Произвольные координаты в ОТО

[misha.physics]

Здравствуйте. Пробую новый способ изучения ОТО. Стараюсь формулировать "своими словами" то, как я понял отдельные "кусочки" того что написано в книгах (как физических идей так и математической стороны). Может так мое изучение будет более успешным.
Прошу Вас при возможности и желании просмотреть "мое понимание", и помочь мне не зайти совсем не туда.
А то я заметил, что разбираясь с математическим аппаратом ОТО, я не нахожу связи с физикой. Поэтому перехожу на "физические" книги, в которых математика используется как инструмент - формализм.
То есть я буду стараться излагать какой-то "кусочек" своими словами, так как я его понимаю, но я не могу сам себя проконтролировать правильно ли я это понял.
Да и может для кого-то, кто тоже изучает ОТО, и кто не уверен, правильно ли он понял объяснение в книге, это окажется полезным.

///////////////////////////////////////////
Вейнберг С. Гравитация и космология. (1975) (там сигнатура -1,1,1,1 и скорость света равна 1).
Глава 3, параграф 2. (начну сразу отсюда, т.к. надеюсь, что до этого места все более менее понятно, впрочем это выявится по ходу дела).
///////////////////////////////////////////

Рассмотрим движение свободной частицы в произвольном внешнем грав. поле. На нее действуют только сила гравитации этого поля.
Рассмотрим любую точку пространства-времени. Согласно принципу эквивалентности, в бесконечно малой окрестности этой точки можно выбрать свободно падающую систему отсчета в этом грав. поле. Пусть это будет маленький лифт с часами. С этим лифтом жестко связана декартова четырехмерная лоренцова система отсчета (дальше СО). Координаты в этой СО: $\xi ^{a}$. За пределы лифта оси координат этой СО продолжать нельзя (Да?). В этой СО интервал $d\tau ^2=-\eta _{ab}d\xi ^ad\xi ^b$ . Лифт движеться с тем же ускорением что и частица. Значит частица в СО лифта покоится или движется с постоянной скоростью, если изначально частица была "помещена" в это грав. поле с начальной скоростью. В СО лифта: $\frac{d^2\xi ^a}{d\tau ^2}=0$. Где $d\tau$ собственное время (то же что интервал). Но так как скорость частицы в в СО лифта постоянна, можно сказать что и $\frac{d^2\xi ^a}{d\xi ^{02}}=0$, где $\xi ^0$ это время в СО лифта.

Рассмотрим теперь произвольную СО (даже криволинейную) с координатами $x^{\mu}$. Эта СО может даже покрывать все кривое пространство-время, то есть быть его внутренними координатами (Да?). Координаты $\xi ^{a}$ будут функциями координат $x^{\mu}$: $\xi ^{a}=\xi ^{a}(x^{\mu})$. [[[В этом месте остановлюсь. Очень нехватает елементарного примера. Например на сфере координаты $x^{\mu}$ выберем как криволинейные координаты - как углы $\varphi , \theta$ полностью покрывающие поверность сферы. Это глобальная система координат на сфере. Выберем любую точку сферы. Рассмотрим её окрестность, заменим эту окрестность плоскостью (касательной плоскостью в данной точке). Введем на ней декартовые координаты $x, y$, для которые справедлива теорема Пифагора. Но как задать функции $x=x(\varphi , \theta)$ и $y=y(\varphi , \theta)$ ? Эти функции будут справедливы для окрестности любой точки поверхности? (В книгах по ОТО для меня категорически не хватает подобных примеров. Ведь если я пойму эту риманову геометрию на двумерном многообразии, с етими локальными координатами, ковариантным дифференцированием... хотя бы на елементарном кривом пространстве то потом буду смотреть на эти операции на любом многообразии как на обобщение. Есть, конечно проблема, что на поверхности кривизна ето скаляр, а для высших размерностей это тензор, с этим нужно разбираться отдельно. Ведь когда я понял (представил себе наглядно) теорему Пифагора для плоскости, то я не задумываюсь как она работает в евклидовом пространстве любой размерности. Ещё замечу, что трудности часто возникают не из-за технических математических преобразований типа производных, или проверить является ли скалярное произведение вектора на ковектор инвариантом и т.д., а трудность в том, как например в выше описанном примере со сферой. Кстати а в качестве координат $x^{\mu}$ нельзя выбрать $x, y, z$? Но это уже будет 3 координаты, а нам нужно только две (Да?))]]].

