Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

VAL в сообщении #1251936 писал(а):

PS: Желающие пораньше увидеть остальные решения могут ускорить их появление своими комментариями.

Что-то желающих не наблюдается.
Но коль уж обещал...

[VAL]

Завершаю публикацию решений ММ224.

[rockclimber]

А еще такой вопрос. Допустим, решаю я задачу. И решение задачи приводит меня к тому, что задача сводится к другой задаче, причем не факт еще, что это в принципе правильное направление и что я не зайду в тупик. Могу ли я задавать вопросы в ПРР об этой подзадаче (не указывая при этом, зачем она мне нужна)? Будет ли это нечестным? Чтобы немного конкретизировать, представим, что у меня появилась такая подзадача во время текущего марафона: "при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом". Если вопрос будет поставлен как "где про это можно почитать" - это допустимо?

VAL в сообщении #1250136 писал(а):

Сейчас исправился.
И Вы исправляйтесь!

Я, похоже, неисправим
Весь июнь искал новую няню для ребенка, потом надо было с отпуском что-то решить, потом, по возвращении, хозяйка квартиры, которую мы снимаем, обрадовала, что квартиру продает и надо куда-то съехать. В общем, на сайтах по поиску недвижимости я трачу гораздо больше времени, чем на решение олимпиадных задач Есть пара идей, как решить еще одну задачу, но на этом я закончу. В следующем году отыграюсь

-- 04.10.2017, 14:06 --

VAL в сообщении #1246380 писал(а):

Особенно огорчает исчезновение марафонцев со стажем, таких как Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин...

Может, задачи им показались слишком простыми? По моим ощущениям, в предыдущие годы задачи были такие, что я хорошо если 1 - 2 смогу решить частично, а в этом году несколько задач кажутся вполне решаемыми, и плюс две из уже разобранных (которые я даже не пробовал решать) не требуют для решения ничего, что я не знаю. То есть уровень ниже существенно.

VAL в сообщении #1246380 писал(а):

ММ221
Более интересен вопрос: существуют ли решения, не попавшие в найденную серию. Но ответа на этот вопрос я не знаю.

А есть какой-то общий способ решения таких задач?

VAL в сообщении #1246380 писал(а):

Теперь вот думаю, где бы мне еще зарегистрироваться.

Попробуйте на програмистских форумах поискать.

[VAL]

rockclimber в сообщении #1252989 писал(а):

А еще такой вопрос. Допустим, решаю я задачу. И решение задачи приводит меня к тому, что задача сводится к другой задаче, причем не факт еще, что это в принципе правильное направление и что я не зайду в тупик. Могу ли я задавать вопросы в ПРР об этой подзадаче (не указывая при этом, зачем она мне нужна)? Будет ли это нечестным? Чтобы немного конкретизировать, представим, что у меня появилась такая подзадача во время текущего марафона: "при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом". Если вопрос будет поставлен как "где про это можно почитать" - это допустимо?

Думаю, такой подход тем допустимее, чем менее очевидна связь задаваемых вопросов с исходной задачей.

Что касается конкретного вопроса, то общие методы решения диофантовых уравнений второго порядка от двух переменных известны. В интернете даже есть он-лайн солверы для них.
Хотя в данном конкретном случае я бы ограничился рассмотрением приведенного выражения по модулю 4.

Цитата:

Весь июнь искал новую няню для ребенка, потом надо было с отпуском что-то решить, потом, по возвращении, хозяйка квартиры, которую мы снимаем, обрадовала, что квартиру продает и надо куда-то съехать. В общем, на сайтах по поиску недвижимости я трачу гораздо больше времени, чем на решение олимпиадных задач Есть пара идей, как решить еще одну задачу, но на этом я закончу. В следующем году отыграюсь

Надеюсь. Главное успеть раньше последнего куплета

Цитата:

VAL в сообщении #1246380 писал(а):

Особенно огорчает исчезновение марафонцев со стажем, таких как Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин...

Может, задачи им показались слишком простыми?

Уверен, что причина не в этом.
А в чем? Не знаю... Возможно, она озвучена выше.

Цитата:

VAL в сообщении #1246380 писал(а):

ММ221
Более интересен вопрос: существуют ли решения, не попавшие в найденную серию. Но ответа на этот вопрос я не знаю.

