3-я космическая. Опять 4 разных ответа.

[Uchitel'_istorii]

Формально до отключения двигателей ракета разгоняется. Топливо было добавлено для сохранения импульса (вместо топлива может быть и пружина с грузом). Если рассматривать только ракету, то получается, что в системе Земли ее энергия
до старта: $0
после отключения двигателей: $\tfrac{mv^2}{2}

в системе Солнца
до старта: $\tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2}
после отключения двигателей: $\tfrac{m(v - V_\text{earth})^2}{2}

Видно , что изменение кинетической энергии разное в разных системах, чего не может быть при равном изменении потенциальной энергии топлива (пружины).

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1264501 писал(а):

изменение кинетической энергии разное в разных системах, чего не может быть при равном изменении потенциальной энергии топлива (пружины)

Ошибаетесь: так может быть, если речь идёт о кинетической энергии не всей замкнутой системы, а только части системы, так что у этой части системы импульс изменяется (не сохраняется). В вашем примере с пружиной и грузом так и есть: в исходной системе отсчёта начальный (до старта) импульс груза $0,$ конечный же (после того, как пружина распрямилась и толкнула груз) импульс груза $p=mv \neq 0.$

-- 12.11.2017, 01:30 --

Можно вывести для системы частиц вот такую формулу (для упражнения попробуйте её вывести, это не очень сложно): если энергия системы частиц $E=E_{\text{ кин}}+U$ сохраняется, т.е. в исходной системе отсчёта

$\Delta E_{\text{ кин}} = -\Delta U,$

то в "штрихованной" системе отсчёта, в которой скорости частиц $\vec{v}_a\, '=\vec{v}_a-\vec{V}$ (где $a$ - номер частицы), получается

$\Delta E \, '_{\text{ кин}} = -\Delta U-\vec{V} \cdot \Delta \vec{P} \, '.$

Это следует из преобразования выражения для энергии системы частиц при переходе к "штрихованной" системе отсчёта:

$E\,=\,E_{\text{ кин}}+U \,= \,E \, '_{\text{ кин}}+U + \frac{1}{2}\mu V^2+\vec{V} \cdot \vec{P} \, ',$

где

$\mu = \sum \limits_a m_a$ - суммарная масса системы частиц,

$\vec{P} \, '=\sum \limits_a m_a \vec{v}_a \, '$ - импульс системы частиц,

$E \, '_{\text{ кин}}=\sum \limits_a \frac{1}{2}m_a v_a ' ^2.$

Для упражнения выведите это. Результат применим и к одной частице (при этом знак суммирования по частицам не нужен).

[Uchitel'_istorii]

$E_\text{ кин}=\sum \limits_a \frac{1}{2}m_a v_a ^2.
$E \, '_{\text{ кин}}=\sum \limits_a \frac{1}{2}m_a v_a ' ^2 = \sum \limits_a \frac{1}{2}m_a (\vec{v_a} - \vec{V}) ^2 = \sum \limits_a\tfrac{m_a v_a ^2}{2} + \sum \limits_a\tfrac{m_a V ^2}{2} - \sum \limits_a m_a \vec{v_a} \vec{V}
= \sum \limits_a\tfrac{m_a v_a ^2}{2} + \sum \limits_a\tfrac{m_a V ^2}{2} - \sum \limits_a (m_a \vec{v_a '} \vec{V} + m_a \vec{V} \vec{V})
= \sum \limits_a\tfrac{m_a v_a ^2}{2} - \sum \limits_a\tfrac{m_a V ^2}{2} - \sum \limits_a m_a \vec{v_a '} \vec{V}
=$E_\text{ кин} - \frac{1}{2}\mu V^2 - \vec{P'}\vec{V}

Вывел. Я имел в виду конструкцию груз - пружина - ракета или , грубо говоря, 2 одинаковые ракеты и пружина между ними.

