Геодезическая на конусе

[Degen1103]

Хм... создал вторую кривую разворотом первой на $30^o$ вокруг оси конуса... вроде бы не выходит эквидистанта...
Правда, измеряется кратчайшее расстояние, по поверхности пока не проверял, но разница большая...

[arseniiv]

Про развёртки уже боюсь напоминать — о них столько раз говорили, что могут осознать себя, зарегистрироваться на форуме и что-то страшное учинить. На развёрнутом цилиндре или конусе их геодезические выглядят как прямые, так что если расстояние между точками, кривыми и другими множествами измеряется обычным способом по отрезкам кратчайших геодезических, две геодезические на конусе или цилиндре, отображаясь на развёртке прямыми, могут находиться на постоянном расстоянии друг от друга (т. е. каждая точка одной находится на одном и том же расстоянии от другой, и наоборот). Если и впрямь геодезические (как-то то, что на рисунке, не совсем похоже). Впрочем, надо аккуратно смотреть на область около самопересечения, а иначе это неверно.

[Degen1103]

На рисунке не геодезическая, а спираль с ускорением к малому диаметру



-- 12.09.2017, 06:55 --

Суть проблемы в том, что практически ленточки навиваются на конус по обычной цилиндрической винтовой линии постоянного шага, т.е. выходит как бы проекция. Вот они и сгущаются. Хотелось увеличить шаг пропорционально уменьшению диаметра.

[Munin]

Degen1103 в сообщении #1246631 писал(а):

Имеется усечённый конус с диаметрами $d_1, d_2$ и высотой $h$. На поверхность укладывается встык спиральная лента шириной $b$ так, что $Nb\cos\alpha_1 = \pi d_1$ и $Nb\cos\alpha_2 = \pi d_2$     ($N$ - целое, $\alpha$ - угол наклона касательной). Требуется полностью покрыть поверхность без нахлёстов, которые неизбежно возникают с уменьшением диаметра, если использовать винтовую линию постоянного шага либо, если верно понимаю, геодезическую.

Чем вас не устраивает вообще очевидное решение $\dfrac{Nb\cos\alpha}{\pi d}\equiv 1\quad\mathrm{const}$?
$\cos\alpha=\dfrac{\pi}{Nb}d=\dfrac{\pi}{Nb}\dfrac{(h-x)d_1+x\,d_2}{h}$

[arseniiv]

Degen1103 в сообщении #1247126 писал(а):

Вот они и сгущаются. Хотелось увеличить шаг пропорционально уменьшению диаметра.

Вам нужны геодезические или нет? Если да, тогда нельзя ничего просто «исправить» и остаться невиновным. Если нет, то тогда у вас они будут слетать, если трение недостаточно (как справедливо написано в той статье).

-- Вт сен 12, 2017 16:33:40 --

arseniiv в сообщении #1247205 писал(а):

нельзя ничего просто «исправить»

Кроме направления, конечно. Но, разумеется, никак не локально.

[Degen1103]

Спасибо, впечатляет! А x - осевая координата?
Конечно, под углом может соскальзывать, тут уж надо в разумных пределах...

[Munin]

Degen1103 в сообщении #1247280 писал(а):

$х$ - осевая координата?

Syntax Error - это, конечно, осевая координата.

Когда вы научитесь простейшие формулы писать??? За вами приходится прибирать как за маленьким!

[Degen1103]

Буквально разинув рот читал совершенно потрясающую статью Вульфа "Есть ли что-либо общее у кристаллов и растений?" в самом первом номере "Природы".

Не оставляет ощущение, что геометрия листорасположения с её парастихами очень тесно связана с вопросами спиральной намотки. Вульф, однако, Диофанта не поминает.