А есть какой-то общий способ решения таких задач?

Врпрос не ко мне. Если бы я знал такой метод, то знал бы и ответ на вопрос о существовании других решений.

Цитата:

VAL в сообщении #1246380 писал(а):

Теперь вот думаю, где бы мне еще зарегистрироваться.

Попробуйте на програмистских форумах поискать.

Не думаю, что там более заинтересованная публика, чем в специализированной группе на FB.
Возможно, участники этой группы и заинтересовались бы Марафоном, просто, как выясняется, моего анонса практически никто из них не видел. Оказывается, господин Цукерберг по каким-то лишь ему известным критериям определяет, что будет интересно участникам группы. Сообщение про Марафон таковым признано не было.
В следующий раз я попробую перехитрить Марка Эдуардовича (если FB к тому времени не прикроют).

[rockclimber]

rockclimber в сообщении #1252989 писал(а):

при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом

До меня дошло, как это решать!!! Очень просто, оказывается...

[Masik]

rockclimber в сообщении #1253224 писал(а):

Цитата:

при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом

До меня дошло, как это решать!!! Очень просто, оказывается...

Не хочу показаться невежливым, но VAL дал точные указания. По модулю 4 рассматриваемое выражение может быть равно либо 2, либо 3, поэтому точным квадратом не будет никогда.

[rockclimber]

Masik в сообщении #1253233 писал(а):

rockclimber в сообщении #1253224 писал(а):

Цитата:

при каких целых значениях $x$ выражение $5x^2 -12x +666$ будет полным квадратом

До меня дошло, как это решать!!! Очень просто, оказывается...

Не хочу показаться невежливым, но VAL дал точные указания. По модулю 4 рассматриваемое выражение может быть равно либо 2, либо 3, поэтому точным квадратом не будет никогда.

Я, как настоящий конспиратор, привел с потолка взятые коэффициенты. В реально появившемся у меня полиноме числа другие, и вот с ними все решается просто на отлично. Так что все нормально.

[VAL]

===========ММ225===============

ММ225 (6 баллов)

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $(2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0$ имеет два целых корня.

Решение

Участники порадовали разнообразием подходов. Поэтому вновь приведу все решения. (Но опять-таки не все сразу.)

(Решение Дмитрия Курашкина)

Обозначим целые корни $x_1$ и $x_2$. Тогда уравнение в общем виде должно выглядеть так:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$

Приведем уравнение из условия к такому виду, поделив обе части на $(2a+3)$:

$x^2 + x \cdot \frac{a} {2a+3} + \frac{3a - 1}{2a+3} = 0$

Очевидно, что выражения $- \frac{a} {2a+3}$ и $\frac{3a - 1}{2a+3}$ должны быть целыми числами, так как они являются соответственно суммой и произведением корней. Обозначим их $z_1$ и $z_2$:

$z_1 = - \frac{a} {2a+3}$

$z_2 = \frac{3a - 1}{2a+3}$

Выразим $a$ через $z_1$ и подставим в выражение для $z_2$:

$a = - \frac{3z_1}{2z_1 + 1}$

$z_2 = \frac{11z_1 - 1}{3}$

Далее имеем:

$x_1 + x_2 = z_1$

$x_1 x_2 = z_2$

$x_1 = z_1 - x_2$

$(z_1 - x_2) x_2 =\frac{11z_1 - 1}{3}$

$3x_2^2 - 3 z_1 x_2 + 11z_1 -1 = 0$

Задача свелась к тому, что нужно найти такое целое значение $z_1$, чтобы получившееся уравнение имело целые корни.[/quote] Для этого необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения, равный $9z_1^2 - 132z_1 + 12$, был полным квадратом, то есть

$9z_1^2 - 132z_1 + 12 = n^2$, где $n$ - целое число. Далее имеем:

$(3z_1 -22)^2- 472 = n^2$

$(3z_1 -22)^2 = n^2 + 472$

Путем перебора найдены следующие пары квадратов (легко можно доказать, что число вариантов для перебора конечно и значения $n$ не превышают 237):

$61^2 = 57^2 + 472$

$119^2 = 117^2 + 472$

То есть $3z_1 - 22 = \pm 61$ или $3z_1 - 22 = \pm 119$. При этом $z_1$ должно быть целым, то есть решений всего два - $z_1 = -13$ и $z_1 = 47$, других решений нет. Соответствующие им значения $a = -\frac{13}{9}$ и $a = -\frac{47}{31}$.

