2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение11.11.2017, 11:10 


21/02/16
483
deep down
можете объяснить, что Вы имеете в виду касаемо модулей? У меня с ними не очень (как и со многим другим :-) ), и то как я сделал - это единственное что у меня получилось с ними.

Также прошу Вас или кого-нибудь дать мне график какой-нибудь функции для

Задача 6.
По данному графику функции $f(x)$ построить графики следующих функций: а) $|f(x)|$; б) $f(|x|)$; в) $|f(|x|)|$; г) $f(x+b)$; д) $f(ax)$; е) $f(ax+b)$; ж) $f(x)+c$; з) $af(x)+b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение11.11.2017, 11:16 


21/05/16
4292
Аделаида
К примеру, $x^3+x^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение11.11.2017, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1264255 писал(а):
дать мне график какой-нибудь функции
Можно взять любую кривую общего положения. Не сильно корявую. Ну вот, для примера, первое попавшееся в гуглокартинках.
Изображение

-- 11.11.2017, 11:20 --

Штрих не заметил. Ну и Вы тоже не замечайте :D
(Вырисовывать сильно не нужно, просто схематично.) Возьмите $a=-2, b=3, c=-1$ (не думаю, что в данном случае есть смысл рассматривать все комбинации знаков этих параметров вслух).

-- 11.11.2017, 11:25 --

kotenok gav
Я думаю, что лучше всё же взять график, не зная аналитического представления функции. Чтобы не было соблазна решать аналитически, не понимая качественного влияния на графики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение12.11.2017, 10:50 


21/02/16
483
Продолжаю разбираться с графиком $\frac{ax+b}{cx+d}$.
deep down в сообщении #1262835 писал(а):
Последний штрих - выбор конкретного вида можно сделать по знаку $bc-ad$. Разберитесь, как.

$bc-ad=c\left(b-\frac{da}{c}\right)$. Отсюда видно, что $bc-ad>0$ ($bc-ad<0$) тогда и только тогда, когда $c$ и $b-\frac{da}{c}$ одного знака (разного знака).
deep down в сообщении #1262835 писал(а):
И что будет в случае равенства нулю.

Мои пока что скромные знания линейной алгебры говорят мне, что $bc-ad$ похож на определитель матрицы системы уравнений
$$
\begin{cases} 
ax+b=0, \\
cx+d=0.
\end{cases}
$$
"Похож", потому что на самом деле определитель равен $ad-bc$, но в случае равенства нулю это не важно. Определитель равен нулю, когда СЛАУ несовместна, т.е. у нее нет решений, а это бывает когда векторы с координатами $(a,b)$ и $(c,d)$ параллельны (не пересекаются). Интуитивно, что следует из параллельности на плоскости: что значение $\frac{ax+b}{cx+d}$ одинаково для любого $x$ (т.е. константно). В таком случае графиком будет прямая, параллельная оси $Ox$, с выколотой точкой $x=-\frac{d}{c}$.

-- 12.11.2017, 10:52 --

kotenok gav,
grizzly,
спасибо, я пожалуй возьму функцию grizzly.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение12.11.2017, 12:45 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1263104 писал(а):
irod в сообщении #1263094 писал(а):
Тогда достаточно ли будет в доказательстве 3-й задачи написать:
Симметричность относительно оси $Oy$ ($f(-x)=f(x)=y$) и симметричность относительно начала координат ($f(-x)=-f(x)=-y$) имеют место быть по определению четной и нечетной функции соответственно.
По сути нормально, но лучше было бы отталкиваться от вопроса задачи. В задаче спрашивается про график, а в решении ни понятие, ни обозначение графика не упоминается.

Тогда расширю свое доказательство.
По определению из листка 3, графиком функции $f:M\to\mathbb{R}$ называется множество $G(f)\subset M\times\mathbb{R}$, состоящее из всех пар вида $(x,f(x))$.
Под симметричностью графика относительно оси $Oy$ будем понимать равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их одинаковый знак (другими словами, равенство значений $f(-x)=f(x)$), под симметричностью относительно начала координат -- равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их противоположность по знаку (другими словами, $f(-x)=-f(x)$). Отдельно отметим, что симметричность относительно начала координат подразумевает $f(0)=0$, истинность чего следует из равенства $f(0)=-f(0)$ для нечетной $f$.
Таким образом, утверждение задачи истинно по определению четной и нечетной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение13.11.2017, 01:49 


16/06/14
96
irod в сообщении #1264255 писал(а):
можете объяснить, что Вы имеете в виду касаемо модулей?

Просто подставьте в функцию $-x$ вместо $x$ и посмотрите, что получится.
С дробно-линейной верно. И хорошо, что находите связи между разными фактами.
Одно замечание - если говорите, что "векторы параллельны", то нужно чётко представлять, что Вы имеете в виду. Начиная с определения вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение13.11.2017, 14:42 


21/02/16
483
Задача 5.
Доказать, что всякая функция на симметричном множестве единственным образом представима в виде суммы четной и нечетной функции.

