Теоремы о разности квадратов двух целых чисел

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268425 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268422 писал(а):

И так далее. Около $40$ пар.

Это я уже слышал. Вопрос: почему около 40, а не около 30 или около 50? Как это зависит от состава числа?

Надо перебирать все возможные варианты значения числа $d$, составляя его из простых делителей числа $a^n$ в соответствующей степени таким образом, чтобы выполнялось условие: $d^2<a^n$.
Число пар зависит от количества простых делителей числа $a^n$ в соответствующей степени.
Для числа $51051$, т.е. числа в первой степени, привожу часть делителей:$1, 3, 7, 11, 13, 17, 3^2, 7^2, 11^2, 13^2, 17^2, 21^2, 33^2, 39^2, 51^2$.
Для числа $51051$ число $d$ не может содержать числа в степени $n>2$.

[Someone]

Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):

Приведите, пожалуйста, хотя бы один пример.

mihaild и имел в виду, что таких чисел нет. Вы ведь спросили про нечётные числа?

Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):

Как быть с нечетными числами?

Ну так они и не дают остатка $2$ при делении на $4$. Следовательно, по Серпинскому, должны представляться разностью квадратов двух натуральных чисел. Причём, Серпинский считает, что это легко доказать. И для нечётных чисел, и для делящихся на $4$. Думаю, что это было известно ещё во времена Евклида.

Собственно, способ простой и не зависит от того, является ли число $N$ степенью другого целого числа.
Если число $N$ нечётное, то его можно представить как произведение двух нечётных чисел: $N=mn$, где $m<n$. Например, $m=1$, $n=N$. Тогда числа $m+n$ и $m-n$ оба чётные. Следовательно, числа $a=\frac{n+m}2$ и $b=\frac{n-m}2$ целые. Легко проверить, что $N=a^2-b^2$.
Если же число $N$ делится на $4$, то его можно представить как произведение двух чётных чисел. Например, $m=2$, $n=\frac N2$. Все остальные формулы точно такие же, как в случае нечётных чисел.

Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):

То, что Вы говорите, означает делать все перебором чисел. Очень приятное занятие.
По той методике, которую я привел, расчеты делаются элементарно для любого заданного числа.

Ну да, одно представление разностью квадратов указывается моментально:

$$N=\begin{cases}\left(\frac{N+1}2\right)^2-\left(\frac{N-1}2\right)^2\text{, если $N$ нечётное,}\\ \left(\frac{N+4}4\right)^2-\left(\frac{N-4}4\right)^2\text{, если $N$ делится на $4$.}\end{cases}$$

А найти другие представления может оказаться достаточно затруднительно. Например, при вычислениях "на бумажке" будут проблемы с числом $3\cdot 10^9+1$. А с числом $3\cdot 10^{72}+1$ и компьютеру нужно повозиться (на моём компьютере Wolfram Mathematica потратила более $4$ часов).

[Svetlow]

Someone,
все, что Вы написали, верно, но мои формулы универсальны.
Для числа $3\cdot10^9+1$ числа равны:
$b=\frac{(3\cdot10^9+1)+1}{2}$
$c=\frac{(3\cdot10^9+1)-1}{2}$

[Someone]

Svetlow в сообщении #1268439 писал(а):

мои формулы

А я что написал?

Someone в сообщении #1268435 писал(а):

$$N=\begin{cases}\left(\frac{N+1}2\right)^2-\left(\frac{N-1}2\right)^2\text{, если $N$ нечётное,}\\ \left(\frac{N+4}4\right)^2-\left(\frac{N-4}4\right)^2\text{, если $N$ делится на $4$.}\end{cases}$$

Вы второе представление найдите. Вручную.

[mihaild]

Svetlow в сообщении #1268439 писал(а):

Для числа $3\cdot10^9+1$ числа равны:

И именно их и написал Someone.

Кстати, можете ли вы с помощью ваших формул найти нужное представление для числа $n$

(число)

135066410865995223349603216278805969938881475605667027524485143851526510604859533833940287150571909441798207282164471551373680419703964191743046496589274256239341020864383202110372958725762358509643110564073501508187510676594629205563685529475213500852879416377328533906109750544334999811150056977236890927563

, кроме $\left(\frac{N\pm 1}{2}\right)^2$? Можно даже не вручную.

[Svetlow]

mihaild в сообщении #1268445 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268439 писал(а):

Для числа $3\cdot10^9+1$ числа равны:

И именно их и написал Someone.