[Cos(x-pi/2)]

Хорошо. Полная энергия системы получается добавлением к кинетической энергии слагаемого $U$ - это потенциальная энергия системы (энергия сжатой пружины в примере с грузами), она одинаковая в обеих системах отсчета. Когда кинетическая энергия изменяется (за счет изменения потенциальной), то и импульс системы может измениться - если рассматривать не всю замкнутую систему! - и тогда у Вас получится:

$\Delta E \, '_{\text{ кин}} = -\Delta U-\vec{V} \cdot \Delta \vec{P} \, '.$

Чтобы не запутываться, рассматривайте замкнутую систему. Её импульс сохраняется, $\Delta \vec{P} \, '=0$ и, следовательно, получается $\Delta E \, '_{\text{ кин}} = -\Delta U.$

Uchitel'_istorii в сообщении #1264501 писал(а):

Видно, что изменение кинетической энергии разное в разных системах, чего не может быть при равном изменении потенциальной энергии топлива (пружины).

А здесь Вы говорите об изменении кин. энергии только одного груза (ракеты), т.е. об изменении кин. энергии именно не всей замкнутой системы, и не учитываете изменение импульса этого груза, вот поэтому и приходите к вашему "чего не может быть". У ракеты импульс изменился на $mv,$ и скорость "штрихованной" системы отсчёта $\vec{V}$ есть скорость Земли, так что в этом примере $-\vec{V} \cdot \Delta \vec{P} \, ' = -mvV_{earth}.$ Как раз такое слагаемое у Вас и есть в кин. энергии разогнавшейся ракеты в вашей второй системе отсчёта:

$\frac{1}{2}m(v-V_{earth})^2=\frac{1}{2}mv^2-mvV_{earth}+\frac{1}{2}mV^2_{earth}.$

Здесь первое слагаемое в правой стороне равенства есть прирост за счёт уменьшения потенциальной энергии: $\frac{1}{2}mv^2 = -\Delta U.$

Третье слагаемое можно понимать как $\frac{1}{2}mV^2_{earth}=\frac{1}{2}\mu V^2.$ Ему же равна кин. энергия вашей ракеты до разгона.

Видно, что разность кин. энергий после разгона и до разгона равна $-\Delta U -mvV$ (где $V=V_{earth}),$ как и должно быть в этом примере с незамкнутой системой, состоящей из одной голой ракеты.

Так что, если с законами сохранения у Вас теперь всё прояснилось, то забудьте о топливе и возвращайтесь к исходной задачке.

[Uchitel'_istorii]

Это только подтверждает, что после преодоления поля Земли , т.е. после отнимания энергии \tfrac{GM_\text{earth} m}{R_\text{earth}} = \tfrac{mv^2}{2} , у ракеты в системе Солнца никак не может остаться энергия \tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2}.

[Cos(x-pi/2)]

Разговоры про "после преодоления поля Земли", "после отнимания энергии" только всё запутывают. Непонятно, что Вам непонятно. Если всё понятно, то и хорошо.

А если что-то остаётся непонятным, то надо без лишних разговоров написать два выражения для полной энергии системы - для двух моментов времени: для начального момента времени (когда двигатель уже выключился, но ракета ещё не успела удалиться от Земли), и для конечного момента времени, (когда ракета, двигаясь "по инерции", удалилась от Земли так далеко, что энергией тяготения уже можно пренебречь). И затем надо приравнять друг другу оба выражения для энергии; тем самым учитывается закон сохранения энергии и получается уравнение для начальной скорости ракеты.

Так можно делать в произвольной инерциальной системе отсчёта, но при этом надо учитывать изменение кин. энергии не только ракеты, но и массивных тел, являющихся источниками тяготения. А для этого надо учесть закон сохранения импульса всей системы. Ведь поскольку у ракеты импульс изменяется от начального момента времени к конечному, то и суммарный импульс источников тяготения изменяется, и поэтому возникает изменение кин. энергии источников тяготения. Оно не исчезает даже в пределе бесконечной массы, если рассмотрение ведётся в системе отсчёта, в которой эти массивные тела с самого начала выглядят движущимися.

