Человек на платформе

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1259220 писал(а):

Это, простите как?

Например, также как в задаче 3 из параграфа 27 ЛЛ1:
Мальчик стоит на качелях и двигает свой центр масс вдоль линии подвеса качелей. Зависимость расстояния от точки подвеса до центра масс мальчика от времени задана явно.
Это задача с двумя переменными, или с одной на параметрический резонанс?
В исходной задаче топика никакого резонанса, конечно, нет, но с Лагранжианом происходят такие же чудеса - он явно зависит от времени.

[Sender]

amon в сообщении #1259220 писал(а):

на платформе стоял трактор, мы завели мотор, разогнали трактор, а потом ударили по тормозам

Есть и более действенные способы, например, соединить двигатель трактора с колёсами тележки.

amon в сообщении #1259220 писал(а):

Если бы это было не так, то получилось бы, что можно изменить полный импульс только внутренними силами системы

А как же сила трения колёс о землю?

[realeugene]

amon в сообщении #1259220 писал(а):

Для того, чтобы тело проехало по произвольной траектории $\phi(t)$ к нему надо приложить вполне определенную силу $f=\frac{\ddot{\phi}}{m}$

Эта сила называется "реакцией связи".
Кстати, pogulyat_vyshel, не напомните, как её получить в рамках лагранжева формализма? Силу, с которой человек толкает платформу? Только обычную силу, а не только обобщённую.

[amon]

Sender в сообщении #1259224 писал(а):

А как же сила трения колёс о землю?

Пока колесо едет равномерно и прямолинейно сила трения работы не совершает. Разгон-торможение колеса штука похитрее, туда соваться не хочу - в Ландау этого нет, а нормальную механику знаю плохо. Тем не менее, для создания "инерциоида" нужно сухое трение - должен быть порог по приложенной силе для начала движения. На жидком трении инерциоид не сделать.

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1259234 писал(а):

На жидком трении инерциоид не сделать.

(Оффтоп)

как показывают эксперименты, можно. Только двигаться он будет противоположную сторону

[realeugene]

amon в сообщении #1259234 писал(а):

Разгон-торможение колеса штука похитрее, туда соваться не хочу

При ускорении человека относительно платформы, неизбежно, происходит и разгон-торможение колеса.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1259223 писал(а):

но с Лагранжианом происходят такие же чудеса - он явно зависит от времени.

Напишите задачку с пружинкой: пружинка была сжата, и к ней прикреплен тяжелый шарик. Пружинка разжалась, и в разжатом положении, когда скорость шарика ноль, шарик "поймали". Полный аналог исходной задачи.

-- 26.10.2017, 14:15 --

realeugene в сообщении #1259240 писал(а):

При ускорении человека относительно платформы, неизбежно, происходит и разгон-торможение колеса.

Да хрен с ним, с разгоном. Полный импульс сохраняется? Если да, то центр масс неподвижен.

[Sender]

amon в сообщении #1259242 писал(а):

Полный импульс сохраняется? Если да, то центр масс неподвижен.

Да с чего бы ему сохраняться, когда на систему действуют внешние силы?

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1259242 писал(а):

Полный импульс сохраняется?

Нет.

Про пружинку и шарик: надо придумать куда силу трения "прикрутить", иначе не полный аналог.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1259245 писал(а):

надо придумать куда силу трения "прикрутить"

Какую силу трения? По условию диссипации энергии нет, значит и трения в обычном понимании нет - колеса не проскальзывают, а то, что называют силой трения нижней точки колеса о Землю это реакция опоры. Она, между прочим, может и работу совершать (эх, где наш Oleg Zubelevich).

[AnatolyBa]

Да, все-таки пришлось почитать теормех, вспомнить о реономных и склерономных связях.
Эта "простая" задача учит работать с зависящими от времени связями, и в этом смысле совсем не простая.
Все-таки хочу отметить один момент. Условие применимости уравнения Лагранжа - связи должны быть идеальными, силы реакции связей не должны совершать работу (в сумме). Т. е. условие отсутствия проскальзывания между ступнями и платформой - принципиально. А более "школьный" подход (как у lel0lel, например) этого условия не требует

[amon]

Я сообразил, что там будет. Импульс сохраняется, но в массу запишется момент инерции. То есть, мой ответ неправильный

[wrest]

При очень большом моменте инерции тележка вообще двигаться не будет, и человек просто будет по ней ходить.
Этот большой (т.е. -- любой сколь угодно большой в пределах прочности материалов) момент инерции можно создать не слишком увеличивая "тяжелую" массу тележки например подключив на оси тележки маховик через редуктор с достаточно большим повышающим коэффициентом. В пределе это будет означать что колеса просто заторможены в осях, а человек ходит по тележке аки по земле.

