Квантовый мир и гильбертовы пространства

[Cos(x-pi/2)]

Ошибся я с предположением, будто "картинка прежняя получится"

Если $\hat H = \hat \sigma_y,$ то биения между "кот дома" и "кот вне дома" будут уже на всю катушку: вероятность осциллирует от $1$ до $0.$

Это и понятно. Если перевести всё на язык спина, то наш "кот дома" определён как состояние, в котором усреднённый спин наклонён к оси $x$ поворотом от оси $z$ вокруг оси $y;$ поэтому оси $x$ и $y$ не равноправны по отношению к такому начальному состоянию "кот дома".

[amon]

Я тоже был неправ. "Закон сохранения пола" гамильтониан не фиксирует. Годится любая комбинация вида $1+\alpha\sigma_y$, что сильно обогащает кошачью жизнь. ($1$ - единичная матрица, а $\alpha$ - вещественное число.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1103365 писал(а):

тоже был неправ. "Закон сохранения пола" гамильтониан не фиксирует.

Закон сохранения пола устарелый реакционный закон. В прогрессивных обществах если кошка/кот чувствует что является котом/кошкой, то смена пола производится немедленно за счёт налогоплательщика (что далеко не всегда можно сказать о каких-либо менее важных процедурах, даже если они и спасают жизнь упомянутого животного). При этом все попытки спросить "А хорошо ли ты подумал(а)" встречаются шипением, а то и оцарапыванием.

[VASILISK11]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102278 писал(а):

Пока тут образовалась пауза с ожиданием развёрнутых ответов на вопросы о фотонах, вот придумалась лёгкая КМ-задачка про шредингеровского кота в недрах квантового мира. Не знаю, правда, есть ли такая в задачниках и в интернете (скорее всего, давно есть), и думаю: не задать ли её студентам-прогульщикам на контрольной по КМ, чтобы повысить им шанс не получить "два балла"?

Дано: кота рассматриваем в приближении квантовой системы с 2-мерным пространством состояний. Пусть запертый в доме кот может быть обнаружен с вероятностью $3/4$ живым или с вероятностью $1/4$ мертвым.

Найти: с какой вероятностью $W$ мертвый кот может быть обнаружен вне дома, (где-нибудь на улице, под забором, в канаве и т.п.)?

(Решение)

Положительные значения корней квадратных из заданных в условии вероятностей примем за амплитуды вероятности; в качестве отдельного упражнения студенты должны убедиться, что от выбора фазовых множителей ответ в задаче не будет зависеть. Тогда нормированное состояние шредингеровского кота в доме запишется в виде следующей линейной суперпозиции двух базисных состояний - мертвого и живого кота:

$$| \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle = \frac{\sqrt{3}}{2} \, | \, \text{живой} \, \rangle + \frac{1}{2} \, | \, \text{мертвый} \, \rangle \qquad (1)$$

Это состояние можно рассматривать как одно из двух новых базисных состояний, нормированных и взаимно ортогональных. Как известно, физический смысл ортогональности базисных состояний в КМ заключается в том, что базисные состояния описывают альтернативные состояния объекта, ибо условие ортогональности $\langle a|b \rangle = 0$ означает, что амплитуда вероятности обнаружить объект в состоянии $a,$ если его состояние есть $b,$ равна нулю.

Альтернативным к состоянию $| \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle$ должно быть, очевидно, состояние $| \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle .$ С учётом условий нормировки и ортогональности этого состояния к $(1),$ имеем:

$$| \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle = \frac{1}{2} \,| \, \text{живой} \, \rangle - \frac{\sqrt{3}}{2} \,| \, \text{мертвый} \, \rangle \qquad (2)$$

Решив теперь $(1)$ и $(2)$ как систему уравнений относительно векторов состояния $| \, \text{живой} \, \rangle$ и $| \, \text{мертвый} \, \rangle,$ получаем:

$$| \, \text{живой} \, \rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}\, | \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle + \frac{1}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle \qquad (3) $$

$$| \, \text{мертвый} \, \rangle = \frac{1}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle - \frac{\sqrt{3}}{2} \, | \, \text{кот} \, \text{вне} \, \text{дома} \, \rangle \qquad (4) $$

Из $(4)$ видно, что искомая вероятность $W$ найти мёртвого кота вне дома равна $| -\sqrt{3} / 2|^2=3/4.$

Ответ: $W=\frac{3}{4}.$

Если в Вашем решении правую часть состояния

$$| \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle = \frac{\sqrt{3}}{2} \, | \, \text{живой} \, \rangle + \frac{1}{2} \, | \, \text{мертвый} \, \rangle \qquad (1)$$

умножить на произвольное комплексное число, то это никак не повлияет на условие

Цитата:

Пусть запертый в доме кот может быть обнаружен с вероятностью $3/4$ живым или с вероятностью $1/4$ мертвым.

Однако, тогда изменяться все коэффициенты в нижестоящих уравнениях, в результате вероятность обнаружения мёртвого кота вне дома, может быть любой и зависит от этого комплексного числа.
Квантовая механика, конечно, парадоксальная теория, но не до такой же степени. :)

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1257100 писал(а):

Однако, тогда изменяться все коэффициенты в нижестоящих уравнениях

Не изменятся.

[VASILISK11]

realeugene в сообщении #1257157 писал(а):

VASILISK11 в сообщении #1257100 писал(а):

Однако, тогда изменяться все коэффициенты в нижестоящих уравнениях

Не изменятся.

