Предел функции (Давидович)

[irod]

Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
В этой теме - листок 15, делаю его параллельно с предыдущим.
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах. Помимо всего прочего, буду благодарен за замечания по стилистике доказательств.

Определение 1.
Множество $\dot{U}_\varepsilon(a)=U_\varepsilon(a)\setminus\{a\}$ называется проколотой $\varepsilon$-окрестностью точки $a$.

Определение 2.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества. Число $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящейся к $a$, последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ (или $f(x)\to b$ при $x\to a$).

Определение 3.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества. Число $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$.


Задача 1.
Доказать равносильность определений 2 и 3.

Уже долго бьюсь с этим доказательством, ощущение что хожу вокруг да около, и все чего-то не хватает. Прошу помощи.
Мои мысли следующие.
Из условий обоих определений (из предельности $a$) следует существование сходящейся к $a$ последовательности из элементов множества $M\setminus \{a\}$, т.е. $\forall\delta>0$ внутри $U_\delta(a)$ содержится бесконечно много элементов $M\setminus \{a\}$.
Из обоих определений следует, что последовательность значений функции $f$, сходящаяся к $b$, существует.
Теперь определения с доп. комментариями.
Определение 2: ... для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящейся к $a$ (а такая последовательность существует), последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$ (и последовательность $(f(x_n))$ обязательно существует, раз существует $(x_n)$). В этом определении для любого $\delta$ существует $\varepsilon$..., т.е. имеем зависимость $\varepsilon(\delta)$, причем делая $\delta$ сколь угодно малым, соответствующий $\varepsilon$ тоже сколь угодно близко приближается к нулю.
Определение 3: ... $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ (а таких $x$ существует бесконечно много, и из них можно составить последовательность, сходящуюся к $a$) выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Приближая $\varepsilon$ сколь угодно близко к нулю, получим сходящуюся к $b$ последовательность значений $f$, при этом соответствующая последовательность аргументов будет содержаться внутри соответствующей $U_\delta(a)$. В этом определении для любого $\varepsilon$ существует $\delta$..., т.е. имеем зависимость $\delta(\varepsilon)$, но неочевидно что с уменьшением $\varepsilon$ уменьшается и $\delta$.

[iifat]

irod в сообщении #1265248 писал(а):

для любого $\delta$ существует $\varepsilon$..., т.е. имеем зависимость $\varepsilon(\delta)$, причем делая $\delta$ сколь угодно малым, соответствующий $\varepsilon$ тоже сколь угодно близко приближается к нулю

Во-первых, недопол, при чём тут $\varepsilon(\delta)$. Нам же надо как раз таки $\delta(\varepsilon)$, не?
Во-вторых, последовательностей может оказаться бесконечно много, это всё усложняет.
В-третьих, что вы, собственно, доказываете? Не, я, конечно, понимаю, равносильность доказывается выведением одного из другого и наоборот. Но вот конкретно что и в котором паарграфе — не понимаю.

[irod]

iifat
Я пока ничего не доказываю. Выше просто набор моих мыслей по теме. Связать их в доказательство я пока не могу.

[teleglaz]

Давайте по порядку. Вы можете доказать, что из определения 3 следует определение 2. Это доказывается просто на уровне определений. Конечно, вам нужно знать определение предела последовательности, но, надо полагать, вы его знаете.

Обратное утверждение можно, например, доказать, переходя к противоположному событию. Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, тогда...

[iifat]

teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):

Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$

Точнее говоря, пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$ в смысле определения 3.

[teleglaz]

iifat в сообщении #1265268 писал(а):

teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):

Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$

Точнее говоря, пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$ в смысле определения 3.

Безусловно. Не дописал.

[grizzly]

irod в сообщении #1265248 писал(а):

...но неочевидно что с уменьшением $\varepsilon$ уменьшается и $\delta$.

Не только не очевидно, но и совсем не обязательно. С Вас подтверждающий мои слова пример :)

[irod]

grizzly в сообщении #1265273 писал(а):

irod в сообщении #1265248 писал(а):

...но неочевидно что с уменьшением $\varepsilon$ уменьшается и $\delta$.

