Человек на платформе

[fred1996]

amon
Ну вспомните задачу про одно колесо. Ведь ее тут уже решали.
Если есть трение, неважно какое, между колесом и землей, сила трения не создает никакого момента вокруг любой оси, расположенной на земле перпендикулярно движению тележки.
Силы реакции опоры компенсируют силы тяжести в любой момент. То есть общий момент сил на тележку ноль. Сохраняется общий угловой момент тележки относительно этой оси. А этот момент складывается из углового момента вращеия колес вокруг своих ЦТ плюс момент вращения ЦТ системы вокруг выбранной оси. Сила трения колес может разгонять ЦТ системы. Тогда она разгоняет угловой момент колес в обратную сторону. Так что полный угловой момент ноль, как был вначале, так и будет в конце. То есть в конце тележка обязана остановиться. А сам факт проскальзывания колес влияет на пройденный путь. Поскольку теперь уже не будет пропорциональности скорости тележки и угловой скорости колес.

-- 26.10.2017, 08:09 --

Эх, хорошо было во времена Ньютона. Одни флюкации и никакого формализма.
Я такие задачи со школьниками тоннами решаю просто по-школьному.

[amon]

В написанном выше лагранжиане я сохранения момента не вижу, только сохранение импульса. Может смотрю плохо.

[fred1996]

amon
У вас выражение $R=3Mx+my$ соответствует некоему приведенному (обобщенному) ЦТ. Если что, напомню, в задаче не три колеса, а два.
Было бы одно колесо, это бы соответствовало полутароколесному формализму.
Так что формализм формализмом, но не до такой же степени.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1259338 писал(а):

, а не рассказывали про то, что в задаче одна степень свободы,

ну что же я могу поделать в задаче из стартового поста действительно одна степень свободы

-- 26.10.2017, 21:07 --

и ,кстати, не надо пытаться заменять силы реакций идеальных связей пружинками
это силы совершенно разной природы. силы реакций идеальных связей квадратичны по обобщенным скоростям

[Pphantom]

pogulyat_vyshel, Вы не могли бы расставлять заглавные буквы и знаки препинания там, где это требуется? Читать тексты без них весьма неудобно.

[fred1996]

(Оффтоп)

На многих гаджетах заглавные буквы представляют определенные неудобства.
Поэтому уже появилась целая субкультура, общающаяся без заглавных букв. Лично я тут пользуюсь заглавными скрепя сердце. Со своими кастомерами на ebay обхожусь без них. И это у нас взаимно. На самом деле, если есть знаки препинания, заглавные буквы излишни. Но если без того и другого, тогда да.

[amon]

fred1996 в сообщении #1259352 писал(а):

У вас выражение $R=3Mx+my$ соответствует некоему приведенному (обобщенному) ЦТ.

Как-то плохо нас с Вами в университете выучили ;) Если Гамильтониан (функция Лагранжа) имеет вид $\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}+V(r_1-r_2),$ то заменой переменных движение центра масс отделяется (в более общем случае такое тоже бывает, но здесь и этого достаточно), и Гамильтониан приобретает вид $\frac{P^2}{2M}+\frac{q^2}{2\mu}+V(r).$ При этом $P$ канонически сопряженная к положению центра масс $R=\frac{m_1r_1+m_2r_2}{m_1+m_2},$ а $q$ - к разностной координате $r_1-r_2$. То есть центр масс движется свободно. Гамильтониан задачи содержал кроме поступательной энергии вращательную, но в силу зависимого перемещения колес от тележки вращательная энергия стала иметь такой же вид, как поступательная, и к массе $2M$ колес добавилась еще одна $M$ от вращательной кинетической энергии. Взаимодействие же человека с тележкой устроено так, что $f_{12}=-f_{21}$ (третий закон Ньютона), и в силу этого все силы из уравнения $\dot{R}=\frac{\partial H}{\partial P}$ вылетают. Последнее обстоятельство (3-й закон Ньютона) в решении pogulyat_vyshel не задействовано ни как. У него получилось, что как бы не двигался человек, все, чего удастся достичь - это сдвига центра масс на строго определённую величину, хотя человек мог на платформу с разбега запрыгнуть, после чего все это хозяйство укатилось бы в бесконечность.