Далее, переписываем уравнение $\frac{d^2\xi ^a}{d\tau ^2}=0$ в произвольных координатах $x^{\mu}$. Получаем выражения для символов Кристоффеля и метрического тензора в произвольных координатах. Идея понятна. Записали уравнение движения свободной частицы в лоренцевых координатах лифта (в самом простом случае) и получили это уравнение в общих координатах. Но в общих координатах мы получили уравнение движения частицы "по всему" многообразию (Да?). А начинали мы с уравнения движения в бесконечно малой области лифта. И это мне необходимо понять в первую очередь. Почему так получается...

Решая уравнение движения получим $x^{\mu}(\tau)$, или, исключая, $\tau$, получим $\vec{x}(t)$. Ну наконец-то. Что-то знакомое. Траектория. Зависимость 3-х мерного радиус-вектора от координатного времени. Но в криволинейных координатах. Зато в глобальных. Кстати мы говорили что произвольные координаты $x^{\mu}$ можно выбрать любие. А как их "обычно" наилучше выбрать? От чего это зависит? И их количество, как я понял, должно быть равное числу измерений искривленного пространства. Это значит что мы никак не можем ввести глобальную "прямую" (декартовую систему координат). А вот еслы бы мы могли поместить наше кривое пространство в плоское пространство большей размерности, то в таком пространстве нужно было бы ввести силу тяготения. Потому что траектории свободных частиц, в этом плоском пространстве не были бы прямими.



Искренне благодарю что дочитали до конца :) Я не люблю много писать и отнимать время чтобы высказаться. Очень хочу излагать ситуацию лаконично (но часто у меня такое чувство, что я пишу роман :) и я понимаю, что тематический форум это не личный блог :) главное для чего я это пишу это понять и научиться, но иногда не удерживаюсь и высказываюсь. Если ето слишком, то вы мне пожалуйста так и говорите). Хочу спросить, я не покажусь слишком наглым, если пойду таким путем изучения ОТО? То есть не буду прыгать с книги на книгу, а буду держаться например Вайнберга, ЛЛ-2, но у меня будут появлятся подобные вопросы? Кстати о ЛЛ-2. СТО изложено понятно, красиво. Вопросов почти не возникает. Знаний хватает. Но изучаю по нему ОТО дохожу до параграфа о ковариантном диффенцировании и тут понятно, что нужный мат. аппарат я тут не изучу. Нужно отдельно брать математическую книгу, где ещё нужно разобраться что от етого всего нужно.

P.S. И как мне лучше создавать темы? Ведь если я буду идти систематически по книге, то они будут логическим продолжением. Может подойдет тема типа "Вопросы по ходу изучения ОТО по книге"? Не знаю почему, но мне почему-то "страшно" создавать отдельные темы по вопросам, которые могут оказаться "глупыми" и на которые может быть дан краткий ответ.

[Erleker]

mishaсообщении #1261892 писал(а):

За пределы лифта оси координат этой СО продолжать нельзя (Да?)

Нет, формально утверждается, что мы выбрали координаты, в которых мы утверждаем, что частица в данной точке ПВ локально не имеет ускорения и интервал имеет вид $d\tau ^2=-\eta _{ab}d\xi ^ad\xi ^b$. А вообще метрика в них записывается и вне этой точки, просто это нам не важно.

mishaсообщении #1261892 писал(а):

Рассмотрим теперь произвольную СО (даже криволинейную) с координатами $x^{\mu}$. Эта СО может даже покрывать все кривое пространство-время, то есть быть его внутренними координатами (Да?)

Просто произвольные координаты на ПВ, да (а покрывает ли это карта все ПВ - это другая тема).

mishaсообщении #1261892 писал(а):

Эти функции будут справедливы для окрестности любой точки поверхности?

Нет конечно, иначе бы вы свели метрику к евклидовой на всей сфере. Разные для каждой.

mishaсообщении #1261892 писал(а):

Но это уже будет 3 координаты, а нам нужно только две (Да?)

Ну, поверхность сферы описывается двумя, да.

mishaсообщении #1261892 писал(а):

Далее, переписываем уравнение $\frac{d^2\xi ^a}{d\tau ^2}=0$ в произвольных координатах $x^{\mu}$. Получаем выражения для символов Кристоффеля и метрического тензора в произвольных координатах.

