2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение24.09.2017, 23:22 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
1) В определении показателей Ляпунова есть нюансы, но якобианов (определителей то есть) та и близко не лежало. Вобщем определение посмотрите как следует.
2) Обычно в определении стоит не $\lim$$\limsup$. А когда существует предел -- это отдельная история

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение24.09.2017, 23:32 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
pogulyat_vyshel в сообщении #1250503 писал(а):
1) В определении показателей Ляпунова есть нюансы, но якобианов (определителей то есть) та и близко не лежало.

Конечно. Там стоит джикобиан
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobia ... eterminant
2-е предложение сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение25.09.2017, 18:49 
Аватара пользователя


16/11/12
55
pogulyat_vyshel
Я ничего про определители в последнем сообщении и не писал, там - собственные числа. Просто получается, что два собственных числа - равны 1, а третье зависит не от всех частных производных функции, а только от одной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение26.09.2017, 09:36 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
тогда pardon я вас не так понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение26.09.2017, 19:59 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
qwe8013
Рассмотрите случай
$f=a x_{t-1}+b x_{t-2}+c x_{t-3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение27.09.2017, 19:11 
Аватара пользователя


16/11/12
55
dsge
Такая замена:
$
\begin{cases}
y_t=x_{t-1}\\
z_t=y_{t-1}\\
x_t=ax_{t-1}+by_{t-1}+cz_{t-1}
\end{cases}
$
Матрица Якоби:
$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
a & b & c
\end{pmatrix}
$
Собственные значения: $1,1,c$.
Показатели Ляпунова: $0,0,\ln(c)$

-- 27.09.2017, 19:28 --

В принципе можно считать, что $y_t,z_t$ тоже являются функциями $f$ от предыдущих аргументов, тогда ставя нижнюю строку наверх получим:
$
J=
\begin{pmatrix}
a & b & c\\
0 & a & b\\
0 & 0 & a
\end{pmatrix}
$
Собственные значения: $a,a,a$
Показатели Ляпунова: $\ln(a),\ln(a),\ln(a)$
Как всё-таки правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение27.09.2017, 21:17 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
qwe8013 в сообщении #1251299 писал(а):
Такая замена:

$\begin{cases}
y_t=x_{t-1}\\
z_t=y_{t-1}\\
x_t=ax_{t-1}+by_{t-1}+cz_{t-1}
\end{cases}
$
Матрица Якоби:

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
a & b & c
\end{pmatrix}
$

Путаница с порядком переменных.
В такой записи матрица Якоби должна быть:
$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1& 0 & 0\\


b & c& a
\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение27.09.2017, 21:51 
Аватара пользователя


16/11/12
55
dsge
Да, действительно, проблема в порядке следования переменных. Вообще, самое очевидное - сделать в таком порядке:
$
\begin{cases}
x_t=ax_{t-1}+by_{t-1}+cz_{t-1}\\
y_t=x_{t-1}\\
z_t=y_{t-1}
\end{cases}
$
тогда матрица Якоби имеет вид:
$
\begin{pmatrix}
a & b & c\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$
и тут действительно три разных собственных значения.
Спасибо всем за ответы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение02.10.2017, 01:54 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Чего-то я опять туплю! Вот у нас есть функция $f(x_{n-1},x_{n-2},x_{n-3})$. Решая уравнение $\det(\prod J-\lambda E)=0$, где $J$ - якобиан я получаю 3 собственных значения, взяв логарифм от которых я получаю 3 показателя Ляпунова. А как понять, какой из показателей какому аргументу функции соответствует?
И ещё, если собственное значение комплексное, надо брать вещественную часть от него, или как-то по другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение02.10.2017, 20:32 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
qwe8013 в сообщении #1252391 писал(а):
А как понять, какой из показателей какому аргументу функции соответствует?

Никак не соответствует. Если обратиться опять к рассмотренному выше примеру с линейной функцией, то собственные значения будут соответствовать собственным векторам, т.е. новому базису, полученному при приведении матрицы к Жордановой форме. Исходные переменные будут линейными функциями новых переменных.
qwe8013 в сообщении #1252391 писал(а):
И ещё, если собственное значение комплексное, надо брать вещественную часть от него, или как-то по другому?

Если бы воспользоваться определением
http://dxdy.ru/post1240560.html#p1240560,
то таких проблем не возникнет, поскольку в этом случае надо искать собственные значения эрмитовой положительно-определенной матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение02.10.2017, 21:03 
Аватара пользователя


16/11/12
55
dsge
Правильно ли я понял, что в формуле в http://dxdy.ru/post1240560.html#p1240560 штрих обозначает транспонирование (эрмитого сопряжение) и сначала находятся собственные числа, а потом к ним применяется предел с возведением в степень:$\lim\limits_{N\to\infty}(\text{собственное значение})^{\frac{1}{2N}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение02.10.2017, 21:08 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
qwe8013 в сообщении #1252558 писал(а):
штрих обозначает транспонирование (эрмитого сопряжение)

Да.
qwe8013 в сообщении #1252558 писал(а):
сначала находятся собственные числа, а потом к ним применяется предел с возведением в степень:$\lim\limits_{N\to\infty}(\text{собственное значение})^{\frac{1}{2N}}$?

Нет. Степень берется от матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение02.10.2017, 21:14 
Аватара пользователя


16/11/12
55
И ещё, если ни один из показателей Ляпунова не соответствует какому-то конкретному аргументу функции, то что характеризуют несколько показателей Ляпунова? Что например можно сказать о системе, если один из показателей больше нуля, а другой - меньше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение02.10.2017, 21:19 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Какие-то, очень близкие к данной траектории, точки отдаляются от траектории, а какие-то приближаются к ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение03.10.2017, 00:35 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Правильно ли я понял, собственные значения матрицы $\lim\limits_{N\to\infty}\left(\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)\cdot\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)^{*}\right)^{\frac{1}{2N}}$ будут совпадать с собственными значениями матрицы $\prod\limits_{n=0}^{N-1}\frac{df^N(x_0)}{dx_0}$ возведёнными в степень $\frac{1}{N}$ при $N\to\infty$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group