Наверное, для Вас подобная задача с тремя телами (Солнце, Земля, ракета) в произвольной системе отсчёта ещё слишком сложная. Попробуйте решить более простую задачку - найдите уравнение для 2-й космической скорости $\vec{v}$, рассматривая Землю и ракету в произвольной системе отсчёта, в которой Земля с самого начала движется с заданной скоростью $\vec{V}.$ И убедитесь, что подстановкой $\vec{v}= \vec{v'}+\vec{V}$ оно сводится к хорошо известному уравнению для космической скорости $v'$ в системе отсчёта с неподвижной Землёй; убедитесь также, что и при выборе $\vec{V}=0$ из вашего уравнения получается то же самое уравнение для космической скорости $v'$ в системе отсчёта с неподвижной Землёй.

[Uchitel'_istorii]

\tfrac{mv^2}{2} - \tfrac{GM_\text{earth}m}{R_\text{earth}} = \tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2};
$v= \sqrt{(V_\text{earth})^2 + \tfrac{2GM_\text{earth}}{R_\text{earth}}};
при $\vec{v}= \vec{v '}+\vec{V}:
$v'= \sqrt{\tfrac{2GM_\text{earth}}{R_\text{earth}}}.
Но я думал, мы докажем 1-е уравнение. Т.е. то, что после преодоления поля Земли ракета движется со скоростью Земли, не следует и не может быть выведено из закона сохранения , а следует только из правил параллельного переноса [ http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... ml#Ch12-S5 ]. Так?

[iifat]

Uchitel'_istorii в сообщении #1264920 писал(а):

то, что после преодоления поля Земли ракета движется со скоростью Земли, не следует и не может быть выведено из закона сохранения , а следует только

Разумеется, не может быть выведено. Простейший мысленный эксперимент: вот я запускаю ракету со скоростью $v_3+1$ — что произойдёт? На бесконечности скорость будет ненулевой, только и всего. Нулевая скорость на бесконечности следует исключительно из того факта, что нас интересует минимальная скорость, необходимая для отрыва от Земли, не?

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1264920 писал(а):

$\tfrac{mv^2}{2} - \tfrac{GM_\text{earth}m}{R_\text{earth}} = \tfrac{m(V_\text{earth})^2}{2}$

Неверно. Вы сделали ту самую ошибку, о которой речь шла выше - не учли сохранение импульса. Посмотрите внимательно, что получается в левой стороне этого вашего уравнения при подстановке $\vec{v}= \vec{v '}+\vec{V}.$ (Для краткости в этой задачке не буду писать метку $_{earth}$. У нас здесь $V=V_{earth},$ $R=R_{earth},$ $M=M_{earth}.)$ Вот какое у Вас получается уравнение для $v'$:

$\frac{mv'\,^2}{2}+m\vec{v}\, ' \cdot \vec{V} +\frac{mV^2}{2}-\frac{GMm}{R}=\frac{mV^2}{2},$ то есть:

$\frac{mv'\,^2}{2}+m\vec{v}\, ' \cdot \vec{V} -\frac{GMm}{R}=0.$

А правильное уравнение должно быть без слагаемого $m\vec{v}\, ' \cdot \vec{V},$ вот правильное уравнение в системе покоя Земли:

$\frac{mv'\,^2}{2} -\frac{GMm}{R}=0.$

Пока не справитесь с этой задачкой, нет смысла пытаться решать аналогичную для 3-й космической скорости в произвольной системе отсчёта. Подсказка ещё раз: попробуйте написать исходное уравнение в два приёма (всё в системе отсчёта, где Земля в начальный момент движется с заданной скоростью $\vec{V}).$ Сначала надо написать энергию системы в начальный момент времени, причём учесть кин. энергию Земли. Затем написать энергию системы в конечный момент времени, причём учесть в низшем порядке по $m/M$, что кин. энергия Земли немножко изменилась из-за сохранения импульса системы в целом.

