ в момент $t_1$ относительно той произвольной ИСО, к которой пока относятся все наши выкладки. Механика также учит нас, что энергия любой системы (или подсистемы) тел в произвольной ИСО может быть записана в виде суммы внутренней энергии (это энергия взаимодействия между телами в системе плюс кинетическая энергия их движения относительно их центра масс; внутренняя энергия не зависит от выбора ИСО) и кинетической энергии движения центра масс относительно ИСО. Значит, применительно к системе двух тел "Солнце и Земля" в момент времени $t_1$ имеем:

$\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З1}}^2}{2} +\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С1}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС1}}} \right ) = E_{\text{СЗ внутр 1}} + \frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} \, .$

Аналогично запишем энергию двух тел "Солнце и Земля" в момент времени $t_2:$

$\left ( \frac{M_{\text{З}}V_{\text{З2}}^2}{2} +\frac{M_{\text{С}}V_{\text{С2}}^2}{2} -\frac{GM_{\text{З}}M_{\text{С}}}{R_{\text{ЗС2}}} \right ) = E_{\text{СЗ внутр 2}} + \frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2} \, .$

Теперь сделаем упрощающее предположение: предположим, что ракета в процессе своего полёта прочь от Земли и Солнца почти не изменяет их внутреннюю энергию, а только немножко изменяет скорость движения их центра масс (и поэтому векторы $\vec{V}_{\text{СЗ1}$ и $\vec{V}_{\text{СЗ2}$ чуть-чуть различаются). То есть, предполагаю, что приближённо выполняется равенство

$E_{\text{СЗ внутр 1}}=E_{\text{СЗ внутр 2}} \, .$

Тогда эти два вклада можно вычеркнуть в левой и правой стороне нашей формулы закона сохранения энергии. Кинетические же энергии центра масс двух тел "Солнце + Земля" остаются в формуле закона сохранения энергии:

$\frac{mv_1^2}{2}+\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = \frac{mv_2^2}{2}+\frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2} \, .$


Перенеся $\frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2}$ справа налево, имеем:

$\frac{mv_1^2}{2}+\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} -\frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = \frac{mv_2^2}{2} \, .$



Займёмся законом сохранения импульса. Суммарный импульс Солнца и Земли можно для любого момента времени записать в виде произведения суммарной массы $M=M_{\text{С}}+M_{\text{З}}$ этих двух тел на скорость их центра масс в данный момент времени (относительно всё время одной и той же произвольной ИСО, к которой пока относятся все наши выкладки):

$M_{\text{С}} \vec{V}_{\text{С1}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З1}} = M\vec{V}_{\text{СЗ1}},$

$M_{\text{С}} \vec{V}_{\text{С2}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З2}} = M\vec{V}_{\text{СЗ2}}.$

Тогда закон сохранения импульса системы трёх тел "Солнце+Земля+ракета" принимает следующий вид:

$M\vec{V}_{\text{СЗ1}}+m\vec{v}_1 = M\vec{V}_{\text{СЗ2}}+m\vec{v}_2$

Отсюда выразим конечную скорость центра масс "Земля + Солнце" $\vec{V}_{\text{СЗ2}}$ через его начальную скорость $\vec{V}_{\text{СЗ1}}$ и импульсы ракеты:

$\vec{V}_{\text{СЗ2}}=\vec{V}_{\text{СЗ1}}+\frac{m}{M} ( \vec{v}_1-\vec{v}_2 ) \, .$

Возведём это в квадрат, т.е. скалярно умножим обе стороны этого равенства сами на себя; получим:

$V_{\text{СЗ2}}^2=V_{\text{СЗ1}}^2+\frac{2m}{M}\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2)+\frac{m^2}{M^2}(\vec{v}_1-\vec{v}_2)^2 \, .$

Полученное выражение подставим на место $-V_{\text{СЗ2}}^2$ в разность кинетических энергий (такая разность у нас видна в формуле закона сохранения энергии); получим:

$\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} -\frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2}=-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2)-\frac{m}{M} \frac{m(\vec{v}_1-\vec{v}_2)^2}{2} \, .$

Второе слагаемое в правой стороне мало в меру малости отношения массы ракеты к суммарной массе Солнца и Земли: $m/M \ll 1.$ Пренебрегая им, имеем с высокой точностью:

$\frac{MV_{\text{СЗ1}}^2}{2} -\frac{MV_{\text{СЗ2}}^2}{2}=-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) \, .$


Подставив это выражение в формулу закона сохранения энергии, получаем окончательно:

$\frac{mv_1^2}{2}-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = \frac{mv_2^2}{2} \qquad (*) .$

Это равенство (мы отметим его меткой $(*))$ применимо в любых ИСО (но, разумеется, только в таких, по отношению к которым скорости рассматриваемых здесь тел малы в сравнении со скоростью света; ведь мы пользовались формулами нерелятивистской механики).