Не только не очевидно, но и совсем не обязательно. С Вас подтверждающий мои слова пример :)

Пусть $f(x)=0$ для всех $x$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ можно брать какой угодно константный $\delta>0$, например $\delta=1$. $a$ тут можно взять любое, $b=0$.
Кажется до меня дошло. Если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$, то никто не мешает нам брать для своих целей еще меньшую дельту, так чтобы при сколь угодном уменьшении эпсилона дельта тоже сколь угодно уменьшалась. Верно?

teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):

Давайте по порядку. Вы можете доказать, что из определения 3 следует определение 2. Это доказывается просто на уровне определений. Конечно, вам нужно знать определение предела последовательности, но, надо полагать, вы его знаете.

Пусть выполнено определение 3, и пусть $(\varepsilon_n)$ и $(\delta_n(\varepsilon_n))$ -- бесконечно малые последовательности положительных чисел такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ выполнено $f(x)\in U_{\varepsilon_n}(b)$ для любого натурального $n$. Взяв из каждой $\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ произвольный $x_n$, получим сходящуюся к $a$ последовательность $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, такую, что последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Таким образом, выполняется определение 2.

teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):

Обратное утверждение можно, например, доказать, переходя к противоположному событию. Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, тогда...

Попробую.

[grizzly]

irod в сообщении #1265305 писал(а):

Пусть выполнено определение 3, и пусть $(\varepsilon_n)$ и $(\delta_n(\varepsilon_n))$ -- бесконечно малые последовательности положительных чисел такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ выполнено $f(x)\in U_{\varepsilon_n}(b)$ для любого натурального $n$. Взяв из каждой $\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ произвольный $x_n$, получим сходящуюся к $a$ последовательность $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, такую, что последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Таким образом, выполняется определение 2.

Вот уж нет. Вы просто нашли пример сходящейся последовательности, а не доказали, что любая будет сходиться. Вам нужно было изначально взять любую сходящуюся последовательность $x_n$ и показать, что если определение 3 выполнено, то и значения функции будут сходиться куда нужно.

-- 14.11.2017, 21:23 --

(Пример по моему вопросу привели годный.)

[ewert]

irod в сообщении #1265305 писал(а):

Пусть выполнено определение 3, и пусть $(\varepsilon_n)$ и $(\delta_n(\varepsilon_n))$ -- бесконечно малые последовательности положительных чисел такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ выполнено $f(x)\in U_{\varepsilon_n}(b)$ для любого натурального $n$. Взяв из каждой $\dot{U}_{\delta_n}(a)\cap M$ произвольный $x_n$, получим сходящуюся к $a$ последовательность $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, такую, что последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$. Таким образом, выполняется определение 2.

teleglaz в сообщении #1265266 писал(а):

Обратное утверждение можно, например, доказать, переходя к противоположному событию. Пусть $b$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, тогда...

Попробую.

Вот как раз обратное утверждение 2=>3 и доказывается примерно на том языке, который Вы опрометчиво пытались использовать сейчас. Поскольку сводится к тому, что при невыполнении 3 найдётся хоть одна последовательность иксов, плохая для 2. А 3=>2 надо доказывать в лоб, беря произвольную сходящуюся последовательность иксов: по произвольному $\varepsilon$ выбираем сначала подходящую $\delta$ (только не надо их нумеровать, ради бога) и затем по этой $\delta$ -- границу $N$ из определения предела последовательности иксов.

[irod]

ewert в сообщении #1265430 писал(а):

Вот как раз обратное утверждение 2=>3 и доказывается примерно на том языке, который Вы опрометчиво пытались использовать сейчас. Поскольку сводится к тому, что при невыполнении 3 найдётся хоть одна последовательность иксов, плохая для 2.

Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 2.
Предположим, что определение 3 не выполнено, т.е. $\exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$.
Возьмем произвольное $\delta>0$ и возьмем $x_1\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_1)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Далее, на каждом ($n$-м) шаге уменьшаем $\delta$ вдвое и берем $x_n\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_n)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Получим последовательность $(x_n)\to a$, для которой последовательность $(f(x_n))$ не сходится к $b$. Полученное противоречие доказывает, что из определения 2 следует определение 3.

ewert в сообщении #1265430 писал(а):

А 3=>2 надо доказывать в лоб, беря произвольную сходящуюся последовательность иксов: по произвольному $\varepsilon$ выбираем сначала подходящую $\delta$ (только не надо их нумеровать, ради бога) и затем по этой $\delta$ -- границу $N$ из определения предела последовательности иксов.

Пусть теперь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 3.
Пусть $(x_n)$ - последовательность элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящаяся к $a$. Покажем, что $(f(x_n))\to b$. Сперва найдем подпоследовательность $(f(x_n))$, сходящуюся к $b$, с помощью следующего алгоритма. На первом шаге возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и возьмем $\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Возьмем $f_1=f(x_{n_1})$, где $n_1\in\mathbb{N}$ такое, что $\forall n\geq n_1\ x_n\in\dot{U}_\delta(a)$ (по определению предела последовательности) и, следовательно, $f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$. Далее, на каждом ($k$-м) шаге уменьшаем $\varepsilon$ вдвое, выбираем соответствующую $\delta>0$ по определению 3, и берем $f_k=f(x_{n_k})$, где $n_k$ такое, что $\forall n\geq n_k\ f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$ и $n_k>n_{k-1}$. Получим $(f(x_{n_k}))$ -- подпоследовательность $(f(x_n))$, сходящуюся к $b$. У $(f(x_n))$ нет других предельных точек кроме $b$, потому что вне любой $U_\varepsilon(b)$ находится не более конечного числа членов. Следовательно, $(f(x_n))\to b$, что означает выполнение определения 2.

[teleglaz]

irod в сообщении #1265827 писал(а):

Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 2.
Предположим, что определение 3 не выполнено, т.е. $\exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$.
Возьмем произвольное $\delta>0$ и возьмем $x_1\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_1)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Далее, на каждом ($n$-м) шаге уменьшаем $\delta$ вдвое и берем $x_n\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_n)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Получим последовательность $(x_n)\to a$, для которой последовательность $(f(x_n))$ не сходится к $b$. Полученное противоречие доказывает, что из определения 2 следует определение 3.

Согласен.

irod в сообщении #1265827 писал(а):

Пусть теперь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 3.
Пусть $(x_n)$ - последовательность элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящаяся к $a$. Покажем, что $(f(x_n))\to b$. Сперва найдем подпоследовательность $(f(x_n))$, сходящуюся к $b$, с помощью следующего алгоритма. На первом шаге возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и возьмем $\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Возьмем $f_1=f(x_{n_1})$, где $n_1\in\mathbb{N}$ такое, что $\forall n\geq n_1\ x_n\in\dot{U}_\delta(a)$ (по определению предела последовательности) и, следовательно, $f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$.

А вот теперь объясните, а зачем нужны были все остальные манипуляции? Может можно ещё разок вспомнить про определение предела последовательности?

[irod]

teleglaz
действительно, остальное лишнее. Доказано, что для любого $\varepsilon>0$ почти все члены последовательности $(f(x_n))$ содержатся внутри $U_\varepsilon(b)$, что по определению означает $(f(x_n))\to b$.

В общем сплоховал я с этой задачей, ставлю себе неуд. Наверное, меня изначально смутила сложность 3-го определения, и я слишком долго вертел его в уме и так и сяк, пытаясь осознать "целиком" всю картину, даже от противного забыл попробовать :(

-- 17.11.2017, 06:54 --

Иду дальше.

Задача 2.
Доказать единственность предела.

