Теоремы о разности квадратов двух целых чисел

[grizzly]

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Существуют ли в современной математике формулы, по которым можно определять пифагоровы тройки для любого заданного целого числа?

Да они не то что существуют -- их знает любой школьник с хорошей математической подготовкой. И даже если не знает, может их легко вывести. Вам уже вывели эти формулы выше. Но Вы, вероятно, не школьник (с этим здесь сложно -- никогда не знаешь, стоит ли поощрить или наоборот).

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Числу $51051$ в первой степени соответствует (опять же если я не ошибаюсь) $12$ пар целых чисел.

Конечно, ошибаетесь. wrest чуть выше объяснил, как посчитать количество разных вариантов представлений (их половина от числа делителей -- upd. для нечётного числа). Только нужно не забывать, что для квадрата целого числа количество делителей будет нечётно -- тогда зависит от того, учитываем мы 0 или нет.

[Svetlow]

wrest в сообщении #1268570 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268560 писал(а):

Так приведите эту формулу.

Так ведь... к степеням простых делителей прибавить единицы и полученные числа перемножить...
$51051=3^1\cdot7^1\cdot11^1\cdot13^1\cdot17^1$ так что количество делителей равно $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=32$, вот они все:
$16$ штук до корня: $1,3,7,11,13,17,21,33,39,51,77,91,119,143,187,221$
$16$ штук после корня: $231,273,357,429,561,663,1001,1309,1547,2431,3003,3927,4641,7293,17017,51051$

Начиная с числа $231$ определяются те же самые пары целых чисел, но меньшее число получается с минусом.

-- 24.11.2017, 13:23 --

grizzly в сообщении #1268584 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Существуют ли в современной математике формулы, по которым можно определять пифагоровы тройки для любого заданного целого числа?

Да они не то что существуют -- их знает любой школьник с хорошей математической подготовкой. И даже если не знает, может их легко вывести. Вам уже вывели эти формулы выше. Но Вы, вероятно, не школьник (с этим здесь сложно -- никогда не знаешь, стоит ли поощрить или наоборот).

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Числу $51051$ в первой степени соответствует (опять же если я не ошибаюсь) $16$ пар целых чисел.

Конечно, ошибаетесь. wrest чуть выше объяснил, как посчитать количество разных вариантов представлений (их половина от числа делителей). Только нужно не забывать, что для квадрата целого числа количество делителей будет нечётно -- тогда зависит от того, учитываем мы 0 или нет.

Единственные формулы, приведенные здесь, это формулы, приведенные Someone. Но они касаются всего лишь частных случаев.
Приведите, пожалуйста, эти таинственные, якобы известные любому школьнику , формулы.
И повторяю: дело не в количестве пар целых чисел ( в подсчете их количества можно ошибиться), а в методике их определения.
А wrest ошибся. По этому поводу я уже дал разъяснения.

[grizzly]

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

формулы, приведенные Someone. Но они касаются всего лишь частных случаев.

С точностью до наоборот.

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

И повторяю: дело не в количестве пар целых чисел ( в подсчете их количества можно ошибиться), а в методике их определения.

Никому не нужна методика, по которой нельзя ответить на самый простой вопрос.

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

А wrest ошибся.

Вы не поняли. 16 разных представлений. И для любого нечётного числа то же самое -- половина делителей. Все они элементарно находятся по методике, которую описал Someone.

-- 24.11.2017, 13:51 --

Svetlow
Пожалуйста, разберитесь в этой простой методике, поймите, как найти все 16 представлений. После этого приходите и попытайтесь аргументировать, чем Ваша методика лучше. Но не до того.

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268604 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

формулы, приведенные Someone. Но они касаются всего лишь частных случаев.

С точностью до наоборот.

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

И повторяю: дело не в количестве пар целых чисел ( в подсчете их количества можно ошибиться), а в методике их определения.

Никому не нужна методика, по которой нельзя ответить на самый простой вопрос.

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

А wrest ошибся.

Вы не поняли. 16 разных представлений. И для любого нечётного числа то же самое -- половина делителей. Все они элементарно находятся по методике, которую описал Someone.

-- 24.11.2017, 13:51 --

Svetlow
Пожалуйста, разберитесь в этой простой методике, поймите, как найти все 16 представлений. После этого приходите и попытайтесь аргументировать, чем Ваша методика лучше. Но не до того.

Вот Вам число $462$.
Определите, пожалуйста, по методике Someone пифагоровы тройки, в которые входит это число.
Процесс расчета надо проиллюстрировать.

[grizzly]

Svetlow
Спасибо. Домашние задания я здесь не принимаю. А Вас прошу выполнить. Но сначала для нечётных чисел -- как мы обсуждали всё это время, потому что это чуть проще. Для чётных там будет совсем небольшое изменение.

