3-я космическая. Опять 4 разных ответа.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1252067 писал(а):

Энергия Земли мне не нужна (я считаю ее неизменной вследствие запуска корабля). Мне нужно правильно записать энергию корабля при переходе из одной системы в другую.

Возможно, но пишете Вы нечто странное. Причем, поскольку не объясняете соображения, которыми руководствуетесь, понять, что происходит, затруднительно.

[Uchitel'_istorii]

Геоцентрическая система -- это система центра масс. В ней кинетическая энергия корабля определяется привычным способом $\tfrac{m(v_\text{in CM})^2}{2}$, в остальных системах отсчета кинетическая энергия корабля определяется из теоремы Кенига, а не скоростью в этой системе (и в этом ошибка решения МИФИ). Зная кинетическую энергию в новой системе, можно записать закон сохранения энергии для корабля в этой новой системе (энергию остальных объектов считаю неизменной), что и было сделано тут post1251955.html#p1251955 , но ответ опять не сошелся.

[Pphantom]

Давайте сделаем так. Сформулируйте теорему Кенига (непосредственно, без ссылки на очередную задачу у Фейнмана) и расшифруйте обозначения.

[Uchitel'_istorii]

Теорема Кенига: полная кинетическая энергия тел в какой-либо системе равна сумме полной кинетической энергии в системе центра масс и произведения массы системы на квадрат скорости центра масс на $1/2$.
$T = T_\text{CM} + \tfrac{1}{2}(\Sigma m_i){V_\text{CM}}^2$,
$T $ -- полная кинетическая энергия тел в некоторой системе координат XYZ;
$T_\text{CM}$ -- полная кинетическая энергия этих тел в системе центра масс;
$V_\text{CM}$ -- скорость центра масс в системе XYZ;
$\Sigma m_i$ -- сумма масс тел.

[Pphantom]

Хорошо. Теперь следующий вопрос - что Вы хотите считать "системой тел"?

Если в предыдущем ответе появится Земля, то сразу два дополнительных вопроса. Во-первых, зачем Вы ее туда включили? Во-вторых, с какой точностью при этом можно будет вычислить скорость малого тела?

[Uchitel'_istorii]

Я использовал 2 системы координат:
1) система, связанная с центром Земли и
2) система, в которой Земля движется со своей орбитальной скоростью $v_\odot_1$.
Земля включена для удобства, т.к. в задаче надо найти скорость относительно Земли. Вообще говоря, центр масс системы Земля - корабль должен удаляться от центра Земли со скоростью $\tfrac{mv_\oplus_3}{m+M_\text{earth}}$, т.о. в системе центра масс Земля движется со скоростью $-\tfrac{mv_\oplus_3}{m+M_\text{earth}}$, а корабль $v_\oplus_3 -\tfrac{mv_\oplus_3}{m+M_\text{earth}}$.Но т.к. $m << M_\text{earth}$, я считаю центр масс системы "Земля - корабль" совпадающим с центром Земли, а систему координат, связанную с центром масс Земли и корабля -- системой, связанной с центром Земли. Т.е.$\tfrac{mv_\oplus_3}{m+M_\text{earth}} \approx 0, $v_\oplus_3 -\tfrac{mv_\oplus_3}{m+M_\text{earth}}\approx v_\oplus_3.

Pphantom в сообщении #1252112 писал(а):

Я спрашивал про "систему тел", а не про систему координат.

Да, в систему центра масс включено 2 тела: Земля и корабль. Но т.к. скорость Земли нулевая, то кинетическая энергия Земли также нулевая.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1252109 писал(а):

Я использовал 2 системы координат:

Я спрашивал про "систему тел", а не про систему координат.

Uchitel'_istorii в сообщении #1252109 писал(а):

Земля включена для удобства

И в чем же состоит удобство? Вы понимаете, что при посчете суммарной кинетической энергии Земли вместе с кораблем последующее извлечение из этих вычислений скорости корабля может дать практически любой результат?

