Найти потенциал цилиндра

[pbm]

Цитата:

Нас интересует $[-\frac 1 r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}]=0$. Упростите это, насколько возможно.

$[\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}]=0$

[svv]

Вот, Вы поняли, откуда это берётся.
Теперь: пусть индексы e и i обозначают предельные значения снаружи (external) и изнутри (internal). Тогда это можно записать
$\frac{\partial\varphi^e}{\partial\theta}-\frac{\partial\varphi^i}{\partial\theta}=0$
Как там в матане, разность производных равна производной разности или нет?

[pbm]

Цитата:

Как там в матане, разность производных равна производной разности или нет?

Да. Разность производных равна производной разности.

[svv]

И?

[pbm]

Цитата:

И?

$\frac{\partial(\varphi^e - \varphi^i)}{\partial\theta}=0$

[svv]

Верно. То есть $\frac{\partial}{\partial \theta}[\varphi]=0$.
И?

[pbm]

С данного утверждения следует, что $\left [\varphi \right] = \operatorname{const}$.

[svv]

Да! И это намного ценнее, чем первоначальная форма граничного условия.
Добавлю, что аналогично получается и $\frac{\partial}{\partial z}[\varphi]=0$.
Так что, если в какой-то точке на границе скачок потенциала равен $a$, то он в любой точке на границе равен $a$.

Идём дальше. Если к потенциалу добавить константу, как изменится электрическое поле?

[realeugene]

svv в сообщении #1252264 писал(а):

$\frac{\partial\varphi^e}{\partial\theta}-\frac{\partial\varphi^i}{\partial\theta}=0$

А это выражение нельзя было получить проще из непрерывности потенциала? Как равенство нулю производной от нуля?

[svv]

Мы выводим непрерывность потенциала.

[pbm]

Цитата:

Если к потенциалу добавить константу, как изменится электрическое поле?

Пусть $C$ данная константа. Тогда $E=- \operatorname{grad}(\varphi + C) = -\operatorname{grad}(\varphi)$. То есть поле не изменится.

[svv]

Вот. Теперь, если $[\varphi]=C$, попробуйте что-то сделать с внутренним потенциалом, не нарушив поля, чтобы это условие стало ещё проще. Потом объясните, что Вы сделали.

[realeugene]

svv в сообщении #1252274 писал(а):

Мы выводим непрерывность потенциала.

А зачем это делать для частного случая цилиндра, если потенциал непрерывен в окрестности любой поверхности с конечной поверхностной плотностью заряда? И с каким уровнем строгости вы хотите это доказать? В конце концов, существование предельных внешнего и внутреннего потенциалов вы тоже ещё не доказали.

[pbm]

Нам нужно, чтобы $[\varphi]=0$. Для этого нужно, чтобы потенциал изнутри $ \varphi^{i} = C$. Тогда $\varphi^{e} -\varphi^{i}= 0 $

[svv]

realeugene в сообщении #1252278 писал(а):

потенциал непрерывен в окрестности любой поверхности с конечной поверхностной плотностью заряда

Это известно нам с Вами, но не ТС. Он знает только, что непрерывна тангенциальная составляющая электрического поля. Если бы он написал в ответ на мой вопрос,

svv в сообщении #1252156 писал(а):

понадобятся условия на потенциал на границе внутренней и внешней области (что непрерывно? что имеет скачок? какой скачок?)

, что потенциал непрерывен, то я бы не считал, что требуется ещё какой-то вывод.

-- Вс окт 01, 2017 18:41:33 --

pbm в сообщении #1252280 писал(а):

Нам нужно, чтобы $[\varphi]=0$. Для этого нужно, чтобы потенциал изнутри $ \varphi^{i} = C$. Тогда $\varphi^{e} -\varphi^{i}= 0 $

Нет. Вы требуете от потенциала слишком многого. Он может сказать Вам: «Извините, но константой я быть не могу».

Смотрите: Вы идёте вдоль границы. В общем случае оба потенциала как-то меняются, но внешний всегда на 42 единицы больше внутреннего. Нельзя полагать потенциал равным константе. Можно, как мы выяснили, добавлять константу. Что хочется сделать с внутренним потенциалом?