Показатель Ляпунова

[qwe8013]

На сколько я понимаю, если есть последовательность $x_n=f(x_{n-1})$, то показатель Ляпунова рассчитывается так: $\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{N}\ln\left|\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right|$. А если $f$ зависит не только от $x_{n-1}$, а скажем и от $x_{n-2}$ тоже, как определяется показатель Ляпунова в таком случае?

[dsge]

Вводите вспомогательную переменную $y_{n}=x_{n-1}$, рассматриваете 2-мерную систему и заменяете в формуле производную на Якобиан (предел должен быть верхним).

[qwe8013]

Ясно, спасибо.

-- 06.08.2017, 08:43 --

Хотя я поторопился со словом "ясно", у меня же получается функция нескольких переменных, т.е. $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, какой там якобиан?

[Someone]

qwe8013 в сообщении #1238726 писал(а):

у меня же получается функция нескольких переменных, т.е. $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, какой там якобиан?

А $y$ куда делся? Для него же вторая функция нужна.

[qwe8013]

Цитата:

А $y$ куда делся? Для него же вторая функция нужна.

Так в том то и дело, что у меня есть одна функция $x_n=f(x_{n-1},x_{n-2})$ и мне нужно рассчитать показатель Ляпунова.

[svv]

Так dsge же объяснил:
$\begin{cases}x_n=f(x_{n-1}, y_{n-1})\\y_n=x_{n-1}\end{cases}$

[qwe8013]

Как я понимаю матрица Якоби должна выглядеть так:
$\begin{pmatrix} \frac{\partial x_n}{\partial x_{n-1}} & \frac{\partial x_n}{\partial x_{n-2}}\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

[dsge]

ОК.
Лучше вместо $x_n$ писать $f$; и логичнее производную в 1-й строке, во 2-м столбце писать по $y$.

[qwe8013]

Т.к. в показателе Ляпунова - Якобиан, то получается, что показатель Ляпунова не зависит от $\frac{\partial f}{x_{n-1}}$, или я чего-то путаю?

[Slav-27]

Почему же не зависит, если якобиан от неё зависит?

[qwe8013]

Так ведь определитель такой:
$ \begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} & \frac{\partial f}{\partial y_{n-1}}\\ 1 & 0 \end{vmatrix} =\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}\cdot 0-\frac{\partial f}{\partial y_{n-1}}\cdot 1=-\frac{\partial f}{\partial y_{n-1}} $
получается, что от $\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}$ не зависит.

[dsge]

Перемножьте два Якобиана с соседними временами и зависимость появится.

[qwe8013]

Да, чего-то об этом не подумал.

[dsge]

Не, вы правы, там все сокращается. В многомерном случае показатели Ляпунова определяются все же не так, а как логарифмы собственных чисел матрицы
$\lim\limits_{N\to\infty}\left(\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)\cdot\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)^{'}\right)^{\frac{1}{2N}}$,
где $\frac{df^N(x_0)}{dx_0}$ - Якобианы от композиций.

[qwe8013]

Подниму эту тему.
Если сделать, как здесь рекомендовали:
$ \begin{cases} y_n=x_{n-1}\\ z_n=y_{n-1}\\ x_n=f(x_{n-1},y_{n-1},z_{n-1}) \end{cases} $
Матрица Якоби получается такая:
$ J= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} & \frac{\partial f}{\partial x_{n-2}} & \frac{\partial f}{\partial x_{n-3}} \end{pmatrix} $
На сколько я понял, показатели Ляпунова $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ определяются следующим образом:
$e^{\lambda_i}=\lim\limits_{N\to\infty}(\text{собственное значение произведения}\prod\limits_{n=0}^{N-1}J(x_{n-1},x_{n-2},x_{n-3}))^{\frac{1}{N}}$
Здесь получается 3 собственных значения: две единицы и одно зависящее только от $\frac{\partial f}{\partial x_{n-3}}$
Получается, что показатель Ляпунова здесь один и зависит он только от $\frac{\partial f}{\partial x_{n-3}}$? Поправьте, если где-то ошибся.