Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)

[mihiv]

Ser26rus в сообщении #1268029 писал(а):

И если раскрыть скобки получаем: $\displaystyle{v \left( \xi,\eta \right) ={{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}\Phi\left( \xi \right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}\Psi\left( \eta \right)},$ что является неверным

Ser26rus
Поясните, что такое $\Phi \left (\xi \right),\Psi \left (\eta \right )$.

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1268050 писал(а):

Извините, отыскивать у Вас арифметические ошибки в условиях, когда полное решение не выписано, я не могу. Изложите подробно своё решение. Глядишь, и сами ошибки найдёте.

К сожалению, ошибок найти не удалось. По крайней мере мне.

$$ 3u_{xx}-10u_{xy}+3u_{yy}-2u_{x}+4u_{y}+\frac{15}{6}u=0. $$

$\delta=16>0$ - гиперболический тип.
Характеристическое уравнение:

$$ 3\,(dy)^{2}+10\,dx\,dy+3\,(dx)^{2}=0. $$

$$ 3dy-\left(-5+\sqrt{25-9}\right)dx=0\hspace{20pt}\text{и}\hspace{20pt} 3dy-\left(-5-\sqrt{25-9}\right)dx=0, $$

$$ \hspace{8pt}3dy+dx=0\hspace{48pt}3dy+9dx=0, $$

$$ \hspace{8pt}y+\frac{x}{3}=C_{1}\hspace{48pt} y+3x=C_{2}. $$

Выполним замену переменных:

$$ \begin{cases} C_{1}=\xi(x,y)=\displaystyle{y+\frac{x}{3}},\\ C_{2}=\eta(x,y)=y+3x. \end{cases} $$

Чтобы подставить новые переменные в исходное уравнение, положим

$$ v(\xi,\eta)=u(x,y) $$

и найдём$\hspace{5pt}u_{x},\hspace{5pt}u_{y},\hspace{5pt}u_{xx},\hspace{5pt}u_{xy},\hspace{5pt}u_{yy}\hspace{5pt}$ как производные сложной функции$\hspace{5pt}v(\xi(x,y),\eta(x,y)):$

$$ u_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}= \frac{1}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+ 3\frac{\partial v}{\partial \eta}, $$

$$ u_{y}=\frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\partial v}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}= \frac{\partial v}{\partial \xi}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}, $$

$$ u_{xx}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+ 3\frac{\partial v}{\partial \eta}\right)= \frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{1}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+3\frac{\partial v}{\partial \eta}\right)+ $$

$$ + 3\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{1}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+ 3\frac{\partial v}{\partial \eta}\right)= \frac{1}{9}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ 2\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ 9\frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}, $$

$$ u_{yy}=\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}\right)= \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}+\frac{\partial v}{\partial \eta}\right)+ $$

$$ + \frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}\right)= \frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ 2\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ \frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}, $$

$$ u_{xy}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+ 3\frac{\partial v}{\partial \eta}\right)= \frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}\right)+ $$

$$ +3\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}\right)= \frac{1}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ \frac{10}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ 3\frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}. $$

Получаем:

$$ 3\left(\frac{1}{9}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ 2\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ 9\frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}\right)- 10\left(\frac{1}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ \frac{10}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ 3\frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}\right)+ 3\left(\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ 2\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ \frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}\right)- $$

$$ -2\left(\frac{1}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+ 3\frac{\partial v}{\partial \eta}\right)+ 4\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}+ \frac{\partial v}{\partial \eta}\right)+ \frac{5}{16}v= \frac{1}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ 6\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ 27\frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}- \frac{10}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}- $$

$$ -\frac{100}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}- 30\frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}+ 3\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi^{2}}+ 6\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+ 3\frac{\partial^{2}v}{\partial \eta^{2}}- \frac{2}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}- 6\frac{\partial v}{\partial \eta}+ 4\frac{\partial v}{\partial \xi}+ 4\frac{\partial v}{\partial \eta}+ \frac{5}{16}v= $$

$$ =-\frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}- 2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v. $$