-- 24.11.2017, 14:13 --

Svetlow в сообщении #1268611 писал(а):

Вот Вам число $462$

Ладно, помогу, раз раздел ПРР. Подсказка: число 462 при делении на 4 даёт в остатке 2.

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Существует ли в современной математике то, что я назвал теоремами, в той формулировке, которую я привел?
Известны ли в современной математике те формулы, которые я привел, и которые можно использовать для определения пифагоровых троек, в которые входить любое заданное целое число, соответствующее условиям, указанным в теоремах?

Да, и это было известно еще Ферма, если не раньше: Каждому разложению на множители $m = cd$ соответствует представление в виде разности квадратов $m = \left(\frac{c + d}{2}\right)^2 - \left(\frac{c - d}{2}\right)^2$. Ваши формулы получаются отсюда подстановкой $c = m/d$.

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

По моим формулам можно определять все пифагоровы тройки, в которые входит заданное целое число.

Нет, только те, где число является катетом.

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Существуют ли в современной математике формулы, по которым можно определять пифагоровы тройки для любого заданного целого числа?

Да.

[wrest]

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

Начиная с числа $231$ определяются те же самые пары целых чисел, но меньшее число получается с минусом.

Ну естественно, сколько делителей меньших квадратного корня, столько же и больше.

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

А wrest ошибся. По этому поводу я уже дал разъяснения.

Вы просили [общеизвестную] формулу количества делителей числа, я вам её дал. Для 51051 это количество равно 32. Разложений 51051 на два множителя, соответственно 16, т.к. умножение коммутативно.
Так что, после того как разложение на простые множители найдено, 16 пар подходящих разностей квадратов ищутся элементарно.
Например из ваших

Svetlow в сообщении #1268422 писал(а):

$51051=1510^2-1493^2$
$51051=1970^2-1957^2$
$51051=2326^2-2315^2$
$51051=3650^2-3643^2$
$51051=8510^2-8507^2$

Первая пара: $(3927+13)/2=1970; (3927-13)/2=1957$
Вторая пара: $(4641+11)/2=2326; (4641-11)/2=2315$
Третья пара: $(7293+7)/2=3650;(7293-7)/2=3643$
Четвертая пара: $(17017+3)/2=8510;(17017-3)/2=8507$
В скобках -- сумма и разность делителей числа 51051, произведение которых дает само число 51051, и таких пар - 16.

Вот вам и говорят:

grizzly в сообщении #1268467 писал(а):

Ничего не нужно перебирать. Если Вы попытаетесь найти хотя бы 17 (из Ваших около 40) представлений числа 51051 в виде разности квадратов двух натуральных чисел, то Вы сами разберётесь, где там у Вас ошибки.

Соответственно, по вашим формулам

Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):

$b=\frac{a^n+d^2}{2d}$ (2)
$c=\frac{a^n-d^2}{2d}$ (3)
Здесь $d$ –делитель числа $a^n$ одинаковой с ним четности.

Для числа 51051 найдется 16 штук подходящих чисел $d$, а вы пишете что для 51051 разложений в разность квадратов около 40. Где же остальные?

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268615 писал(а):

Svetlow
Спасибо. Домашние задания я здесь не принимаю. А Вас прошу выполнить. Но сначала для нечётных чисел -- как мы обсуждали всё это время, потому что это чуть проще. Для чётных там будет совсем небольшое изменение.

-- 24.11.2017, 14:13 --

То, что Вы написали, означает, что по методике Someone определение пифагоровых троек для числа $462$ выполнить невозможно.
Кстати, какие изменения надо внести в методику Someone , чтобы выполнить эти расчеты для четного числа, кратного $2$?

[wrest]

Svetlow в сообщении #1268622 писал(а):

расчеты для четного числа, кратного $2$

Э... так ведь все четные числа кратны 2. По определению четных чисел.

[Someone]

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

Единственные формулы, приведенные здесь, это формулы, приведенные Someone. Но они касаются всего лишь частных случаев.
Приведите, пожалуйста, эти таинственные, якобы известные любому школьнику , формулы.

Someone в сообщении #1268435 писал(а):

Собственно, способ простой и не зависит от того, является ли число $N$ степенью другого целого числа.
Если число $N$ нечётное, то его можно представить как произведение двух нечётных чисел: $N=mn$, где $m<n$. Например, $m=1$, $n=N$. Тогда числа $m+n$ и $m-n$ оба чётные. Следовательно, числа $a=\frac{n+m}2$ и $b=\frac{n-m}2$ целые. Легко проверить, что $N=a^2-b^2$.
Если же число $N$ делится на $4$, то его можно представить как произведение двух чётных чисел. Например, $m=2$, $n=\frac N2$. Все остальные формулы точно такие же, как в случае нечётных чисел.

