Теоремы о разности квадратов двух целых чисел

[Svetlow]

Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Первая теорема:
Любое нечетное целое число $N>1$ в степени $1, 2, 3, 4,\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Вторая теорема:
Любое четное целое число, кратное $2^k, в степени $1, 2, 3, 4,\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Третья теорема:
Любое четное целое число, кратное $2$, в степени $2, 3, 4, 5\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Общие формулы:
Исходная формула:
$a^n=b^2-c^2$ (1)
Числа $b, c$ равны:
$b=\frac{a^n+d^2}{2d}$ (2)
$c=\frac{a^n-d^2}{2d}$ (3)
Здесь $d$ –делитель числа $a^n$ одинаковой с ним четности.

Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа. Например, число $51051$, равное произведению чисел $3, 7, 11, 13, 17$, равно разности квадратов порядка $40$ пар целых чисел, при этом порядка $10$ пар содержат числа $b, c$ взаимно простые между собой и с числом $a$.

[provincialka]

И чего? Какие числа представимы в виде разности квадратов -- всем известно легко обнаружить. Зачем нужно столько "теорем"?

[Svetlow]

provincialka в сообщении #1268376 писал(а):

И чего? Какие числа представимы в виде разности квадратов -- всем известно легко обнаружить. Зачем нужно столько "теорем"?

В математике не обнаруживают вслепую, а устанавливают закономерности.
Укажите, пожалуйста, ссылку на всем известные формулы или методики выполнения расчетов, приведенных мною.
Если я не ошибаюсь, известна только формула Евклида.

[mihaild]

(первый результат google по запросу "какие числа представимы в виде разности двух квадратов")

Серпинский в Что мы знаем и чего не знаем о простых числах писал(а):

Легко доказать, что для того, чтобы натуральное число $n>1$ было разностью двух квадратов натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на $4$ не давало в остатке $2$.

[Svetlow]

mihaild в сообщении #1268388 писал(а):

(первый результат google по запросу "какие числа представимы в виде разности двух квадратов")

Серпинский в Что мы знаем и чего не знаем о простых числах писал(а):

Легко доказать, что для того, чтобы натуральное число $n>1$ было разностью двух квадратов натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на $4$ не давало в остатке $2$.

Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?
Как быть с нечетными числами? Они на $4$ не делятся.

[wrest]

Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):

равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.

А что значит "разность квадратов нескольких пар чисел".
Допустим есть две пары целых чисел: первая $(a_1,b_1)$ и вторая $(a_2,b_2)$ Чему равна разность квадратов этих двух пар чисел?

[mihaild]

Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):

Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?

Самостоятельные попытки решения?

Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):

Как быть с нечетными числами?

Упражнение: найти все нечетные числа, дающие $2$ в остатке при делении на $4$.

[Svetlow]

wrest в сообщении #1268392 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):

равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.

А что значит "разность квадратов нескольких пар чисел".
Допустим есть две пары целых чисел: первая $(a_1,b_1)$ и вторая $(a_2,b_2)$ Чему равна разность квадратов этих двух пар чисел?

$35^3=870^2-845^2$
$35^3=462^2-413^2$
$35^3=21438^2-21437^2$

[wrest]

Svetlow
А, понятно. А то я подумал, что надо брать несколько пар, вычислять разность квадратов и потом еще вычитать получившиеся разности друг из друга и так по сорок раз...

[Svetlow]

mihaild в сообщении #1268393 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):

Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?

Самостоятельные попытки решения?

Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):

Как быть с нечетными числами?

Упражнение: найти все нечетные числа, дающие $2$ в остатке при делении на $4$.

Приведите, пожалуйста, хотя бы один пример.
То, что Вы говорите, означает делать все перебором чисел. Очень приятное занятие.
По той методике, которую я привел, расчеты делаются элементарно для любого заданного числа.
При этом в любой степени.

[mihaild]

Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):

Приведите, пожалуйста, хотя бы один пример.

Пример чего?

Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):

То, что Вы говорите, означает делать все перебором чисел

Нет, то что я говорю не "означает делать" что-то. Это просто утверждение о том, какие именно числа представимы в виде $n^2 - m^2$.

В чем ваш результат-то состоит? Что "в любой степени"?
Решения уравнения $n^2 - m^2 = a$ относительно $n, m$? Какое-то или все?

[grizzly]

Svetlow
Не спешите ругаться. Посмотрите упомянутую книгу и доказательства в ней. Ведь всё гуглится не отходя от стула.

Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):

Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа.

Вот здесь было бы интересно услышать подробности. В книге Серпинского сказано только (если я не ошибаюсь), что простые имеют точно одно разложение в виде разности квадратов целых чисел, а составные нечётные -- больше одного. Но вот насколько больше и как это зависит от состава числа -- достаточно интересно. У Вас есть какой-то ответ на этот вопрос? Или только то, что сказано в книге?

[Svetlow]

grizzly в сообщении #1268414 писал(а):

Svetlow
Не спешите ругаться. Посмотрите упомянутую книгу и доказательства в ней. Ведь всё гуглится не отходя от стула.

Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):

Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа.

Вот здесь было бы интересно услышать подробности. В книге Серпинского сказано только (если я не ошибаюсь), что простые имеют точно одно разложение в виде разности квадратов целых чисел, а составные упомянутого вида -- больше одного. Но вот насколько больше и как это зависит от состава числа -- достаточно интересно. У Вас есть какой-то ответ на этот вопрос? Или только то, что сказано в книге?

$51051=1510^2-1493^2$
$51051=1970^2-1957^2$
$51051=2326^2-2315^2$
$51051=3650^2-3643^2$
$51051=8510^2-8507^2$
И так далее. Около $40$ пар.
Расчеты ведутся по приведенным формулам.
Должно выполняться единственное условие: $d^2<a^n$

[grizzly]

Svetlow в сообщении #1268422 писал(а):

И так далее. Около $40$ пар.

Это я уже слышал. Вопрос: почему около 40, а не около 30 или около 50? Как это зависит от состава числа?

[gris]

Вообще-то, из формулы суммы последовательных нечётных чисел от $1$ до $2k+1$ сразу следует Теорема 1