Получили:

$$-\frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}- 2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v=0,v(\xi,\eta)=u(x,y)$$

Произведём дальнейшее упрощение с помощью замены:

$$ \displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

откуда:

$$ v_{\xi}=(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},\hspace{20pt} v_{\eta}=(w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta}, $$

$$ v_{\xi\eta}=(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+ (w_{\xi}+aw)\cdot b\cdot e^{a\xi+b\eta}. $$

Подставим эти выражения в левую часть уравнения:

$$\displaystyle{-\frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}+\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}- 2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v=} $$

$$ -\frac{64}{3}\left((w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+ (w_{\xi}+aw)\cdot b\cdot e^{a\xi+b\eta}\right)+ \frac{10}{3}\left((w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta}\right)- $$

$$ -2\left((w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta}\right)+ \frac{5}{16}\left(w\cdot e^{a\xi+b\eta}\right)= $$

$$ =e^{a\xi+b\eta}\cdot\left[-\frac{64}{3}w_{\xi\eta}-\frac{64}{3}aw_{\eta}-\frac{64}{3}bw_{\xi}-\frac{64}{3}abw+\frac{10}{3}w_{\xi}+\frac{10}{3}aw-2w_{\eta}-2bw+ \frac{5}{16}w\right]= $$

$$ =e^{a\xi+b\eta}\cdot\left[-\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+ \left(-\frac{64}{3}a-2\right)w_{\eta}+ \left(-\frac{64}{3}b+\frac{10}{3}\right)w_{\xi}+ \left(-\frac{64}{3}ab+\frac{10}{3}a-2b+\right.\right. $$

$$ +\left.\left.\frac{5}{16}\right)w\right]. $$

Выберем $a$ и $b$ так, чтобы скобки, умножаемые на $w_{\xi},\hspace{5pt}w_{\eta}$ стали равны нулю:

$$ a=-\frac{3}{32},\hspace{20pt}b=\frac{5}{32} \hspace{10pt}\Rightarrow \hspace{10pt} -\frac{64}{3}ab+\frac{10}{3}a-2b+\frac{5}{16}=0. $$

После подстановки найденных $a,\space b$ и сокращения на $e^{a\xi+b\eta}$ получим:

$$ -\frac{64}{3}w_{\xi\eta}=0. $$

-- 22.11.2017, 21:54 --

mihiv в сообщении #1268124 писал(а):

Поясните, что такое $\Phi \left (\xi \right),\Psi \left (\eta \right )$.

Общее решение $w_{\xi\eta}=0$:

$$ w_{\xi\eta}=\Phi(\xi)+\Psi(\eta) $$

Посмотрите, пожалуйста, на моё сообщение выше. Привёл полное решение до этого момента.

[Someone]

$-\frac{64}3$ тоже надо сократить.

[Lia]

Ser26rus
Ох ты ничего себе Вы напряглись. На самом деле, - я Вас огорчу, - это лишнее. Вы все уже решили, только не понимаете этого. А вот почему - вопрос интересный. Ответьте на вопрос mihiv, пожалуйста.

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1268135 писал(а):

$-\frac{64}3$ тоже надо сократить.

И получаем всё тоже $w_{\xi\eta}=0$, решение которого: $w(\xi,\eta)=\Phi(\xi)+\Psi(\eta)$.

-- 22.11.2017, 22:00 --

Lia в сообщении #1268138 писал(а):

Вы все уже решили, только не понимаете этого. А вот почему - вопрос интересный.

Это я у Вас и прошу, почему я не могу понять, что я не решил, т.е. не получил функцию $u(x,y)$

[Someone]

У Вас там при $u$ коэффициент равен $\frac{15}6$ или $\frac 5{16}$?