Нет, не все так просто.
Мы сказали, что выбрали такую СК $\xi ^a$ для конкретной точки. Но преобразования межу $\xi ^a_{(X^a)}$ и $x^a$ должны тоже меняться с изменением $X^a$ этой точки (где сейчас "летит" частица). Поэтому уравнения надо подкорректировать, но... если положить, что такие "ЛИСО" еще и обладают свойством, что в них все производные от метрического тензора локально зануляются, то мы однозначно получим те же уравнения.
Вайнберг это подробной разбирает в § 3.Правда, там может быть поначалу показаться запутанно...
Геометрическая суть тут такая: к-ты связности задаются отдельно от метрического тензора.
И если мы положим:
1. Существуют СК, в которых они локально зануляются.
2. $Dg_{ik}=0$
То получим связность ОТО. Можете посмотреть про это в ЛЛ-2.
Ну и потом можем еще понять, что оказывается занулять их можем не только локально, а вдоль мировой линии падающей частицы, но постулирование и вывод в Вайнберге на это прямо не опирается.

[misha.physics]

Erleker, спасибо. Значит мы можем ввести произвольные глобальные координаты $x^{\mu}$ в ПВ. И в окрестности каждой точки ПВ можно выбрать ЛИСО с координатами $\xi ^a$ как функции координат $x^{\mu}$. Но для каждой точки ПВ эти функции различны.


P.S. Может кто-то имеет представление о видеокурсе "Геометрические методы в классической теории поля" Михаила Иванова? Может видеолекцию мне будет проще принять...

[Erleker]

misha.physics
Да. Только еще таких "ЛИСО" в каждой точке - бесконечно много. Тут мы имеем дело с одной конкретной для каждой, с "системой", так что $\xi ^a_{(X^a)}$ гладкая". Например, имеем падающий лифт вместе с частицей и каждый раз в новой точке "подгоняем" (преобразованиями "остаемся" в нем, то есть покой относительно пространственных координат 4-СК всегда означает покой относительно ребер лифта) соответствующим образом метрику (что можно сделать по принципу эквивалентности).

misha.physics в сообщении #1261913 писал(а):

P.S. Может кто-то имеет представление о видеокурсе "Геометрические методы в классической теории поля" Михаила Иванова? Может видеолекцию мне будет проще принять...

Я имею представление об этом преподавателе (работает в МФТИ). Стоит.

[misha.physics]

А в уравнении:
$\frac{d^2x^{\lambda}}{d\tau ^2}+\Gamma ^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d \tau}=0$,
координаты $x^{\lambda}$ можно брать только из бесконечно малой области, соответствующей (с помощью преобразований) области лифту? Ведь если в ЛИСО мы пишем уравнение для бесконечно малой области (лифта) ПВ, то это уравнение, которое мы с помощью преобразований координат, получаем в произвольных координатах тоже будет справедливо только для бесконечно малой области ПВ. Да?

[Erleker]

Нет, уравнение это справедливо в любых $x^a$ и в любой точке траектории.

[misha.physics]

Erleker, значит уравнение это справедливо для любой точки ПВ в координатах $x^a$ глобальной СО. Просто для каждой точки ПВ будут свои функции перехода от ЛИСО в данной точке ПВ к координатам глобальной СО. Ну и это объясняет, что символы Кристоффеля будут в каждой точке ПВ свои. Правильно?

[Erleker]

Да.
Последнее - не строго.

[Slav-27]

misha.physics в сообщении #1261892 писал(а):

Согласно принципу эквивалентности, в бесконечно малой окрестности этой точки можно выбрать свободно падающую систему отсчета в этом грав. поле.

Согласно принципу эквивалентности, можно выбрать малую окрестность этой точки и систему отсчёта в этой окрестности таким образом, что движение любой свободной частицы из этой системы отсчёта будет выглядеть при измерениях как движение свободной частицы в плоском пространстве Минковского. Но это не значит, что можно выбрать малую окрестность точки и задать в ней систему координат $\xi^\alpha$ таким образом, что движение любой свободной частицы будет в точности описываться уравнением $\dfrac{d^2\xi^\alpha}{d\tau^2}=0$. С математической точки зрения, это уравнение будет верно лишь приближённо (в общем случае; может, конечно, случайно оказаться, что оно верно и в точности).

Принцип эквивалентности говорит только, что можно взять окрестность настолько малую, что погрешность этого приближённого описания против точного будет намного меньше погрешностей измерительных приборов. Таким образом, с физической точки зрения эта окрестность будет действительно выглядеть как кусочек плоского пространства-времени. Но с математической точки зрения это будет верно лишь приближённо; будет только верно, что если размер окрестности стремится к нулю, то такое описание стремится к точному.