Вот это и есть универсальные формулы, которые дают все представления заданного числа разностью квадратов. Просто вместо $m$ подставляйте все делители числа $N$, меньшие $\sqrt{N}$ и удовлетворяющие условию, что $m$ и $n=\frac Nm$ имеют одинаковую чётность. Правила эти широко известны и вполне могут встречаться в школьных математических олимпиадах.

Замечание:

grizzly в сообщении #1268584 писал(а):

Только нужно не забывать, что для квадрата целого числа количество делителей будет нечётно -- тогда зависит от того, учитываем мы 0 или нет.

То есть, если $N=a^2$ — точный квадрат, то нужно решить, устраивает Вас представление $N=a^2-0^2$ или не устраивает.

Svetlow в сообщении #1268586 писал(а):

Начиная с числа $231$ определяются те же самые пары целых чисел

А почему Вы этому удивляетесь? Разве не очевидно, что в представлении числа произведением $N=mn$ оба числа $m$ и $n$ являются делителями числа $N$? И если в формулах $a=\frac{n+m}2$ и $b=\frac{n-m}2$ поменять местами $m$ и $n$, то $a$ не изменится, а $b$ изменит знак?

Но Вы писали:

Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):

По той методике, которую я привел, расчеты делаются элементарно для любого заданного числа.

А когда я Вам предложил проделать это для числа $3\cdot 10^9+1$ или $3\cdot 10^{72}+1$, Вы запросили с меня список делителей. Ну, со списком делителей это действительно элементарно, но никому не интересно. А Вы без списка делителей можете? То есть, умеете ли Вы "элементарно" разлагать большие числа на простые множители? Если да — продемонстрируйте. А если нет — воспользуйтесь ссылкой, которую я уже давал, и не говорите больше, что "расчёты делаются элементарно для любого заданного числа". А с числом, которое предлагал mihaild, лучше не связывайтесь.

Svetlow в сообщении #1268622 писал(а):

То, что Вы написали, означает, что по методике Someone определение пифагоровых троек для числа $462$ выполнить невозможно.
Кстати, какие изменения надо внести в методику Someone , чтобы выполнить эти расчеты для четного числа, кратного $2$?

У меня написано. Берите квадрат этого самого числа и применяйте к нему "мою" методику. Которая вовсе не моя, а бог знает какой древности.

[Svetlow]

wrest в сообщении #1268623 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268622 писал(а):

расчеты для четного числа, кратного $2$

Э... так ведь все четные числа кратны 2. По определению четных чисел.

Имеется ввиду, что заданное четное целое число равно произведению нечетного целого числа на число $2$ в первой степени.

[wrest]

Svetlow в сообщении #1268625 писал(а):

Имеется ввиду, что заданное четное целое число равно произведению нечетного числа на число $2$ в первой степени.

То есть, иными словами, заданное четное число не кратно 4, как например упомянутое 462? Ну так бы и писали тогда.

[Svetlow]

wrest в сообщении #1268628 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268625 писал(а):

Имеется ввиду, что заданное четное целое число равно произведению нечетного числа на число $2$ в первой степени.

То есть, иными словами, заданное четное число не кратно 4, как например упомянутое 462? Ну так бы и писали тогда.

В моих теоремах все четко написано.

[wrest]

С кратностью двойке и четверке всё, как мне кажется, просто.

Если двойка входит в разложение числа $c$ на простые множители в первой степени, то во всех разложениях на два множителя $c=ab$ числа $a$ и $b$ будут обязательно разной четности, так так двойка в качестве [со]множителя войдет только в одно из них. Их полусумма и полуразность $(a\pm b)/2$ будет нецелой и тогда такое число $c$ в виде разности квадратов представить нельзя вообще.

Если же двойка входит в разложение числа $c$ на простые множители во второй или более высокой степени, то в части разложений $c=ab$ числа $a$ и $b$ будут одинаковой четности, так так двойка в качестве множителя войдет как в число $a$ так и в число $b$, и из этих разложений можно будет сделать разность квадратов.

Подсчитать количество возможных разложений на разность квадратов в этом случае нетрудно, справитесь?
Допустим известно, что двойка входит в разложение числа в $k$-й степени, сумма всех степеней простых делителей числа равна $n$, а произведение всех степеней простых делителей числа увеличенных на единицу равно $m$. Можете написать формулу количества пар чисел, где разность квадратов дает исходное число?

Поясняю. Допустим есть число $35728=2^4\cdot7^1\cdot11^2$
Для него $k=4;n=4+1+2=7;m=(4+1)\cdot(1+1)\cdot(2+1)=30$ Пусть $t$ - количество пар чисел $a$ и $b$ таких, что $a^2-b^2=c$.
Чему равно $t$? Если выведете формулу для $t$, будет вам еще одна теорема ;)

[provincialka]

Что меня умиляет, большое число участников говорят ТС "ваши формулы известны давно и большому числу людей", а он все спорит... Причем и записал-то он факты криво! зачем так много случаев?