Обсуждение

Участники окончательно преодолели отпускную расслабленность и вновь не допустили ошибок в решении. Так держать!
В отличие использованных подходов (и предыдущей задачи), ответы не отличались разнообразием.

Окончательная оценка Евгения Гужавина сложилась с учетом добавки за несколько решений и сбавки за использование он-лайн солвера при решении простых диофантовых уравнений.

Награды

За решение задачи ММ225 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - по 7;
Виктор Филимоненков, Владислав Франк, Олег Полубасов, Валентина Колыбасова, Владимир Дорофеев, Дмитрий Курашкин и Евгений Гужавин - по 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

PS: Желающие (если таковые найдутся) пораньше увидеть остальные решения могут ускорить их появление своими комментариями.

[rockclimber]

А можно вас (или участников) попросить сконвертировать решения в PDF? У меня мак, на маке в docx не видно формулы, только текст.

P. S. Решение Олега Полубасова понравилось. Я-то пока придумал решение (а до этого опробовал несколько тупиковых вариантов, а в процессе еще несколько раз ошибался и заходил в тупик) исписал мелким почерком листов 10 А4 с двух сторон

[VAL]

rockclimber в сообщении #1253868 писал(а):

А можно вас (или участников) попросить сконвертировать решения в PDF? У меня мак, на маке в docx не видно формулы, только текст.

Сконвертировал.

И привожу очередную порцию решений.

[VAL]

Завершаю публикацию решений ММ225

[rockclimber]

Вопрос по ММ226. Числа 1 и $n$ включаются в число натуральных делителей $n$? То есть число 4 имеет три делителя? Мне что-то казаться начало, что мое решение не такое уж и правильное.

[VAL]

rockclimber в сообщении #1254140 писал(а):

Вопрос по ММ226. Числа 1 и $n$ включаются в число натуральных делителей $n$?

Разумеется.

Цитата:

То есть число 4 имеет три делителя?

Да.

[VAL]

===========ММ226===============

ММ226 (5 баллов)

Назовем натуральное число $n$ счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель $n$ равен количеству натуральных делителей $n$.
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Владислава Франка и Евгения Гужавина.

Обсуждение

На ММ226 получено рекордное для нынешнего конкурса (хотя и скромное) количество ответов - 9. (Одно решение не оценено призовыми баллами.)

Поведаю небольшую мистическую историю случившуюся с ведущим при составлении этой задачи.
Нет, нет, инопланетяне меня не похищали. Но мне "удалось" показать, что счастливое число не может быть степенью простого. Я нашел поистине замечательное доказательство этого утверждения, но поля...
Впрочем, про поля - это все ля-ля тополя. Поля тут ни при чем. Просто "доказательство" было настолько простым, что я не стал его записывать, уверенный, что воспроизведу его в любой момент.
Однако я не смог сделать это уже через полтора месяца, по получении третьего ответа (до этого были один неверный и один - с известным мне числом $134^7$), являвшегося, к моему изумлению, степенью простого числа.

Награды

За решение задачи ММ226 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 9;
Анатолий Казмерчук - 8;
Евгений Гужавин - 7;
Владислав Франк и Владимир Дорофеев - по 6;
Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова, Дмитрий Курашкин и Тимофей Игнатьев - по 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла

[VAL]

Объяснительная

Обратите внимание на количество призовых баллов, начисленных Олегу Полубасову, за решение ММ226.
Вчерашние 5 превратились в 9.

События развивались так:
Когда, я дочитал решение Олега даже не до конца первой страницы, а только до слова "Ответ", мне позвонили и отвлекли достаточно надолго.
Может быть, оттого что меня прервали именно на этом слове, в голове отложилось, что есть только базовое решение и никаких обобщений. А поскольку вопросов к прочитанному не было, больше я к решению не возвращался.

Исправляю свой ляп, посыпаю голову пеплом и приношу свои извинения Олегу.
Быть более внимательным впредь не обещаю, ибо это не про меня. Но постараюсь.