[ludwig51]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1264967 писал(а):

нет смысла пытаться решать аналогичную для 3-й космической скорости в произвольной системе отсчёта.

Зачем решать задачу в произвольной системе отсчёта?
Задача решается по законам Ньютона с системе Солнца.
Законы Ньютона содержат все законы сохранения. ЗСМИ и ЗСЭ (полной энергии, а не кинетической)
Диф. ур. (в проекциях на оси координат) для данной задачи я уже приводил в одном из моих постов.
И окончательное решение для 3 косм. в точности совпадает с решением МИФИ.

[Cos(x-pi/2)]

ludwig51
Да, конечно. Но, насколько я понял, Uchitel'_istorii уже заинтересовался другим своим вопросом: верно ли, что всякая задача механики может быть решена в любой системе отсчёта, а не только в одной специальной. Вот:

Uchitel'_istorii в сообщении #1251955 писал(а):

Задача должна решаться несколькими способами в разных системах отсчета, и в физике ответ должен получаться одинаковый. Одно непротиворечивое решение никак не аннулирует другие.

А пока у Uchitel'_istorii не получается правильно решать задачу в разных системах отсчёта.

[ludwig51]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1265265 писал(а):

Uchitel'_istorii уже заинтересовался другим своим вопросом: верно ли, что всякая задача механики может быть решена в любой системе отсчёта, а не только в одной специальной.

Пусть разбирается. Главное - у него есть интерес к таким задачам.
И дифференциальные уравнения он умеет решать.

[Uchitel'_istorii]

$T_\text{р 1} + T_\text{З 1}+ U_\text{р-З 1} = T_\text{р 2} + T_\text{З 2}+ U_\text{р-З 2}
$\tfrac{m{v_1}^2}{2}+\tfrac{M{V_1}^2}{2} - \tfrac{GMm}{R} = \tfrac{m{v_2}^2}{2}+\tfrac{M{V_2}^2}{2} - \tfrac{GMm}{\infty}

$MV_1 + mv_1 =MV_2 + mv_2 = V_0(m+M) \Rightarrow
$V_1 = V_0(1+m/M) - v_1m/M;
$V_2 = V_0(1+m/M) - v_2m/M

\therefore \tfrac{m{v_1}^2}{2} +\tfrac{M}{2}\Big[\Big(V_0(1+m/M)\Big)^2 + (v_1m/M)^2 - 2V_0 v_1 \Big(m/M + (m/M)^2\Big) \Big] - \tfrac{GMm}{R} = \tfrac{m{v_2}^2}{2} +\tfrac{M}{2}\Big[\Big(V_0(1+m/M)\Big)^2 + (v_2m/M)^2 - 2V_0 v_2 \Big(m/M + (m/M)^2\Big) \Big]

$(m/M)^2 \to 0


\tfrac{m{v_1}^2}{2} +\tfrac{M}{2}\Big[\begin{xy}*{\Big(V_0(1+m/M)\Big)^2};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy} +0 - 2V_0 v_1 \Big(m/M + 0\Big) \Big] - \tfrac{GMm}{R} = \tfrac{m{v_2}^2}{2} +\tfrac{M}{2}\Big[\begin{xy}*{\Big(V_0(1+m/M)\Big)^2};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy} + 0 - 2V_0 v_2 \Big(m/M + 0\Big) \Big]

\tfrac{m{v_1}^2}{2} -V_0 v_1 m - \tfrac{GMm}{R} = \tfrac{m{v_2}^2}{2} -V_0 v_2 m

\tfrac{m{v_1}^2}{2}+V_0m(v_2 - v_1) - \tfrac{GMm}{R} = \tfrac{m{v_2}^2}{2}

И что, опять ставить "руками" $v_2 = V_0 ?
Если так сделать, то $V_2$ также станет равной $V_0$ (я так понимаю, Земля теряет полученный вначале импульс из-за гравитационного притяжения ракетой). По завершении полета у Земли и ракеты одинаковые скорости и в системе неподвижной Земли , и в системе с движущейся Землёй. То есть эти получившиеся одинаковые скоротси являюстя как бы доказательством?