Доказательство.
От противного. Пусть $b\neq c$ -- пределы функции $f$ при $x\to a$, и пусть последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$ сходятся к $a$, $(f(x_n))\to b$, $(f(y_n))\to c$.
Сформируем последовательность $(z_n)$, в которой нечетными членами будут идущие по порядку члены $(x_n)$, а четными - идущие по порядку члены $(y_n)$. $(z_n)$ сходится к $a$. У последовательности $(f(z_n))$ есть 2 предельные точки - $b$ и $c$. Следовательно, $(f(z_n))$ не имеет предела, а по определению 2 она должна сходиться. Это противоречие доказывает единственность предела функции при стремлении аргумента к одному и тому же числу.

-- 17.11.2017, 06:58 --

Определение 4.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой множества $M\cap\{x\mid x<a\}$. Число $b$ называется пределом слева функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in ]a-\delta,a[\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon (b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=b$.

Задача 3.
Сформулировать определение предела справа.

Ответ.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой множества $M\cap\{x\mid x>a\}$. Число $b$ называется пределом справа функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in ]a,a+\delta[\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon (b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=b$.

Определение 5.
Пусть функция $f$ определена на неограниченном множестве $M$. Число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $\infty$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists c>0$ такое, что $\forall x\in M$ из $|x|\geq c$ следует $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=b$.

Задача 4.
Сформулировать определения предела функции $f$ при $x$, стремящемся к $+\infty$ ($-\infty$).

Ответ.
Пусть функция $f$ определена на неограниченном множестве $M$. Число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $+\infty$ ($-\infty$), если $\forall\varepsilon>0\ \exists c>0$ ($c<0$) такое, что $\forall x\in M$ из $x\geq c$ ($x\leq c$) следует $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$ ($\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$).

Задача 5.
Перевести определения 3 и 5 с "языка окрестностей" на "язык модулей".

Ответ.

Определение 3'.
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества. Число $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что для любого $x\in M$ такого, что $0<|x-a|<\delta$, выполняется условие $|f(x)-b|<\varepsilon$.

Определение 5'.
Пусть функция $f$ определена на неограниченном множестве $M$. Число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $\infty$, если $\forall\varepsilon>0\ \exists c>0$ такое, что $\forall x\in M$ из $|x|\geq c$ следует $|f(x)-b|<\varepsilon$.

[irod]

Задача 6.
Пусть функция $f$ имеет предел слева и справа в точке $a$. Доказать, что предел $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ существует тогда и только тогда, когда

$$ \lim\limits_{x\to a-0}f(x)=\lim\limits_{x\to a+0}f(x). $$

Доказательство в обе стороны следует из равенства $\dot{U}_\delta(a)=]a-\delta,a[\cup]a,a+\delta[$, согласно которому для любых положительных $\varepsilon,\delta$ условие выполнения $f(x)\in U_\varepsilon(b)$ для любого $x\in\dot{U}_\delta(a)$ эквивалентно условию выполнения $f(x_1)\in U_\varepsilon(b)$ и $f(x_2)\in U_\varepsilon(b)$ для любых $x_1\in]a-\delta,a[,x_2\in]a,a+\delta[$.

-- 17.11.2017, 13:51 --

Задача 7.
Доказать, что

а) $\lim\limits_{x\to 1}(2x+1)=3$

Доказательство.
Возьмем произвольный $\varepsilon>0$.
Имеем следующую цепочку эквивалентностей:

$$ (2x+1)\in U_\varepsilon(3) \Leftrightarrow |2x+1-3|<\varepsilon \Leftrightarrow |x-1|<\varepsilon/2 \Leftrightarrow x\in U_{\varepsilon/2}(1), $$

т.е. для любого $\varepsilon>0$ берем $\delta=\varepsilon/2$, тогда для любого $x\in\dot{U}_\delta(1)$ выполнено $(2x+1)\in U_\varepsilon(3)$.

[deep down]

Вот теперь уже лучше.
На всякий случай уточню - Вы теперь можете записать "определение 3 $\Rightarrow$ определение 2" на языке $\varepsilon$ и $N$?
Задачу 2 для закрепления техники решите повторно - на этот раз в терминах $\varepsilon$-$\delta$.