[Lia]

Ser26rus в сообщении #1268139 писал(а):

Это я у Вас и прошу, почему я не могу понять, что я не решил, т.е. не получил функцию $u(x,y)$

Lia в сообщении #1268138 писал(а):

Ответьте на вопрос mihiv, пожалуйста.

Просто так вопросы ведь не задают.

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1268142 писал(а):

У Вас там при $u$ коэффициент равен $\frac{15}6$ или $\frac 5{16}$?

$\frac{5}{16}$. Неверно набрал в "главном" уравнении.

-- 22.11.2017, 22:19 --

Lia в сообщении #1268145 писал(а):

Просто так вопросы ведь не задают.

Я на него выше ответил:

Ser26rus в сообщении #1268134 писал(а):

Общее решение $w_{\xi\eta}=0$:

$$ w_{\xi\eta}=\Phi(\xi)+\Psi(\eta) $$

Посмотрите, пожалуйста, на моё сообщение выше. Привёл полное решение до этого момента.

[Lia]

Ser26rus в сообщении #1268146 писал(а):

Я на него выше ответил:

Так вот что это за функции, в этом решении? Какие-то конкретные? Или какие?

[Someone]

Я подтверждаю, что выложенное решение верное. Но на вопросы надо ответить.

Ser26rus в сообщении #1268029 писал(а):

И если раскрыть скобки получаем: $\displaystyle{v \left( \xi,\eta \right) ={{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}\Phi\left( \xi \right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}\Psi\left( \eta \right)}$, что является неверным.

Во-первых, почему неверно? Во-вторых, зачем раскрывать скобки?

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1268152 писал(а):

Во-первых, почему неверно?

Ответ не сходиться с тем, что выдал Maple.

Someone в сообщении #1268152 писал(а):

Во-вторых, зачем раскрывать скобки?

Просто перемножение множителей

[Someone]

Ser26rus в сообщении #1268154 писал(а):

Просто перемножение множителей

А нафиг? С нераскрытыми скобками выглядит проще.

Ser26rus в сообщении #1268154 писал(а):

Ответ не сходиться с тем, что выдал Maple.

А что он выдал?

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1268155 писал(а):

А что он выдал?

$$ de:= v \left( \xi,\eta \right) }{3}}+10/3\,{\frac {\partial }{\partial \xi}} v \left( \xi,\eta \right) -2\,{\frac {\partial }{\partial \eta}}v \left( \xi,\eta \right) +{\frac {5\,v \left( \xi,\eta \right) }{16}}=0 $$

$$ pdsolve(de, v(\xi, \eta))=v \left( \xi,\eta \right) ={{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}F1 \left( \xi \right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}F2 \left( \eta \right) $$

Someone, Lia

Правильно ли я понимаю, что два множителя $e^{-\frac{3}{32}\xi}\cdot F1(\xi)$ заменили на условную функцию $F1'(\xi)$?
И тоже самое с множителями $e^{\frac{5}{32}\eta}\cdot F2(\eta)$ → $F2'(\eta)$

[Lia]

Угу. Только в последней строчке лабуда какая-то.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1268158 писал(а):

Угу. Только в последней строчке лабуда какая-то.

Поправил....

Someone

Я записывал общее решение как известный факт, т.е. $u_{xy}=0 \Rightarrow u(x,y)=\Phi(x)+\Psi(y)$.
Будут ли какие-то внутренние изменения, если расписывать решение, например так:
Имеем $v(\xi,\eta)=w(\xi\eta)\cdot e^{-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta}$ и $w_{\xi\eta}=0$.
Запишем последнее уравнение в виде:

$$ \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial w}{\patial \eta}\right)=0. $$

Пусть $\frac{\partial w}{\partial \eta}=g(\eta)$

И так далее..

Так если, можно ли сразу написать, что решением $w_{\xi\eta}=0$ является уравнение $w(\xi,\eta)=F1(\xi)+F2(\eta)$?