[Cos(x-pi/2)]

Ну вот, теперь почти всё правильно. Начало у Вас уже очень хорошее, только желательно в законе сохранения импульса всегда записывать скорости как векторы (чтобы потом было понятнее, что такое разность или сумма скоростей):

$\frac{mv_1^2}{2}+\frac{MV_1^2}{2} - \frac{GMm}{R} = \frac{mv_2^2}{2}+\frac{MV_2^2}{2} - \frac{GMm}{\infty} \, ,$

$M\vec{V}_1 + m\vec{v}_1 =M\vec{V}_2 + m\vec{v}_2 \,.$

Скорость системы как целого $\vec{V}_0$ давайте пока не будем использовать. Перепишем закон сохранения энергии, перенеся конечную кин. энергию Земли из правой стороны в левую сторону. Тогда в левой стороне образуется разность начальной и конечной кин. энергии Земли (записываю её в скобках):

$\frac{mv_1^2}{2} +\left ( \frac{MV_1^2}{2}-\frac{MV_2^2}{2} \right ) -\frac{GMm}{R} = \frac{mv_2^2}{2}\, .$

Подставим в неё выражение для конечной скорости Земли; оно следует из закона сохранения импульса:

$\vec{V}_2=\vec{V}_1+\frac{m}{M}(\vec{v}_1-\vec{v}_2) \, .$

Тогда для разности кин. энергий Земли имеем (у Вас получилось похожее выражение, но без векторных обозначений и со скоростью $V_0$ вместо $V_1$):

$\left ( \frac{MV_1^2}{2}-\frac{MV_2^2}{2} \right ) = -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2)-\frac{m}{M} \frac{m(\vec{v}_1-\vec{v}_2)^2}{2} \, .$

Важно, что здесь обнаружилось слагаемое $-m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2),$ которое не зависит от массы Земли $M.$ Раньше Вы не учитывали кин. энергию Земли, и это слагаемое терялось. А теперь мы видим, что в законе сохранения энергии есть такое слагаемое, если расчёт делается в системе отсчёта, где начальная скорость Земли $\vec{V}_1$ не равна нулю; оно не зависит от $M$ и поэтому не исчезает даже при $M \to \infty.$ А второе слагаемое не зависит от $\vec{V}_1$, но зависит от массы Земли $M$, причём оно мало в меру малости $m/M.$ Поскольку у нас $m/M \ll 1,$ то теперь мы переходим к приближённому выражению, отбрасывая малое слагаемое, зависящее от массы Земли:

$\left ( \frac{MV_1^2}{2}-\frac{MV_2^2}{2} \right ) \simeq -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) \, .$

В этом приближении закон сохранения энергии принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{v}_2) -\frac{GMm}{R} = \frac{mv_2^2}{2} .$



Для чего он нам нужен? Мы используем его как уравнение для нахождения начальной скорости ракеты $v_1$ такой, что далеко от Земли (где энергия взаимного притяжения ракеты и Земли в разумном приближении будет пренебрежимо мала) скорость ракеты в данной системе отсчёта будет равна заданной величине $v_2.$

На всякий случай поясню ещё раз, что из этого уравнения мы не "доказываем" никакого утверждения про скорость $v_2.$ Ведь наука не знает: будет человек запускать с Земли ракету или не будет, а если будет, то с какой скоростью он её запустит. Если запустит с очень маленькой скоростью относительно Земли, то ракета лишь чуть-чуть взлетит и шлёпнется обратно на Землю; к этому случаю наше уравнение не имеет отношения, так как в уравнении предполагается, что ракета в конце-концов улетает сколь угодно далеко от Земли. А другой раз человек захочет запустить ракету с такой скоростью $v_1,$ чтобы в дали от Земли (говоря приближённо -"на бесконечности", где притяжение уже не чувствуется) ракета продолжала бы лететь по инерции с заданной скоростью $v_2,$ например, тысяча км/сек относительно системы отсчёта, в которой Земля двигалась в начальный момент, например, со скоростью $V_1$ сто км/сек.

