Показатель Ляпунова

[pogulyat_vyshel]

1) В определении показателей Ляпунова есть нюансы, но якобианов (определителей то есть) та и близко не лежало. Вобщем определение посмотрите как следует.
2) Обычно в определении стоит не $\lim$,а $\limsup$. А когда существует предел -- это отдельная история

[dsge]

pogulyat_vyshel в сообщении #1250503 писал(а):

1) В определении показателей Ляпунова есть нюансы, но якобианов (определителей то есть) та и близко не лежало.

Конечно. Там стоит джикобиан
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobia ... eterminant
2-е предложение сверху.

[qwe8013]

pogulyat_vyshel
Я ничего про определители в последнем сообщении и не писал, там - собственные числа. Просто получается, что два собственных числа - равны 1, а третье зависит не от всех частных производных функции, а только от одной.

[pogulyat_vyshel]

тогда pardon я вас не так понял

[dsge]

qwe8013
Рассмотрите случай
$f=a x_{t-1}+b x_{t-2}+c x_{t-3}$.

[qwe8013]

dsge
Такая замена:
$ \begin{cases} y_t=x_{t-1}\\ z_t=y_{t-1}\\ x_t=ax_{t-1}+by_{t-1}+cz_{t-1} \end{cases} $
Матрица Якоби:
$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ a & b & c \end{pmatrix} $
Собственные значения: $1,1,c$.
Показатели Ляпунова: $0,0,\ln(c)$

-- 27.09.2017, 19:28 --

В принципе можно считать, что $y_t,z_t$ тоже являются функциями $f$ от предыдущих аргументов, тогда ставя нижнюю строку наверх получим:
$ J= \begin{pmatrix} a & b & c\\ 0 & a & b\\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} $
Собственные значения: $a,a,a$
Показатели Ляпунова: $\ln(a),\ln(a),\ln(a)$
Как всё-таки правильно?

[dsge]

qwe8013 в сообщении #1251299 писал(а):

Такая замена:

$\begin{cases} y_t=x_{t-1}\\ z_t=y_{t-1}\\ x_t=ax_{t-1}+by_{t-1}+cz_{t-1} \end{cases} $
Матрица Якоби:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ a & b & c \end{pmatrix} $

Путаница с порядком переменных.
В такой записи матрица Якоби должна быть:
$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1& 0 & 0\\ b & c& a \end{pmatrix}$

[qwe8013]

dsge
Да, действительно, проблема в порядке следования переменных. Вообще, самое очевидное - сделать в таком порядке:
$ \begin{cases} x_t=ax_{t-1}+by_{t-1}+cz_{t-1}\\ y_t=x_{t-1}\\ z_t=y_{t-1} \end{cases} $
тогда матрица Якоби имеет вид:
$ \begin{pmatrix} a & b & c\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $
и тут действительно три разных собственных значения.
Спасибо всем за ответы!

[qwe8013]

Чего-то я опять туплю! Вот у нас есть функция $f(x_{n-1},x_{n-2},x_{n-3})$. Решая уравнение $\det(\prod J-\lambda E)=0$, где $J$ - якобиан я получаю 3 собственных значения, взяв логарифм от которых я получаю 3 показателя Ляпунова. А как понять, какой из показателей какому аргументу функции соответствует?
И ещё, если собственное значение комплексное, надо брать вещественную часть от него, или как-то по другому?

[dsge]

qwe8013 в сообщении #1252391 писал(а):

А как понять, какой из показателей какому аргументу функции соответствует?

Никак не соответствует. Если обратиться опять к рассмотренному выше примеру с линейной функцией, то собственные значения будут соответствовать собственным векторам, т.е. новому базису, полученному при приведении матрицы к Жордановой форме. Исходные переменные будут линейными функциями новых переменных.

qwe8013 в сообщении #1252391 писал(а):

И ещё, если собственное значение комплексное, надо брать вещественную часть от него, или как-то по другому?

Если бы воспользоваться определением
http://dxdy.ru/post1240560.html#p1240560,
то таких проблем не возникнет, поскольку в этом случае надо искать собственные значения эрмитовой положительно-определенной матрицы.

[qwe8013]

dsge
Правильно ли я понял, что в формуле в http://dxdy.ru/post1240560.html#p1240560 штрих обозначает транспонирование (эрмитого сопряжение) и сначала находятся собственные числа, а потом к ним применяется предел с возведением в степень:$\lim\limits_{N\to\infty}(\text{собственное значение})^{\frac{1}{2N}}$?

[dsge]

qwe8013 в сообщении #1252558 писал(а):

штрих обозначает транспонирование (эрмитого сопряжение)

Да.

qwe8013 в сообщении #1252558 писал(а):

сначала находятся собственные числа, а потом к ним применяется предел с возведением в степень:$\lim\limits_{N\to\infty}(\text{собственное значение})^{\frac{1}{2N}}$?

Нет. Степень берется от матрицы.

[qwe8013]

И ещё, если ни один из показателей Ляпунова не соответствует какому-то конкретному аргументу функции, то что характеризуют несколько показателей Ляпунова? Что например можно сказать о системе, если один из показателей больше нуля, а другой - меньше?

[dsge]

Какие-то, очень близкие к данной траектории, точки отдаляются от траектории, а какие-то приближаются к ней.

[qwe8013]

Правильно ли я понял, собственные значения матрицы $\lim\limits_{N\to\infty}\left(\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)\cdot\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)^{*}\right)^{\frac{1}{2N}}$ будут совпадать с собственными значениями матрицы $\prod\limits_{n=0}^{N-1}\frac{df^N(x_0)}{dx_0}$ возведёнными в степень $\frac{1}{N}$ при $N\to\infty$?