Так. Теперь будем смотреть, чему равны входящие сюда скорости относительно конкретной ИСО. Выберем ИСО "мгновенного покоя Земли" — инерциальную систему отсчёта, по отношению к которой в момент времени $t_1$ Земля имела нулевую скорость; т.е. положим:

$\vec{V}_{\text{З1}}=0.$

Тогда скорость центра масс двух тел "Солнце + Земля" в момент времени $t_1$ есть

$\vec{V}_{\text{СЗ1}}=\dfrac{M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С1}}+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З1}}}{M}=\dfrac{M_{\text{С}}}{M_{\text{С}}+M_{\text{З}}} \vec{V}_{\text{С1}}.$

Масса Солнца на пять с лишним порядков больше массы Земли, поэтому

$\dfrac{M_{\text{С}}}{M_{\text{С}}+M_{\text{З}}} = 0.999997 \approx 1 \, ,$

и, значит, скорость центра масс системы "Солнца + Земля" с очень хорошей точностью совпадает со скоростью Солнца. Значит, мы можем в формулу закона сохранения энергии подставить выдерживающееся с высокой точностью приближённое равенство

$\vec{V}_{\text{СЗ1}}=\vec{V}_{\text{С1}} \, .$

По той же причине, т.е. из-за огромной массы Солнца $M_{\text{С}}$ по сравнению с массой Земли $M_{\text{З}}$ и тем более по сравнению с массой ракеты $m,$ можно считать, что центр масс системы "Солнца + Земля" всё время почти совпадает с центром Солнца, При этом он движется относительно ИСО почти равномерно и прямолинейно, так как полёт лёгонькой ракеты ничтожно мало изменяет скорость центра масс "Земля + Солнце".

Другими словами всё это означает, что Солнце практически равномерно и прямолинейно движется относительно ИСО (а Земля, вращаясь вокруг Солнца, смещается относительно ИСО вместе с Солнцем. Скорость Земли относительно ИСО обращалась в ноль в момент $t_1$ и обращается в ноль на мгновение после каждого очередного оборота Земли вокруг Солнца, но в остальные моменты времени скорость Земли $\vec{V}_{\text{З}}$ в этой "ИСО мгновенного покоя Земли" отлична от нуля).

Для ясности демонстрирую проявления большой массы Солнца ещё раз. В любой момент времени $t$ имеем:

$\vec{V}_{\text{СЗ}}(t)=\frac{M_{\text{С}}\vec{V}_{\text{С}}(t)+M_{\text{З}}\vec{V}_{\text{З}}(t)}{M} \approx \vec{V}_{\text{С}}(t) + \frac{M_{\text{З}}}{M} \vec{V}_{\text{З}}(t) \approx \vec{V}_{\text{С}}(t),$

Притяжение ракеты влияет на скорость Солнца ещё меньше, чем притяжение Земли: мы видели, что $\vec{V}_{\text{СЗ2}}=\vec{V}_{\text{СЗ1}}+(m/M)(\vec{v}_1-\vec{v}_2) \, $ и, значит, с точностью до слагаемого, малого в меру малости $m/M,$ применимо равенство $\vec{V}_{\text{СЗ2}}=\vec{V}_{\text{СЗ1}}.$

Таким образом, все скорости в списке $\vec{V}_{\text{СЗ1}},$ $\vec{V}_{\text{СЗ2}},$ $\vec{V}_{\text{С1}} $ и $\vec{V}_{\text{С2}} $ с высокой точностью равны друг другу, каждую из них можно без ущерба для дальнейшего расчёта заменить на $\vec{V}_{\text{С1}}.$



Тогда с той же точностью условие неподвижности ракеты относительно Солнца к моменту $t_2$ можно выразить равенством

$\vec{v}_2=\vec{V}_{\text{С1} \, .$

Член $-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2)$ в формуле закона сохранения энергии с учётом сказанного выше принимает вид

$-m\vec{V}_{\text{С1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{V}_{\text{С1}})=-m\vec{V}_{\text{С1}} \cdot \vec{v}_1 + V_{\text{С1}}^2 .$

Заметим, что по условию задачи ракета в момент $t_1$ движется относительно Солнца в направлении орбитальной скорости Земли. В ИСО мгновенного покоя Земли в момент $t_1$ (в этой ИСО мы сейчас делаем расчёт) это означает, что скорость ракеты $\vec{v}_1$ направлена противоположно к скорости Солнца $\vec{V}_{\text{С1}.$ Следовательно,

$\vec{V}_{\text{С1}} \cdot \vec{v}_1=-V_{\text{С1}} v_1 \, ,$

и, значит, член $-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2)$ в формуле закона сохранения энергии в итоге сводится к

$-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2)=mV_{\text{С1}} v_1 + V_{\text{С1}}^2 .$

Формула закона сохранения энергии теперь выглядит так:

$\frac{mv_1^2}{2}+mV_{\text{С1}} v_1+V_{\text{С1}}^2 - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = \frac{mV_{\text{С1}}^2}{2} \, .$

Чему равна величина скорости $V_{\text{С1}} \, ?$ Поскольку это скорость Солнца относительно ИСО, в которой в момент времени $t_1$ Земля была неподвижна, то величина этой скорости равна величине орбитальной скорости Земли относительно Солнца (на приблизительно круговой орбите радиусом $R_1):$