[ludwig51]

Uchitel'_istorii в сообщении #1252067 писал(а):

Мне нужно правильно записать энергию корабля при переходе из одной системы в другую.

Попробуйте решить задачу в системе Солнца по законам Ньютона.
В ходе решения вы получите законы сохранения энергии.
Для упрощения решения запускайте Землю с Солнца по прямой. При достижении Землёй 1 а.е. запускайте ракету с Земли в том же направлении.
Подсказка для начала.
$r_1$ текущее расстояние от Солнца до Земли
$r_2$ текущее расстояние от Солнца до ракеты
На ракету действуют две силы.
$m\ddot{r}_2=-\gamma (\frac{mM_{\text{C}}}{r_2^2}+\frac{mM_{\text{З}}}{(r_2-r_1)^2})$
Это уравнение надо проинтегрировать по $dr_2$ и учесть начальные условия на момент запуска ракеты.

[Uchitel'_istorii]

\gamma = G = 6.673 \cdot 10^{-11} \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}


\begin{align*} \tfrac{dv_2}{dt} &=-\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2})\\ \tfrac{dv_2 }{dt } \tfrac{dr_2}{dr_2}&=-\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2})\\ \tfrac{dv_2 }{dr_2}v_2 &=-\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2})\\ v_2 dv_2 &= -\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2}) dr_2\end{align*}
\textstyle \int _{v_\text{I}}^{v_\text{II}} v_2 dv_2 = \textstyle\int _{R_\text{I}}^{R_\text{II}} -\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2}) dr_2
т.к. $(r_2-r_1)=R_\text{З}=\text{const}:
\tfrac{{v_\text{II}}^2}{2} - \tfrac{{v_\text{I}}^2}{2}= - \gamma (\tfrac{-M_\text{C}}{R_\text{II}} - \tfrac{-M_\text{C}}{R_\text{I}} + \tfrac{M_\text{З}}{{R_\text{З}}^2}(R_\text{II}-R_\text{I}))
Отсюда закон сохранения на участке $r_2 \leq 1 \text{ AU}:
\tfrac{{v_2}^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_2} + \gamma\tfrac{M_\text{З}}{{R_\text{З}}^2}r_2= \text{const}_1
Из-за 3-го члена сумма при $r_2 = 1 \text{ AU} получается позитивной, следовательно не может обращаться в ноль на бесконечности.



\textstyle \int _{v_\text{II}+?}^{v_\infty} v_2 dv_2 = \textstyle\int _{R_\text{II}}^{\infty} -\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2}) dr_2
т.к. $r_1=R_\text{C-З}=\text{const}:
\tfrac{{v_\infty}^2}{2} - \tfrac{(v_\text{II}+?)^2}{2}= - \gamma (\tfrac{-M_\text{C}}{\infty} - \tfrac{-M_\text{C}}{R_\text{II}} + \tfrac{M_\text{З}}{R_\text{C-З} - \infty} - \tfrac{M_\text{З}}{R_\text{C-З} - R_\text{II}})
Закон сохранения на участке $r_2 > 1 \text{ AU}:
\tfrac{{v_2}^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{r_2} + \gamma\tfrac{M_\text{З}}{R_\text{C-З} - r_2}= \text{const}_2

Что делать дальше, не знаю. Решал в лоб. Теперь нужны, как я понимаю, какие-то неочевидные умозаключения.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1254040 писал(а):

\begin{align*} \tfrac{dv_2}{dt} &=-\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2})\\ \tfrac{dv_2 }{dt } \tfrac{dr_2}{dr_2}&=-\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2})\\ \tfrac{dv_2 }{dr_2}v_2 &=-\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2})\\ v_2 dv_2 &= -\gamma (\tfrac{M_\text{C}}{r_2^2} +\tfrac{M_\text{З}}{(r_2-r_1)^2}) dr_2\end{align*}

Если под $v_2$ понимается вектор, то правые части равенств также должны быть векторами. Если под $v_2$ понимается модуль вектора, то это все полностью неверно: $dr_2/dt \ne v_2$, что проще всего осознать, рассмотрев движение по круговой орбите. Аналогично и $dv_2/dt$ - не модуль полного ускорения.