Должно быть понятно, что существует сколько хочешь таких постановок задач: задается конкретная начальная скорость Земли (и затем она играет роль константы, характеризующей заданную систему отсчёта), и задаётся в этой же системе отсчёта конкретная желаемая скорость полёта ракеты по инерции "на бесконечности", а необходимую для этого начальную скорость ракеты надо вычислить.



Так вот, допустим, как частный случай такой задачи, мы задаём условия: пусть в как-то выбранной системе отсчёта начальная скорость Земли есть заданный вектор $\vec{V}_1,$ а желаемая скорость ракеты "на бесконечности" в той же системе отсчёта пусть совпадает с этим вектором: $\vec{v}_2=\vec{V_1}.$ Какую начальную скорость $v_1$ должна иметь ракета в этом случае? Наше уравнение для этого случая принимает следующий вид:

$\frac{mv_1^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot (\vec{v}_1-\vec{V}_1) -\frac{GMm}{R} = \frac{mV_1^2}{2} .$

Чтобы его решить, запишем неизвестный вектор $\vec{v}_1$ в виде суммы нового неизвестного вектора $\vec{v} \, '$ и заданного вектора $\vec{V}_1,$ то есть: $\vec{v}_1=\vec{v} \, ' +\vec{V}_1.$ Физ. смысл нового неизвестного вектора, как видим, простой: $\vec{v} \, '$ есть скорость ракеты относительно Земли в начальный момент времени. Подставив указанную сумму в уравнение, получаем:

$\frac{m(\vec{v} \, ' +\vec{V}_1)^2}{2} -m\vec{V}_1 \cdot \vec{v} \, ' -\frac{GMm}{R} = \frac{m{V_1}^2}{2} ,$

и, после раскрытия скобок:

$\frac{mv' \, ^2}{2} -\frac{GMm}{R} = 0 .$

Найденная отсюда величина $v'$ есть 2-я космическая скорость: это найденная в разумном приближении минимальная скорость ракеты (относительно Земли), которую надо придать ракете вблизи Земли, чтобы ракета смогла, преодолев притяжение, удалиться "на бесконечность". Действительно, из уравнения видно, что если в него подставить меньшую величину скорости, то левая часть уже будет отрицательной, то есть она не сможет быть нулём или равняться какой-нибудь положительной величине $mv'_2^2/2.$ Если же подставить в уравнение большую величину скорости, чем указанная минимальная $v'$, то левая часть будет равна какой-то положительной величине — физически это означает, что ракета в этом случае улетает "на бесконечность" и продолжает там лететь с ненулевой скоростью.

Наконец, замечание о скорости Земли в конечный момент времени в этой задаче. Из закона сохранения импульса мы видим, что разность конечной и начальной скорости Земли

$\vec{V}_2 -\vec{V}_1 = \frac{m}{M}(\vec{v}_1-\vec{v}_2)$

зависит от массы Земли $M$ и является малой в меру малости $m/M.$ Мы решали приближённое уравнение для космической скорости - в нём в разности кин. энергий Земли было отброшено слагаемое, зависящие от массы Земли, как если бы Земля была бесконечно массивной в смысле своих динамических свойств (но в потенциальной энергии гравитационного взаимодействия с ракетой массу Земли, разумеется, нельзя полагать бесконечной). Поэтому приближённое уравнение для космической скорости больше не испортится от того, что мы, перейдя к пределу $m/M \to 0,$ будем считать, что приближённо $\vec{V}_2 =\vec{V}_1.$

[ludwig51]

Cos(x-pi/2)
А можно по вашей теории вычислить параметры орбиты ($\varepsilon ,a$) ракеты в системе Солнца, если ракета стартует с Земли со второй космической скоростью ($11,2km/c$)в направлении совпадающем с вектором скорости Земли относительно Солнца?