Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)

[Ser26rus]

Если честно, я в упор не вижу дальнейших действий

-- 22.11.2017, 03:27 --

Если только опять не разбивать частную производную второго порядка и интегрировать..

[Lia]

Значит, точно спать пора. Поспите, почитайте еще раз шпаргалку, если голова откажется думать... осталось самое простое.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267779 писал(а):

Значит, точно спать пора. Поспите, почитайте еще раз шпаргалку, если голова откажется думать... осталось самое простое.

Сейчас я в принципе не смогу уснуть, зная что я так близко
По шпаргалке, необходимо сократить на:

$$ \frac{64}{3}\exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right) $$

И получим:

$$ w_{\xi\eta}=0 $$

Решение которого имеет вид:

$$ w(\xi,\eta)=\Phi(\xi)+\Psi(\eta) $$

Подставляя \xi,\eta получим:

$$ w\left(x,y\right)=\Phi\left(y+\frac{3}{x}\right)+\Psi(y+3x) $$

[Lia]

Ага, только Вам не $w$ нужно, а так все ничего.

Ser26rus в сообщении #1267783 писал(а):

По шпаргалке, необходимо сократить на:

А почему на него можно сократить, надеюсь, понятно? (Это на утро.)

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267785 писал(а):

только Вам не $w$ нужно

Получается, w у нас равно:

$$w(\xi,\eta)={v \left( \xi,\eta \right) \left( {{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}+{ \frac {5\,\eta}{32}}}} \right) ^{-1}} $$

И что ?

Lia в сообщении #1267785 писал(а):

А почему на него можно сократить, надеюсь, понятно?

Интуитивно да, объяснить не могу почему именно..

[Lia]

Ser26rus
Зачем Вам выражать новое решение через старое, если нужно старое?

(Оффтоп)

Поваритесь немножко сами. Не дело это, по строчке на ровном месте.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267787 писал(а):

Ser26rus
Зачем Вам выражать новое решение через старое, если нужно старое?

(Оффтоп)

Поваритесь немножко сами. Не дело это, по строчке на ровном месте.

Я, видимо, на самом деле чего-то простого не понимаю.. Спасибо Вам за помощь!
Постараюсь утром добить это задание, но если что-то опять вразумительное не поступит в голову, то обращусь к Вам

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267787 писал(а):

Зачем Вам выражать новое решение через старое, если нужно старое?

Доброе утро
К сожалению, ничего стоящего, на мой взгляд, не заметил.

Поскольку необходимо выразить старое решение через новое, а это v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot\exp(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta), то не было, что ли, необходимости сокращать на

$$\frac{64}{3} \exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)$$

полностью, а только на

$$\frac{64}{3}$$

Тогда получается:

$$ \exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot w_{\xi\eta}=0 \Longrightarrow v(\xi,\eta)_{\xi\eta}=0 $$

Решение которого имеет всё тот же вид:

$$ v(\xi,\eta)=\Phi(\xi)+\Psi(\eta) $$

Поскольку u(x,y)=v(\xi,\eta) заключаем:

$$ u(x,y)=\Phi\left(y+\frac{x}{3}\right)+\Psi(y+3x) $$

[Someone]

Ser26rus в сообщении #1267917 писал(а):

Тогда получается:

$$ \exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot w_{\xi\eta}=0 \Longrightarrow v(\xi,\eta)_{\xi\eta}=0 $$

Не получается. Посчитайте частные производные и убедитесь.

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1267985 писал(а):

Ser26rus в сообщении #1267917 писал(а):

Тогда получается:

$$ \exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot w_{\xi\eta}=0 \Longrightarrow v(\xi,\eta)_{\xi\eta}=0 $$

Не получается. Посчитайте частные производные и убедитесь.

Спасибо за помощь!
Правильно ли я понимаю, что из \displaystyle{v_{\xi\eta}=(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},} необходимо выразить w_{\xi\eta}, чтобы провести замену в уравнении выше?

[Someone]

Ser26rus в сообщении #1267994 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что из \displaystyle{v_{\xi\eta}=(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},}

Это что за чудо-юдо? Откуда оно взялось?

Что обозначают буквы "$v$" и "$w$"? Какую функцию Вы нашли? Какую функцию Вы должны найти?

Вообще, Ваше поведение вызывает вопросы, которые отрицательно влияют на желание Вам отвечать.

P.S. Вы неправильно пишете внутристрочные формулы. Такая формула должна иметь один знак доллара в начале и один в конце. У Вас же нет ни одного.

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1267996 писал(а):

Это что за чудо-юдо? Откуда оно взялось?

Было получено следующее каноническое ДУ в ЧП: $\frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}=\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v=0$
Где $\xi=y+\frac{3}{x},\eta=y+3x.$
К сожалению, решить в таком виде ДУ сложно, если вообще представляется возможно (по крайней мере мне), и, как написала ув. Lia, необходимо провести замену:

$$ \displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta}} $$

После которой, все первые частные производные уйдут, т.е. получится следующий вид: $\exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot\frac{64}{3}w_{\xi\eta}=0.$
Но с ним у меня тоже возникли трудности, которые я никак не могу понять..
Необходимо найти функцию $u(x,y)$.

Someone в сообщении #1267996 писал(а):

Вообще, Ваше поведение вызывает вопросы, которые отрицательно влияют на желание Вам отвечать.

Прошу прощения, если Вам так показалось.

[Someone]

Ser26rus в сообщении #1268001 писал(а):

Но с ним у меня тоже возникли трудности, которые я никак не могу понять.

А я не могу понять, какие у Вас с ним трудности после того, как Вы нашли его общее решение. А почему после этого Вы не можете найти функцию $v$, вообще для меня есть нечто сверхъестественное.

[Ser26rus]

Someone в сообщении #1268027 писал(а):

А почему после этого Вы не можете найти функцию $v$

Вот в этом и проблема, я не могу понять, каким образом нужно правильно перейти от $w$ к $v$, и далее от $v$ к $u$.

-- 22.11.2017, 18:06 --

Подождите..
Если $v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot\exp(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta)$, то $v(\xi,\eta)=(\Phi(\xi)+\Psi(\eta))\cdot\exp(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta)$?
Тогда, $v(\xi,\eta)=\Phi(\xi)\cdot\exp(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta)+\Psi(\eta)\cdot\exp(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta)$?

И если раскрыть скобки получаем: $\displaystyle{v \left( \xi,\eta \right) ={{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}\Phi\left( \xi \right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}\Psi\left( \eta \right)}$, что является неверным.

Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):

Maple

$$ \displaystyle{v \left( \xi,\eta \right) ={{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}\Phi \left( \xi \right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}\Psi \left( \eta \right)} $$

[Someone]

Извините, отыскивать у Вас арифметические ошибки в условиях, когда полное решение не выписано, я не могу. Изложите подробно своё решение. Глядишь, и сами ошибки найдёте.