-- 26.10.2017, 15:26 --

amon в сообщении #1259259 писал(а):

но в массу запишется момент инерции.

Тележка в задаче в динамике ведет себя так, как будто ее "инертная" масса (которой определяется импульс и кинетическая энергия) больше её "тяжелой" массы в полтора раза.

[pogulyat_vyshel]

я решал задачу в предположении, что связь (*) идеальна, о чем и написал в условии, сказав, что человек не проскальзывает по полу. Получилась лагранжева система с одной степенью свободы и обобщенной координатой $x$
Но от условия непроскальзывания можно освободиться оставаясь в рамках лагранжева формализма. Заменим связь (*) силой $f$, которая действует на платформу со стороны человека и рассмотрим систему с двумя степенями свободы и обобщенными координатами $y,x$:

$$\mathcal L^*=\frac{1}{2}m\dot y^2+2\Big(\frac{1}{2}M\dot x^2+\frac{1}{2}J\Big(\frac{\dot x}{r}\Big)^2\Big)$$

уравнения движения:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L^*}{\partial \dot x}-\frac{\partial \mathcal L^*}{\partial x}=f,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L^*}{\partial \dot y}-\frac{\partial \mathcal L^*}{\partial y}=-f$$

Вообще дремучесть так называемых заслуженных участников по части лагранжева формализма оказалась по истине эпичной, а некоторые даже читать не научились:

AnatolyBa в сообщении #1259177 писал(а):

Человек поел, набрался энергии (химической), пошел по платформе, возможно шаркающей кавалерийской походкой, с диссипацией.

pogulyat_vyshel в сообщении #1258081 писал(а):

проскальзывания между подошвами человека и платформой, а также между колесами и землей нет.

AnatolyBa в сообщении #1259252 писал(а):

уравнения Лагранжа - связи должны быть идеальными, силы реакции связей не должны совершать работу (в сумме).

определение идеальных связей дано неверно, идите еще теормех почитайте

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1259277 писал(а):

Вообще дремучесть так называемых заслуженных участников по части лагранжева формализма оказалась по истине эпичной

Я бы на Вашем месте поосторожней высказывался. Вы тоже блестящих знаний Лагранжева формализма не продемонстрировали. Ваше "решение" ещё допиливать и допиливать. Примерно так. Рассматриваемая система тележка+человек имеет 5 степени свободы. Введем обобщенные координаты: положение колес $x_1,x_2,$ углы поворота колес $\alpha_1,\alpha_2$ и положение человека $y.$ Пусть сила взаимодействия человека с платформой потенциальна с потенциалом $U(x-y).$ На систему наложены три голономные связи: $x_2=x_1+d$ и $\alpha_1=\alpha_2\equiv\alpha=\frac{x}{r}.$ Функция Лагранжа системы с учетом связей имеет вид

$$ \frac{m\dot{y}^2}{2}+2\frac{M\dot{x}^2}{2}+\frac{Mr^2}{2}\frac{\dot{x}^2}{r^2}-U(x-y)=\frac{m\dot{y}^2}{2}+\frac{3M\dot{x}^2}{2}-U(x-y) $$

Переходя к суммарным-разностным переменным

$$\begin{align} R&=3My+mx\\ q&=x-y \end{align}$$

получаем отделение переменных в Лагранжиане

$$ \frac{3M+m}{2}\dot{R}^2+\frac{\mu\dot{q}^2}{2}-U(q). $$

В системе сохраняется полный импульс $P=(3M+m)\dot{R},$ значит, если $P=0,$ положение "центра масс" системы неподвижно. Т.е. ответ отличается от "задачи без колёсиков" "перенормировкой" массы тележки $2M\to3M.$ Если бы Вы что-то такое сразу написали, а не рассказывали про то, что в задаче одна степень свободы, то и вопросов бы не было. Я, конечно, тоже хорош, но мне можно - у меня маразм.