2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 17:19 


23/11/17

31
Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Первая теорема:

Любое нечетное целое число $N>1$ в степени $1, 2, 3, 4,\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Вторая теорема:
Любое четное целое число, кратное $2^k, в степени $1, 2, 3, 4,\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Третья теорема:
Любое четное целое число, кратное $2$, в степени $2, 3, 4, 5\cdot\cdot\cdot$ равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.
Общие формулы:
Исходная формула:
$a^n=b^2-c^2$ (1)
Числа $b, c$ равны:
$b=\frac{a^n+d^2}{2d}$ (2)
$c=\frac{a^n-d^2}{2d}$ (3)
Здесь $d$ –делитель числа $a^n$ одинаковой с ним четности.

Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа. Например, число $51051$, равное произведению чисел $3, 7, 11, 13, 17$, равно разности квадратов порядка $40$ пар целых чисел, при этом порядка $10$ пар содержат числа $b, c$ взаимно простые между собой и с числом $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
И чего? Какие числа представимы в виде разности квадратов -- всем известно легко обнаружить. Зачем нужно столько "теорем"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:10 


23/11/17

31
provincialka в сообщении #1268376 писал(а):
И чего? Какие числа представимы в виде разности квадратов -- всем известно легко обнаружить. Зачем нужно столько "теорем"?

В математике не обнаруживают вслепую, а устанавливают закономерности.
Укажите, пожалуйста, ссылку на всем известные формулы или методики выполнения расчетов, приведенных мною.
Если я не ошибаюсь, известна только формула Евклида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8354
Цюрих
(первый результат google по запросу "какие числа представимы в виде разности двух квадратов")
Легко доказать, что для того, чтобы натуральное число $n>1$ было разностью двух квадратов натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на $4$ не давало в остатке $2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:30 


23/11/17

31
mihaild в сообщении #1268388 писал(а):
(первый результат google по запросу "какие числа представимы в виде разности двух квадратов")
Легко доказать, что для того, чтобы натуральное число $n>1$ было разностью двух квадратов натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на $4$ не давало в остатке $2$.

Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?
Как быть с нечетными числами? Они на $4$ не делятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:32 


05/09/16
11468
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.

А что значит "разность квадратов нескольких пар чисел".
Допустим есть две пары целых чисел: первая $(a_1,b_1)$ и вторая $(a_2,b_2)$ Чему равна разность квадратов этих двух пар чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8354
Цюрих
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?
Самостоятельные попытки решения?
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Как быть с нечетными числами?
Упражнение: найти все нечетные числа, дающие $2$ в остатке при делении на $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:42 


23/11/17

31
wrest в сообщении #1268392 писал(а):
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел.

А что значит "разность квадратов нескольких пар чисел".
Допустим есть две пары целых чисел: первая $(a_1,b_1)$ и вторая $(a_2,b_2)$ Чему равна разность квадратов этих двух пар чисел?


$35^3=870^2-845^2$
$35^3=462^2-413^2$
$35^3=21438^2-21437^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 18:56 


05/09/16
11468
Svetlow
А, понятно. А то я подумал, что надо брать несколько пар, вычислять разность квадратов и потом еще вычитать получившиеся разности друг из друга и так по сорок раз...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:05 


23/11/17

31
mihaild в сообщении #1268393 писал(а):
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Ну, и что? Где это "легкое доказательство"?
Самостоятельные попытки решения?
Svetlow в сообщении #1268391 писал(а):
Как быть с нечетными числами?
Упражнение: найти все нечетные числа, дающие $2$ в остатке при делении на $4$.

Приведите, пожалуйста, хотя бы один пример.
То, что Вы говорите, означает делать все перебором чисел. Очень приятное занятие.
По той методике, которую я привел, расчеты делаются элементарно для любого заданного числа.
При этом в любой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8354
Цюрих
Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):
Приведите, пожалуйста, хотя бы один пример.
Пример чего?
Svetlow в сообщении #1268407 писал(а):
То, что Вы говорите, означает делать все перебором чисел
Нет, то что я говорю не "означает делать" что-то. Это просто утверждение о том, какие именно числа представимы в виде $n^2 - m^2$.

В чем ваш результат-то состоит? Что "в любой степени"?
Решения уравнения $n^2 - m^2 = a$ относительно $n, m$? Какое-то или все?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Svetlow
Не спешите ругаться. Посмотрите упомянутую книгу и доказательства в ней. Ведь всё гуглится не отходя от стула.
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа.
Вот здесь было бы интересно услышать подробности. В книге Серпинского сказано только (если я не ошибаюсь), что простые имеют точно одно разложение в виде разности квадратов целых чисел, а составные нечётные -- больше одного. Но вот насколько больше и как это зависит от состава числа -- достаточно интересно. У Вас есть какой-то ответ на этот вопрос? Или только то, что сказано в книге?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:36 


23/11/17

31
grizzly в сообщении #1268414 писал(а):
Svetlow
Не спешите ругаться. Посмотрите упомянутую книгу и доказательства в ней. Ведь всё гуглится не отходя от стула.
Svetlow в сообщении #1268375 писал(а):
Примечание: количество пар целых чисел для каждого заданного целого числа зависит от состава этого числа.
Вот здесь было бы интересно услышать подробности. В книге Серпинского сказано только (если я не ошибаюсь), что простые имеют точно одно разложение в виде разности квадратов целых чисел, а составные упомянутого вида -- больше одного. Но вот насколько больше и как это зависит от состава числа -- достаточно интересно. У Вас есть какой-то ответ на этот вопрос? Или только то, что сказано в книге?

$51051=1510^2-1493^2$
$51051=1970^2-1957^2$
$51051=2326^2-2315^2$
$51051=3650^2-3643^2$
$51051=8510^2-8507^2$
И так далее. Около $40$ пар.
Расчеты ведутся по приведенным формулам.
Должно выполняться единственное условие: $d^2<a^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Svetlow в сообщении #1268422 писал(а):
И так далее. Около $40$ пар.
Это я уже слышал. Вопрос: почему около 40, а не около 30 или около 50? Как это зависит от состава числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение23.11.2017, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Вообще-то, из формулы суммы последовательных нечётных чисел от $1$ до $2k+1$ сразу следует Теорема 1 :?:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 92 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group