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1254047 писал(а):

Если под $v_2$ понимается вектор, то правые части равенств также должны быть векторами. Если под $v_2$ понимается модуль вектора, то это все полностью неверно: $dr_2/dt \ne v_2$, что проще всего осознать, рассмотрев движение по круговой орбите. Аналогично и $dv_2/dt$ - не модуль полного ускорения.

ludwig51 писал, что запускаем по прямой (т.е. радиально). Следовательно векторы равны модулям.
Но в интервале скорее всего нельзя так записывать уравнение движения, т.к. на корабль действует еще сила реакции.

В интервале , если принять r_2 = R_\text{C-З} + R_\text{З} , имеем:
\tfrac{{v_2}^2}{2} - \gamma\tfrac{M_\text{C}}{R_\text{C-З} + R_\text{З}} - \gamma\tfrac{M_\text{З}}{R_\text{З}}= 0
$v_2 = \sqrt{ 2(\gamma\tfrac{M_\text{C}}{R_\text{C-З} + R_\text{З}} + \gamma\tfrac{M_\text{З}}{R_\text{З}})}
$v_2 = 43,6 \text{ km/sec} \neq 46,6 \text{ km/sec}

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1254055 писал(а):

ludwig51 писал, что запускаем по прямой (т.е. радиально). Следовательно векторы равны модулям.

Хорошо, но почему тогда предполагается, что полученный ответ должен совпасть с чем-то предыдущим?

-- 08.10.2017, 14:01 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1254056 писал(а):

т.к. на корабль действует еще сила реакции.

Сила реакции чего?

[Uchitel'_istorii]

Pphantom в сообщении #1254057 писал(а):

Хорошо, но почему тогда предполагается, что полученный ответ должен совпасть с чем-то предыдущим?

Хотелось получить хотя бы одно независимое решение, которое подтвердит результат. О том, что ответы должны совпадать, Вы согласились тут post1252051.html#p1252051 .

Цитата:

Сила реакции чего?

Пока корабль не взлетел, он взаимодействует с Землей, следовательно есть сила с боку Земли.

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1254064 писал(а):

Хотелось получить хотя бы одно независимое решение, которое подтвердит результат.

Эм... а то, что Вы решаете другую задачу, Вас не смущает?

Uchitel'_istorii в сообщении #1254064 писал(а):

Пока корабль не взлетел, он взаимодействует с Землей, следовательно есть сила с боку Земли.

[ludwig51]

Uchitel'_istorii в сообщении #1254040 писал(а):

$(r_2-r_1)=R_\text{З}=\operatorname{const}

Откуда это следует?
При радиальном старте с Солнца на расстоянии 1 а.е. скорость Земли относительно Солнца $V_L=30\,{\text{км/сек}}$
Скорость ракеты относительно Солнца $V_{\text{р}}=V_L+V_0$.
$V_0$ модуль скорости ракеты при старте с Земли относительно Земли.
Все данные - модули. Векторов нет. Движение по одной линии.

И в выводах интергалы надо брать неопределённые. И из начальных условий определять постоянную интегрирования. В общем виде вам ещё неизвестна конечная цель ракеты.
Попробуйте повторить интегрирование.
Вы получите формулу зависимости скорости ракеты от $r_1$, $r_2$ и $V_0$.
Из этой формулы вы получаете значение скорости ракеты при старте с Земли, учитывая постановку вашей задачи.
В условиях вашей задачи известна скорость ракеты в бесконечности относительно Солнца.
То есть в вашу конечную формулу вы подставляете заданные условия. И учитываете, что $r_1=0$, $r_2=\infty$ в бесконечности. Земля возвращается обратно к Солнцу.

Такое решение проще, чем решение при движении по орбите.
Вторая космическая скорость не зависит от направления запуска. От направления запуска зависит траектория движения.