$V_{\text{С1}}=\sqrt{\frac{GM_{\text{С}}}{R_1}}$

Пользуясь этим равенством, обозначим

$\frac{GM_{\text{С}}}{R_1} = V_{\text{С1}}^2 \, ,$

и заодно введём обозначение (оно такое потому, что в другой задаче оно связано с понятием "2-я космическая скорость"):

$\frac{2GM_{\text{З}}}{R} = v_{k2}^2 \, ,$

С этими обозначениями равенство, выражающее закон сохранения энергии, принимает простой вид (после того, как мы разделим все слагаемые на $m$ и умножим на $2):$

$v_1^2+2V_{\text{С1}}v_1-v_{k2}^2=V_{\text{С1}}^2.$

Видно, что это есть квадратное уравнение для искомой величины $v_1=|\vec{v}_1|.$ Его положительный корень:

$v_1=-V_{\text{С1}}+\sqrt{2V_{\text{С1}}^2+v_{k2}^2} \, .$

То есть:

$v_1=-\sqrt{\frac{GM_{\text{С}}}{R_1}} + \sqrt{\frac{2GM_{\text{С}}}{R_1}+\frac{2GM_{\text{З}}}{R}} \, .$

Это ответ для 3-й космической скорости в системе мгновенного покоя Земли.




Чтобы его пояснить (и проверить), перепишем его так:

$v_1+V_{\text{С1}}=\sqrt{\frac{2GM_{\text{С}}}{R_1}+\frac{2GM_{\text{З}}}{R}} \, .$

При выборе другой ИСО, а именно — ИСО покоя Солнца, присутствующей здесь величине $V_{\text{С1}}=\sqrt{\frac{GM_{\text{С}}}{R_1}} \approx 30 \text{ км/c}$ равнялась бы орбитальная скорость Земли относительно неподвижного Солнца. Значит, присутствующую здесь сумму $v_1+V_{\text{С1}}$ можно понимать как величину 3-й космической скорости в системе покоя Солнца. Как видим, для этой скорости получился знакомый правильный ответ.



( Более культурно преобразование Галилея от ИСО мгновенного покоя Земли (где мы имеем вектор скорости ракеты $\vec{v}_1)$ к ИСО покоя Солнца описывается так:

Обозначим скорость ракеты относительно ИСО покоя Солнца в момент времени $t_1$ как $\vec{v} \, '_1$. Тогда преобразование Галилея для скоростей даётся равенством:

$\vec{v}_1 = \vec{v} \, '_1 + \vec{V}_{\text{С1}},$

где $ \vec{V}_{\text{С1}}$ — скорость Солнца относительно ИСО мгновенного покоя Земли. То есть:

$\vec{v} \, '_1 = \vec{v}_1 - \vec{V}_{\text{С1}}.$

Возведя это в квадрат, получим:

$(v'_1)^2=v_1^2-2\vec{v}_1 \cdot \vec{V}_{\text{С1}}+V_{\text{С1}}^2.$

По условию задачи векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{V}_{\text{С1}}$ направлены в противоположные стороны, поэтому $\vec{v}_1 \cdot \vec{V}_{\text{С1}}=-v_1V_{\text{С1}}.$ Значит:

$(v'_1)^2=v_1^2+2v_1V_{\text{С1}}+V_{\text{С1}}^2.$

Положительное значение корня квадратного есть

$v'_1=v_1+V_{\text{С1}}, $

в чём и требовалось убедиться ).



( P.S.
Заодно рассмотрим формулу закона сохранения энергии $(*)$ в ИСО покоя Солнца.

В уравнении $(*),$ которое применимо в любой ИСО, заменим скорость центра масс "Солнце + Земля" $\vec{V}_{\text{СЗ1}}$ скоростью Солнца $\vec{V}_{\text{С1}},$ поскольку, как пояснялось выше, из-за большой массы Солнца можно считать эти два вектора с хорошей точностью равными друг другу. И учтём, что в ИСО покоя Солнца $\vec{V}_{\text{С1}}=0.$ Тогда член $-m\vec{V}_{\text{СЗ1}} \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2)$ в $(*)$ исчезает, и закон сохранения энергии $(*)$ в ИСО покоя Солнца принимает вид:

$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = \frac{mv_2^2}{2} \qquad (**) .$

В задаче о 3-й космической скорости скорость ракеты к моменту времени $t_2$ в ИСО покоя Солнца по условию задачи обращается в ноль:

$v_2=0.$

Следовательно, для величины 3-й космической скорости $v_1$ в ИСО покоя Солнца получаем знакомое уравнение

$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{GmM_{\text{С}}}{R_1} - \frac{GmM_{\text{З}}}{R} = 0 $

и, соответственно, знакомый ответ. Видим таким образом, что в ИСО покоя Солнца эта задача решается намного проще, а физическая информация об искомой космической скорости одинакова в обеих ИСО.)