Меня тоже избыточность знаний подвела. Я сразу сообразил, что движение центра масс отделяется, но забыл, что стоящая при нем масса не обязана равняться сумме масс, хотя когда-то на эту тему статью написал (не по механике, естественно). Да, правую часть процитированного выражения для $R$ на сумму масс я забыл поделить, естественно.

[dovlato]

Можно вообще без Лагранжа всуе. Для идущего человека с массой $m$ платформа эквивалентна свободно скользящему без трения телу, имеющему эквивалентную массу

$$M_1=M+J/r^2,$$

где $M$ - суммарная масса платформы со всеми её колёсами; $J$ - суммарный момент инерции этих колёс.
Отсюда понятно, что неподвижным остаётся центр масс системы $(m,M_1)$. Телега сместится на расстояние

$$l_1=\frac{L}{1+M_1/m}$$

[wrest]

dovlato в сообщении #1259611 писал(а):

Для идущего человека с массой $m$ платформа эквивалентна свободно скользящему без трения телу, имеющему эквивалентную массу

$$M_1=M+J/r^2,$$

Да, выкладки об этом и говорят.
Но есть ли какой-то общеизвестный закон, правило, теорема об этом?
Ясно, что разбив всё (тележку, колеса) на мелкие части и проинтегрировав, мы такую формулу выведем.

Тогда вопрос. Допустим, в задаче колеса невесомые и не проскальзывают. На оси колес радиуса $r$ надеты маховики неизвестной, но осесимметричной формы, маховики до земли не достают, и про них известно, что их масса (каждого) $M$, а момент инерции (каждого) относительно оси вращения -- $J$
Как тогда считать, какой закон, теорему, правило использовать?

[dovlato]

Я просто вывожу из закона сохр. энергии. Пусть на платформу, в какой-то момент времени движущуюся со скоростью $v$, действует горизонтальная сила $f$.
Ясно, что изменение кинетич. энергии равно работе этой силы:

$$d\left[\left(M_0+\frac{J}{r^2}\right)\frac{v^2}2\right]=fvdt$$

Или, после понятных упрощений

$$M_1\frac{dv}{dt}={f},$$

где обозначено $M_1=M_0+\frac{J}{r^2}$

[fred1996]

dovlato
Ну собственно я обычно так и объясняю своим олимпиадникам, что если у вас мало времени на задачу, сильно не заморачивайтесь, а просто вспомните, что во всех уровнениях движения твердых тел, если все связи жесткие (нет проскальзываний), к общей трансляционной инерции системы добавляется вращательная инерция по формуле $J/R^2$

[wrest]

dovlato
То есть вы переходите к силам, моментам сил, массам и моментам инерции из уравнений для кинетической энергии, по сути пользуетесь теоремой Кенига для энергии и из неё получаете нужные соотношения, я верно понимаю?

-- 27.10.2017, 22:00 --

dovlato в сообщении #1259690 писал(а):

Я просто вывожу из закона сохр. энергии.

А что тут сохраняется?

[fred1996]

Я бы сказал, что тут сохраняется приведенный импульс $mv+3Mv_1=0$ в любой момент времени.

[dovlato]

Ну, в обычном смысле энергия не сохраняется; лучше, наверное, говорить об энергетическом балансе.
Сам для себя я полагаю, что сила $f=-\operatorname{grad} U$, где нужную функцию $U$ практически всегда можно подобрать.
Вообще мой дежурный слоган: задачи физики - это задачи на законы сохранения)).

[fred1996]

Прежде всего законы сохранения здравого смысла.
Кстати, а как вы думаете, уравнения связей, это законы сохранения?