Изменятся, потому что неправильно было применено условие нормировки - отдельно для уравнения (1) и отдельно для уравнения (2). В то время, как надо нормировать сумму квадратов всех четырёх коэффициентов, а не отдельно две пары.

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1257163 писал(а):

В то время, как надо нормировать сумму квадратов всех четырёх коэффициентов, а не отдельно две пары.

Нет, нормируется волновая функция каждого состояния независимо.

[VASILISK11]

realeugene в сообщении #1257168 писал(а):

VASILISK11 в сообщении #1257163 писал(а):

В то время, как надо нормировать сумму квадратов всех четырёх коэффициентов, а не отдельно две пары.

Нет, нормируется волновая функция каждого состояния независимо.

Внутри дома вероятность обнаружить кота единица (уравнение (1)), и снаружи дома вероятность обнаружить того же кота единица (уравнение (2)). Наблюдателю нужно меньше пить, чтобы не двоилось в глазах. :)

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1257199 писал(а):

Внутри дома вероятность обнаружить кота единица (уравнение (1)), и снаружи дома вероятность обнаружить того же кота единица (уравнение (2)). Наблюдателю нужно меньше пить, чтобы не двоилось в глазах. :)

А вам нужно меньше шутить и больше читать учебников. Для любого чистого состояния существует наблюдаемая, для которой это чистое состояние является собственным. Как простейший пример - проектор на это чистое состояние. Проводя измерение этой наблюдаемой у системы в этом состоянии вы получите определённый результат с вероятностью 1. В частности, вероятность того, что кот дома, когда кот находится в состоянии $| \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle $, равна единице. Аналогично и для кота на улице, но для своего состояния кота. И эти два состояния ортогональны. И это может быть одна и та же наблюдаемая.

[amon]

VASILISK11 в сообщении #1257199 писал(а):

Внутри дома вероятность обнаружить кота единица (уравнение (1)), и снаружи дома вероятность обнаружить того же кота единица (уравнение (2)). Наблюдателю нужно меньше пить, чтобы не двоилось в глазах. :)

Читателю надо чуть-чуть подумать прежде чем по клавишам стучать. Уравнение (1) означает, что при условии, что кот дома (фиксировано состояние "кот дома") его состояние "кот дома" определяет вероятности найти его в состояниях "мертвый" и "живой" что и демонстрирует уравнение (1). При этом состояния "положения" и "существования" одновременно неизмеримы.

[VASILISK11]

realeugene в сообщении #1257209 писал(а):

Для любого чистого состояния существует наблюдаемая, для которой это чистое состояние является собственным. Как простейший пример - проектор на это чистое состояние. Проводя измерение этой наблюдаемой у системы в этом состоянии вы получите определённый результат с вероятностью 1. В частности, вероятность того, что кот дома, когда кот находится в состоянии $| \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle $, равна единице. Аналогично и для кота на улице, но для своего состояния кота. И эти два состояния ортогональны. И это может быть одна и та же наблюдаемая.

Вот именно - всё зависит от того, как именно настроен измерительный прибор. Если он настроен только на измерение нахождения кота внутри дома - одна нормировка, снаружи дома - другая, одновременно внутри и снаружи - третья. В нашем случае правильной есть именно третья нормировка.

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1257222 писал(а):

Если он настроен только на измерение нахождения кота внутри дома - одна нормировка, снаружи дома - другая, одновременно внутри и снаружи - третья.

Чего-чего? Вы учебники по квантам, вообще, в жизни читали?

[Cos(x-pi/2)]

VASILISK11

Уважаемые amon и realeugene ответили Вам всё совершенно правильно.

Но Вы не врубаетесь в простой факт: вероятность события определяется только при указании конкретных условий - в конкретном заданном квантовом состоянии.

Посмотрите ещё раз внимательно на левую часть равенства (1): там указано квантовое состояние $| \, \text{кот} \, \text{дома} \, \rangle $ - это состояние, в котором кот заведомо находится дома. Естественно, если кот заведомо находится дома, то вероятность найти его дома равна $1.$ Что тут непонятного-то?

Равенством (2) описывается другое состояние - в котором кот заведомо находится вне дома. Какова вероятность найти его вне дома при условии, что он заведомо находится вне дома? Естественно, она равна единице.

(Если у Вас такие непонятки с нормировкой, то, похоже, Вы ещё не освоили даже азов КМ: не понимаете смысл векторов состояния, не владеете понятием размерности пространства состояний).

[VASILISK11]

Извиняюсь, был не прав.

[VASILISK11]

Можете пинать меня сколько угодно, но не могу молчать. :)
Нет никакой разницы между понятиями "внутри дома-снаружи дома" и "левая половина дома-правая половина дома". От того, что кот проходит через дырку в двери, его поляризация не может изменится.
Заменим "кота" на "однофотонное состояние", "мёртвый" на "вертикальная поляризация", "живой" на "горизонтальная поляризация". Если "однофотонное состояние" проходит через полупрозрачное зеркало, то поляризация прошедшего луча (внутри дома) никак не отличается от поляризации отраженного луча (снаружи дома).
По-видимому, ошибка здесь:

Цитата:

Как известно, физический смысл ортогональности базисных состояний в КМ заключается в том, что базисные состояния описывают альтернативные состояния объекта, ибо условие ортогональности $\langle a|b \rangle = 0$ означает, что амплитуда вероятности обнаружить объект в состоянии $a,$ если его состояние есть $b,$ равна нулю.

В задаче нет никакой связи поляризации состояния с его расположением, поэтому понятия "внутри дома" и "снаружи дома" нельзя рассматривать как альтернативные, потому что, с точки зрения измерения поляризации, они не различимы.