Функции: свойства и графики (Давидович)

[irod]

deep down
можете объяснить, что Вы имеете в виду касаемо модулей? У меня с ними не очень (как и со многим другим ), и то как я сделал - это единственное что у меня получилось с ними.

Также прошу Вас или кого-нибудь дать мне график какой-нибудь функции для

Задача 6.
По данному графику функции $f(x)$ построить графики следующих функций: а) $|f(x)|$; б) $f(|x|)$; в) $|f(|x|)|$; г) $f(x+b)$; д) $f(ax)$; е) $f(ax+b)$; ж) $f(x)+c$; з) $af(x)+b$.

[kotenok gav]

К примеру, $x^3+x^2$.

[grizzly]

irod в сообщении #1264255 писал(а):

дать мне график какой-нибудь функции

Можно взять любую кривую общего положения. Не сильно корявую. Ну вот, для примера, первое попавшееся в гуглокартинках.


-- 11.11.2017, 11:20 --

Штрих не заметил. Ну и Вы тоже не замечайте
(Вырисовывать сильно не нужно, просто схематично.) Возьмите $a=-2, b=3, c=-1$ (не думаю, что в данном случае есть смысл рассматривать все комбинации знаков этих параметров вслух).

-- 11.11.2017, 11:25 --

kotenok gav
Я думаю, что лучше всё же взять график, не зная аналитического представления функции. Чтобы не было соблазна решать аналитически, не понимая качественного влияния на графики.

[irod]

Продолжаю разбираться с графиком $\frac{ax+b}{cx+d}$.

deep down в сообщении #1262835 писал(а):

Последний штрих - выбор конкретного вида можно сделать по знаку $bc-ad$. Разберитесь, как.

$bc-ad=c\left(b-\frac{da}{c}\right)$. Отсюда видно, что $bc-ad>0$ ($bc-ad<0$) тогда и только тогда, когда $c$ и $b-\frac{da}{c}$ одного знака (разного знака).

deep down в сообщении #1262835 писал(а):

И что будет в случае равенства нулю.

Мои пока что скромные знания линейной алгебры говорят мне, что $bc-ad$ похож на определитель матрицы системы уравнений

$$ \begin{cases} ax+b=0, \\ cx+d=0. \end{cases} $$

"Похож", потому что на самом деле определитель равен $ad-bc$, но в случае равенства нулю это не важно. Определитель равен нулю, когда СЛАУ несовместна, т.е. у нее нет решений, а это бывает когда векторы с координатами $(a,b)$ и $(c,d)$ параллельны (не пересекаются). Интуитивно, что следует из параллельности на плоскости: что значение $\frac{ax+b}{cx+d}$ одинаково для любого $x$ (т.е. константно). В таком случае графиком будет прямая, параллельная оси $Ox$, с выколотой точкой $x=-\frac{d}{c}$.

-- 12.11.2017, 10:52 --

kotenok gav,
grizzly,
спасибо, я пожалуй возьму функцию grizzly.

[irod]

grizzly в сообщении #1263104 писал(а):

irod в сообщении #1263094 писал(а):

Тогда достаточно ли будет в доказательстве 3-й задачи написать:
Симметричность относительно оси $Oy$ ($f(-x)=f(x)=y$) и симметричность относительно начала координат ($f(-x)=-f(x)=-y$) имеют место быть по определению четной и нечетной функции соответственно.

По сути нормально, но лучше было бы отталкиваться от вопроса задачи. В задаче спрашивается про график, а в решении ни понятие, ни обозначение графика не упоминается.

Тогда расширю свое доказательство.
По определению из листка 3, графиком функции $f:M\to\mathbb{R}$ называется множество $G(f)\subset M\times\mathbb{R}$, состоящее из всех пар вида $(x,f(x))$.
Под симметричностью графика относительно оси $Oy$ будем понимать равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их одинаковый знак (другими словами, равенство значений $f(-x)=f(x)$), под симметричностью относительно начала координат -- равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их противоположность по знаку (другими словами, $f(-x)=-f(x)$). Отдельно отметим, что симметричность относительно начала координат подразумевает $f(0)=0$, истинность чего следует из равенства $f(0)=-f(0)$ для нечетной $f$.
Таким образом, утверждение задачи истинно по определению четной и нечетной функции.

[deep down]

irod в сообщении #1264255 писал(а):

можете объяснить, что Вы имеете в виду касаемо модулей?

Просто подставьте в функцию $-x$ вместо $x$ и посмотрите, что получится.
С дробно-линейной верно. И хорошо, что находите связи между разными фактами.
Одно замечание - если говорите, что "векторы параллельны", то нужно чётко представлять, что Вы имеете в виду. Начиная с определения вектора.

[irod]

Задача 5.
Доказать, что всякая функция на симметричном множестве единственным образом представима в виде суммы четной и нечетной функции.

Доказательство.
Для произвольной функции $f$ на симметричном множестве $M$ введем на $M$ две функции:
$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ -- нечетная,
$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ -- четная.
Тогда $f(x)=g(x)+h(x)$.

[svv]

Обоснуйте, пожалуйста, единственность. Вдруг также справедливо $f(x)=\tilde g(x)+\tilde h(x)$, где
$\tilde g(x)$ — что-то хитрое, нечётное и не совпадающее с $g(x)$;
$\tilde h(x)$ — что-то ещё более хитрое, чётное и не совпадающее с $h(x)$.