Доказательство.
Для произвольной функции $f$ на симметричном множестве $M$ введем на $M$ две функции:
$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ -- нечетная,
$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ -- четная.
Тогда $f(x)=g(x)+h(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение13.11.2017, 14:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Обоснуйте, пожалуйста, единственность. Вдруг также справедливо $f(x)=\tilde g(x)+\tilde h(x)$, где
$\tilde g(x)$ — что-то хитрое, нечётное и не совпадающее с $g(x)$;
$\tilde h(x)$ — что-то ещё более хитрое, чётное и не совпадающее с $h(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение13.11.2017, 14:54 


21/02/16
483
svv
Вы меня опередили, не успел дописать :-)
Докажем единственность такого представления.
Пусть $f(x)=g(x)+h(x)$ (1), причем $g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)$.
Тогда $f(-x)=h(x)-g(x)$ (2). Сложив уравнения (1) и (2), получим $h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$. Подставив это выражение для $h$ в уравнение (1), получим $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение13.11.2017, 15:09 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ага. А вот другой способ. Пусть
$f(x)=g(x)+h(x)=\tilde g(x)+\tilde h(x)$,
где обе «же» нечётные, а «аши» чётные. Тогда
$g(x)-\tilde g(x)=\tilde h(x)-h(x)$
Функция слева нечётная, справа чётная. Значит, и функция слева, и функция справа одновременно и чётные и нечётные. Значит, обе равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.11.2017, 14:26 


21/02/16
483
svv
наверное тоже хороший способ, но чтобы им воспользоваться мне нужно сначала:
а) доказать что сумма/разность четных функций есть четная функция, и аналогично про нечетные (кажется, это просто);
б) доказать что функция $f(x)=0$ является единственной функцией, которая одновременно четная и нечетная (наверное, для этого достаточно посмотреть на ее график и отметить, что только такой график одновременно симметричен относительно оси $Oy$ и относительно начала координат, после этого воспользоваться задачей 3).

-- 17.11.2017, 14:31 --

deep down в сообщении #1264894 писал(а):
irod в сообщении #1264255 писал(а):
можете объяснить, что Вы имеете в виду касаемо модулей?

Просто подставьте в функцию $-x$ вместо $x$ и посмотрите, что получится.

Давайте разберемся с модулями на примере $f(x)=|x+1|-|x-1|$, тем более что я сейчас решаю задачу с ними в следующем листке.
Подставляю $-x$: $|1-x|-|-x-1|$. Не понимаю, что с этим дальше делать, кроме как расписать на промежутках, как я сделал изначально. Объясните, пожалуйста.

-- 17.11.2017, 14:37 --

Нагуглил книжку Решение уравнений и неравенств с модулем. Зеленский А.С., Панфилов. Наверное мне надо просто ее прочитать, перед тем как здесь спрашивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.11.2017, 16:33 


21/02/16
483
Небольшие косметические улучшения моего доказательства 3-й задачи.
irod в сообщении #1264642 писал(а):
Под симметричностью графика относительно оси $Oy$ будем понимать равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их одинаковый знак

Вместо одинакового знака лучше написать расположение по одну сторону от оси $Ox$.
irod в сообщении #1264642 писал(а):
под симметричностью относительно начала координат -- равноудаленность значений $f(x)$ и $f(-x)$ от оси $Ox$ и их противоположность по знаку

Вместо противоположности по знаку лучше написать расположение по разные стороны от оси $Ox$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.11.2017, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1266097 писал(а):
Вместо одинакового знака лучше написать расположение по одну сторону от оси $Ox$.
Правильно: значения расположены на прямой, перпендикулярной $OY$, и равноудалены.
irod в сообщении #1266097 писал(а):
Вместо противоположности по знаку лучше написать расположение по разные стороны от оси $Ox$.
На одной прямой с началом координат -- обязательно.

Хотел ещё тогда об этом сказать, но решил не придираться. Теперь не стерпел :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение18.11.2017, 01:59 


16/06/14
96
irod в сообщении #1266052 писал(а):
Давайте разберемся с модулями на примере $f(x)=|x+1|-|x-1|$, тем более что я сейчас решаю задачу с ними в следующем листке.
Подставляю $-x$: $|1-x|-|-x-1|$.

Так Вы почти всё сделали. Посмотрите внимательно на выражения $|x+1|$ и $|-x-1|$. Потом на $|x-1|$ и $|1-x|$. Какие-то из них будут между собой равны. И $f(-x)$ преобразутся в $-f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение18.11.2017, 16:37 


21/02/16
483
irod в сообщении #1264255 писал(а):
Задача 6.
По данному графику функции $f(x)$ построить графики следующих функций: а) $|f(x)|$; б) $f(|x|)$; в) $|f(|x|)|$; г) $f(x+b)$; д) $f(ax)$; е) $f(ax+b)$; ж) $f(x)+c$; з) $af(x)+b$.

grizzly в сообщении #1264257 писал(а):
irod в сообщении #1264255 писал(а):
дать мне график какой-нибудь функции
Можно взять любую кривую общего положения. Не сильно корявую. Ну вот, для примера, первое попавшееся в гуглокартинках.
Изображение

-- 11.11.2017, 11:20 --

Штрих не заметил. Ну и Вы тоже не замечайте :D
(Вырисовывать сильно не нужно, просто схематично.) Возьмите $a=-2, b=3, c=-1$ (не думаю, что в данном случае есть смысл рассматривать все комбинации знаков этих параметров вслух).

а) $|f(x)|$
Все отрицательные значения $f(x)$ отражены относительно $Ox$.

б) $f(|x|)$
Часть графика $f(x)$ при $x>0$ отражена относительно $Oy$.

в) $|f(|x|)|$
Часть графика $|f(x)|$ при $x>0$ отражена относительно $Oy$.

г) $f(x+b)=f(x+3)$
График $f(x)$ сдвинут на $3$ влево по $Ox$.

д) $f(ax)=f(-2x)$
График $f(x)$ отражен относительно $Oy$ и растянут в $2$ раза по $Ox$.

е) $f(ax+b)=f(-2x+3)$
График $f(-2x)$ сдвинут на $3$ влево по $Ox$.

ж) $f(x)+c=f(x)-1$
График $f(x)$ сдвинут на $1$ вниз по $Oy$.

з) $af(x)+b=-2f(x)+3$
График $f(x)$ отражен относительно $Ox$, растянут в $2$ раза по $Oy$ и сдвинут на $3$ вверх по $Oy$.

Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group