Впрочем, для вывода уравнений движения этого достаточно. Возьмём точку $p$ и окружим её такой маленькой окрестностью с приближённо лоренцевыми координатами $\xi^\alpha$; затем посчитаем $\dfrac{d^2\xi^\alpha}{d\tau^2}=0$. Это приближённое равенство, но оно стремится к точному, если уменьшать окрестность, стягивая её к точке $p$. Дальше вычисление, проделанное Вайнбергом, даёт нам уравнение $\dfrac{d^2x^\lambda}{d\tau^2}+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\dfrac{dx^\mu}{d\tau}\dfrac{dx^\nu}{d\tau}=0$ -- приближённое! Однако в точке $p$ оно выполняется точно. Действительно, производные в точке $p$ не зависят от точек траектории, удалённых от $p$; поэтому можем считать, что всё вычисление произведено в сколь угодно малой окрестности $p$ и, следовательно, в точке $p$ сколь угодно мало отличается от точного -- то есть точно.

Пока мы установили точность этого уравнения только для одной точки $p$. Однако она была взята совершенно произвольно; значит, это уравнение в точности выполняется для любой точки $p$! Вот и всё.

-----------------------------

Насколько я понял, эту разницу между приближённым и точным описанием вы не до конца поняли, и в частности из-за этого в 1-м посте вы наделали много ошибок.

misha.physics в сообщении #1261892 писал(а):

Рассмотрим теперь произвольную СО (даже криволинейную) с координатами $x^{\mu}$. Эта СО может даже покрывать все кривое пространство-время, то есть быть его внутренними координатами (Да?).

Вообще говоря да, но это исключительный случай.

misha.physics в сообщении #1261892 писал(а):

Координаты $\xi ^{a}$ будут функциями координат $x^{\mu}$: $\xi ^{a}=\xi ^{a}(x^{\mu})$

Да.

misha.physics в сообщении #1261892 писал(а):

Например на сфере координаты $x^{\mu}$ выберем как криволинейные координаты - как углы $\varphi , \theta$ полностью покрывающие поверность сферы. Это глобальная система координат на сфере.

Нет. Они не полностью покрывают сферу, и это не глобальная система координат на сфере.

Во-первых, у этих координат есть 2 сингулярности в полюсах сферы: там разным значениям одной из координат соответствует одна и та же точка, чего быть не должно.

Во-вторых, даже если бы не было полюсов (например если бы рассматривали цилиндр вместо сферы), то система координат всё равно не была бы глобальной. Причина этого в том, что при отождествлении цилиндра с куском плоскости он разрезается: пусть, допустим, угол $\varphi$ меняется на полуинтервале $[0,2\pi)$, тогда если при движении угол увеличивается и проходит через $2\pi$, то непрерывная траектория частицы становится в ваших координатах разрывной: угол меняется скачком до нуля. Такого тоже не должно быть.

misha.physics в сообщении #1261892 писал(а):

Выберем любую точку сферы. Рассмотрим её окрестность, заменим эту окрестность плоскостью (касательной плоскостью в данной точке). Введем на ней декартовые координаты $x, y$, для которые справедлива теорема Пифагора. Но как задать функции $x=x(\varphi , \theta)$ и $y=y(\varphi , \theta)$ ?

Для сферы это можно сделать только приближённо.

misha.physics в сообщении #1261892 писал(а):

Кстати а в качестве координат $x^{\mu}$ нельзя выбрать $x, y, z$? Но это уже будет 3 координаты, а нам нужно только две (Да?)

Да, координат должно быть две, раз сфера двумерна.

misha.physics в сообщении #1261892 писал(а):

Кстати мы говорили что произвольные координаты $x^{\mu}$ можно выбрать любие. А как их "обычно" наилучше выбрать?

Имеет смысл делать это так, чтобы модель была как можно проще -- например учитывала симметрию задачи. То есть выбор координат обычно связан с особенностями конкретного многообразия, конкретного решения уравнений Эйнштейна, конкретного распределения энергии-импульса.

-- 03.11.2017, 21:32 --

В остальных постах у вас все утверждения правильные.

NB!
Сначала у меня в начале было написано что-то не очень хорошее, а теперь я исправил.