[irod]

svv
Вы меня опередили, не успел дописать
Докажем единственность такого представления.
Пусть $f(x)=g(x)+h(x)$ (1), причем $g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)$.
Тогда $f(-x)=h(x)-g(x)$ (2). Сложив уравнения (1) и (2), получим $h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$. Подставив это выражение для $h$ в уравнение (1), получим $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

[svv]

Ага. А вот другой способ. Пусть
$f(x)=g(x)+h(x)=\tilde g(x)+\tilde h(x)$,
где обе «же» нечётные, а «аши» чётные. Тогда
$g(x)-\tilde g(x)=\tilde h(x)-h(x)$
Функция слева нечётная, справа чётная. Значит, и функция слева, и функция справа одновременно и чётные и нечётные. Значит, обе равны нулю.

[irod]

svv
наверное тоже хороший способ, но чтобы им воспользоваться мне нужно сначала:
а) доказать что сумма/разность четных функций есть четная функция, и аналогично про нечетные (кажется, это просто);
б) доказать что функция $f(x)=0$ является единственной функцией, которая одновременно четная и нечетная (наверное, для этого достаточно посмотреть на ее график и отметить, что только такой график одновременно симметричен относительно оси $Oy$ и относительно начала координат, после этого воспользоваться задачей 3).

-- 17.11.2017, 14:31 --

deep down в сообщении #1264894 писал(а):

irod в сообщении #1264255 писал(а):

можете объяснить, что Вы имеете в виду касаемо модулей?

Просто подставьте в функцию $-x$ вместо $x$ и посмотрите, что получится.

Давайте разберемся с модулями на примере $f(x)=|x+1|-|x-1|$, тем более что я сейчас решаю задачу с ними в следующем листке.
Подставляю $-x$: $|1-x|-|-x-1|$. Не понимаю, что с этим дальше делать, кроме как расписать на промежутках, как я сделал изначально. Объясните, пожалуйста.

-- 17.11.2017, 14:37 --

Нагуглил книжку Решение уравнений и неравенств с модулем. Зеленский А.С., Панфилов. Наверное мне надо просто ее прочитать, перед тем как здесь спрашивать.

[irod]

Небольшие косметические улучшения моего доказательства 3-й задачи.

irod в сообщении #1264642 писал(а):

Под симметричностью графика относительно оси $Oy$ будем понимать равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их одинаковый знак

Вместо одинакового знака лучше написать расположение по одну сторону от оси $Ox$.

irod в сообщении #1264642 писал(а):

под симметричностью относительно начала координат -- равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их противоположность по знаку

Вместо противоположности по знаку лучше написать расположение по разные стороны от оси $Ox$.

[grizzly]

irod в сообщении #1266097 писал(а):

Вместо одинакового знака лучше написать расположение по одну сторону от оси $Ox$.

Правильно: значения расположены на прямой, перпендикулярной $OY$, и равноудалены.

irod в сообщении #1266097 писал(а):

Вместо противоположности по знаку лучше написать расположение по разные стороны от оси $Ox$.

На одной прямой с началом координат -- обязательно.

Хотел ещё тогда об этом сказать, но решил не придираться. Теперь не стерпел

[deep down]

irod в сообщении #1266052 писал(а):

Давайте разберемся с модулями на примере $f(x)=|x+1|-|x-1|$, тем более что я сейчас решаю задачу с ними в следующем листке.
Подставляю $-x$: $|1-x|-|-x-1|$.

Так Вы почти всё сделали. Посмотрите внимательно на выражения $|x+1|$ и $|-x-1|$. Потом на $|x-1|$ и $|1-x|$. Какие-то из них будут между собой равны. И $f(-x)$ преобразутся в $-f(x)$.

[irod]

irod в сообщении #1264255 писал(а):

Задача 6.
По данному графику функции $f(x)$ построить графики следующих функций: а) $|f(x)|$; б) $f(|x|)$; в) $|f(|x|)|$; г) $f(x+b)$; д) $f(ax)$; е) $f(ax+b)$; ж) $f(x)+c$; з) $af(x)+b$.

grizzly в сообщении #1264257 писал(а):

irod в сообщении #1264255 писал(а):

дать мне график какой-нибудь функции

Можно взять любую кривую общего положения. Не сильно корявую. Ну вот, для примера, первое попавшееся в гуглокартинках.


-- 11.11.2017, 11:20 --

Штрих не заметил. Ну и Вы тоже не замечайте
(Вырисовывать сильно не нужно, просто схематично.) Возьмите $a=-2, b=3, c=-1$ (не думаю, что в данном случае есть смысл рассматривать все комбинации знаков этих параметров вслух).

а) $|f(x)|$
Все отрицательные значения $f(x)$ отражены относительно $Ox$.

б) $f(|x|)$
Часть графика $f(x)$ при $x>0$ отражена относительно $Oy$.

в) $|f(|x|)|$
Часть графика $|f(x)|$ при $x>0$ отражена относительно $Oy$.

г) $f(x+b)=f(x+3)$
График $f(x)$ сдвинут на $3$ влево по $Ox$.

д) $f(ax)=f(-2x)$
График $f(x)$ отражен относительно $Oy$ и растянут в $2$ раза по $Ox$.

е) $f(ax+b)=f(-2x+3)$
График $f(-2x)$ сдвинут на $3$ влево по $Ox$.

ж) $f(x)+c=f(x)-1$
График $f(x)$ сдвинут на $1$ вниз по $Oy$.

з) $af(x)+b=-2f(x)+3$
График $f(x)$ отражен относительно $Ox$, растянут в $2$ раза по $Oy$ и сдвинут на $3$ вверх по $Oy$.