Кстати, можете ли вы с помощью ваших формул найти нужное представление для числа $n$

(число)

135066410865995223349603216278805969938881475605667027524485143851526510604859533833940287150571909441798207282164471551373680419703964191743046496589274256239341020864383202110372958725762358509643110564073501508187510676594629205563685529475213500852879416377328533906109750544334999811150056977236890927563

, кроме $\left\frac{N\pm 1}{2}\right)^2$? Можно даже не вручную.

Можно, если Вы сообщите мне делители числа $3\cdot10^9+1$

[Someone]

Кстати, замечательный скрипт Альпертона разложил число $3\cdot 10^{72}+1$ на множители примерно за $36{,}6$ минуты.

Svetlow в сообщении #1268447 писал(а):

если Вы сообщите мне делители числа

Ну да, если я за Вас все вычисления сделаю, то конечно. С делителями я и сам справлюсь, вся проблема именно в нахождении делителей сидит.

[grizzly]

Svetlow в сообщении #1268433 писал(а):

Надо перебирать все возможные варианты значения числа $d$

Ничего не нужно перебирать. Если Вы попытаетесь найти хотя бы 17 (из Ваших около 40) представлений числа 51051 в виде разности квадратов двух натуральных чисел, то Вы сами разберётесь, где там у Вас ошибки. Никто здесь за Вас эту простую работу делать не будет.

[provincialka]

Svetlow
А вы умеете вычислять число делителей в том случае, когда нам известно разложение числа на простые множители? Там формула достаточно простая... для 8 класса...

[Svetlow]

provincialka в сообщении #1268511 писал(а):

Svetlow
А вы умеете вычислять число делителей в том случае, когда нам известно разложение числа на простые множители? Там формула достаточно простая... для 8 класса...

Так приведите эту формулу.

[provincialka]

Svetlow Зачем? Вы же у нас "сочинитель теорем". Вот и выведите её.

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268467 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268433 писал(а):

Надо перебирать все возможные варианты значения числа $d$

Ничего не нужно перебирать. Если Вы попытаетесь найти хотя бы 17 (из Ваших около 40) представлений числа 51051 в виде разности квадратов двух натуральных чисел, то Вы сами разберётесь, где там у Вас ошибки. Никто здесь за Вас эту простую работу делать не будет.

Я допустил не ошибку, а неточность в формулировках.
Числу $51051$ в первой степени соответствует (опять же если я не ошибаюсь) $16$ пар целых чисел.
А число $40$ (опять же ориентировочное) - это число пар целых чисел, составляющих с числом $51051$ пифагоровы тройки:
$b=\frac{51051^2+d^2}{2d}$
$c=\frac{51051^2-d^2}{2d}$
При этом около $10$ пифагоровых троек будут со взаимно простыми числами.

Господа,
предлагаю перейти к конструктивному конкретному разговору.
Дело не в количестве пар целых чисел. Если я ошибся в подсчете этих пар, это не значит, что приведенные мною формулы для расчета этих пар не верны.
Ответьте на вопросы:
Существует ли в современной математике то, что я назвал теоремами, в той формулировке, которую я привел?
Известны ли в современной математике те формулы, которые я привел, и которые можно использовать для определения пифагоровых троек, в которые входить любое заданное целое число, соответствующее условиям, указанным в теоремах?
По моим формулам можно определять все пифагоровы тройки, в которые входит заданное целое число.
Существуют ли в современной математике формулы, по которым можно определять пифагоровы тройки для любого заданного целого числа?

[kotenok gav]

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Существует ли в современной математике то, что я назвал теоремами, в той формулировке, которую я привел?

Да.

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Известны ли в современной математике те формулы, которые я привел, и которые можно использовать для определения пифагоровых троек, в которые входить любое заданное целое число, соответствующее условиям, указанным в теоремах?

Да.

[wrest]

Svetlow в сообщении #1268560 писал(а):

Так приведите эту формулу.

Так ведь... к степеням простых делителей прибавить единицы и полученные числа перемножить...
$51051=3^1\cdot7^1\cdot11^1\cdot13^1\cdot17^1$ так что количество делителей равно $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=32$, вот они все:
$16$ штук до корня: $1,3,7,11,13,17,21,33,39,51,77,91,119,143,187,221$
$16$ штук после корня: $231,273,357,429,561,663,1001,1309,1547,2431,3003,3927,4641,7293,17017,51051$

[provincialka]

Svetlow в сообщении #1268568 писал(а):

Существуют ли в современной математике формулы, по которым можно определять пифагоровы тройки для любого заданного целого числа?

Ага. А ещё есть формулы, которые позволяют генерировать все пифагоровы тройки как двухпараметрическое семейство. Их знает каждый, кто готовился к олимпиадам по математике, начиная 7-8 класса (а судя по тому, что отвечает вам kotenok gav), некоторые и раньше.