[misha.physics]

Erleker, да насчёт $\Gamma ^i_{kl}$ я поторопился. Кстати, если даже функции $\xi ^i(x^k)$ будут одинаковы для всего ПВ (это означает что ПВ плоское, да?) то $\Gamma ^i_{kl}$ все равно формально остаются функциями точки ПВ, ведь есть функция $\xi ^i(x^k)$. Например, если ввести полярные координаты на плоскости...

Значит в каждой точке ПВ задана функция $\xi ^i(x^k)$ и для двух близких точек ПВ эти функции должны быть очень "близкими", это проявление непрерывности, да? Но как тогда "одним махом" посчитать $\Gamma ^i_{kl}$ для любой точки ПВ. Ведь вид $\Gamma ^i_{kl}$ зависит от вида зависимости $\xi ^i(x^k)$. Но мы ведь не считаем $\Gamma ^i_{kl}$ для каждой точки ПВ отдельно, правда?
Но если предположить, что существует какая-то "функция", которая каждой точке ПВ ставит в соответствие функцию $\xi ^i(x^k)$...

[Slav-27]

misha.physics в сообщении #1261936 писал(а):

Кстати, если даже функции $\xi ^i(x^k)$ будут одинаковы для всего ПВ

Я не вижу здесь вообще никакого смысла. Во-первых, как правило, одной системой координат $x^k$ не обойтись: надо несколько. И даже если можно обойтись, например, двумя или тремя, то всё равно всевозможных систем координат $x^k$ не две и не три, а бесконечно много.

Во-вторых, даже если $x^k$ заданы, то $\xi^i$ тоже определены не однозначно, а как минимум с точностью до параллельного переноса, поворота, буста... А если учесть, что они только приближённо лоренцевы -- то ещё и с точностью до маленького возмущения в пределах погрешности измерений.

-- 03.11.2017, 21:55 --

Символы Кристоффеля при выборе конкретной системы координат $x^k$ являются функциями точки (точнее сказать, функциями её координат), потому что выражаются через компоненты метрики в этой точке в этих координатах и их частные производные в этой точке по этим координатам. Если координаты $x^k$ поменять, то и кристоффели поменяются.

[misha.physics]

Slav-27, спасибо, перечитаю несколько раз.
Значит в малой окрестности точки наша локальная ИСО тоже не будет в точности соответствовать плоскому пространству Минковского. Ведь в пространстве Минковского уравнение $\frac{d^2\xi ^{\alpha}}{d\tau ^2}=0$ выполняется точно. То есть когда вы говорите "...движение частицы из этой системы отсчёта будет выглядеть при измерениях как движение свободной частицы в плоском пространстве Минковского", то имеете ввиду, что "будет выглядеть" но не будет в точности пространством Минковского? Значит и первое и второе утверждение о принципе эквивалентности тождественны. Но оба они только приближения. Надеюсь я правильно понял. Кстати я всегда под малой окрестностью подразумеваю бесконечно малую окрестность, т.е. не конечную.

Да, о проблемах на полюсах сферы и о том что $\varphi=0$ и $\varphi=2\pi$ "одно и то же" я знал, но "умолчал об этом" .

[Slav-27]

misha.physics в сообщении #1261941 писал(а):

имеете ввиду, что "будет выглядеть" но не будет в точности пространством Минковского?

Да, правильно, я повторял одно и то же по нескольку раз в разном виде, чтобы было понятнее.

misha.physics в сообщении #1261941 писал(а):

Кстати я всегда под малой окрестностью подразумеваю бесконечно малую окрестность, т.е. не конечную

Ну если уж мы говорим математически, то "бесконечно малых окрестностей" не бывает...

Заметили, я вот везде старательно выписывал "приближённо верно для малой окрестности точки и погрешность стремится к нулю, когда окрестность стягивается к точке"... Если придавать словам строгий смысл, то что-то такое и имеют в виду, когда говорят "верно в бесконечно малой окрестности".

[Erleker]

Slav-27
Так почему бы просто не говорить "в данной точке"/ локально?

[misha.physics]

Я понял, уравнение $\frac{d^2x^{\lambda}}{d\tau ^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}=0$ верно для любых $x^{\lambda}$, т.е. для любой точки ПВ. А для того чтобы вернуться к координатам $\xi^i$, которые являются локальными, нужно использовать функции перехода, свои для каждой точки ПВ.
Значит когда мы переходим от ЛИСО к произвольной СО мы идем от частного к общему. От описания движения частицы в бесконечно малом "объеме" ми переходим к описанию движения частицы во всем Пространстве-времени.