Математический анализ

[surfer]

Руст писал(а):

На самом деле в совремённых курсах диф.геометрии фактически дифференцирования (алгебра Ли дифференцирований) определяется аксиоматически, как линейные операторы удовлетворяющие правиле Лейбница для произведения.

Я думаю это делается чтоб легко ввести ковариантное дифференцирование векторных полей на многообразии.

[dmd]

AD писал(а):

А суть вашего замечания совершенно непонятна; ясно, что у вас в кармане какая-то (быть может, самодельная) мегатеория, которую, может быть, и стоит отдельно обсудить.

Эта теория была в кармане у Лагранжа, а также еще у двух-трех забытых математиков (см. Юшкевич "История математики" т.3. стр.282-291). Видимо не хватило некоторого дополнительного постулирования, чтобы она была положена в основания матана. Примерно следующего:
1) любая функция - полином; не существует функции, которая бы не являлась частным случаем некого полинома
2) любая переменная (и функция, и аргумент, и производная) рассматривается не как некое отображение, а только как изменение между двумя состояниями - начальным и конечным; любая переменная участвует в изложении в обоих своих состояниях - начальном и конечном - и соответственно обозначается
3) любой коэффициент при степени аргумента полинома функции является состоянием соответствующей производной; когда добираемся до изменения между двумя состояниями коэффициента - получаем полную форму соответствующей производной; то же относится к интегралам при обратных действиях

[ewert]

dmd писал(а):

1) любая функция - полином; не существует функции, которая бы не являлась частным случаем некого полинома

Вот это -- ключевой момент. И, в известном смысле, правильный: мы умеем считать только полиномы (т.е. только арифметические операции).

Но это соображение игнорирует ещё один момент, ещё более ключевой. Поскольку наше познание дискретно (== символьно), а окружающая нас действительность -- отнюдь, мы в каждый данный момент способны на лишь более или менее точное отражение этой действительности. Ну, например, полиномами.

А поскольку мы обязаны предусмотреть сколь угодное уточнение этих отражений, то приходится переходить к всевозможным пределам от тех "полиномов". Ну тут и возникают разные интересные функции. И ничего с этим не поделаешь.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

dmd писал(а):

1) любая функция - полином; не существует функции, которая бы не являлась частным случаем некого полинома

Вот это -- ключевой момент. И, в известном смысле, правильный: мы умеем считать только полиномы (т.е. только арифметические операции).

Ну, блин, зачем вот умные люди глупостями занимаются?..

Поясните, что значит "умеем считать". По возможности дайте точное определение.

[AD]

Думаю, фраза "мы умеем считать (полиномы и) только полиномы" верна как раз по определению понятия "умеем считать".

dmd, а вы сможете как следует это формализовать? Ну на таком уровне, на каком Дирихле объясняет, что такое функция. Ну вот эти ваши рассуждения про так-не-называемые "переменные" итп.
_________________

OZH, во, уже ближе.

OZH писал(а):

Матанализ --- это, если хотите, такой специальный раздел математики, где изучаются, как правило, вещественнозначные функции вещественного переменного.

Ну да, это первый пункт в списке интересов - теория функций действительных переменных. Обычно, все-таки, функции многих переменных тоже включаются в курсы матана.

OZH писал(а):

Основной язык матанализа --- это $\varepsilon-\delta$. Основное содержание --- исследование функций (убывает/возрастает, экстремумы и т.д. и т.п.).

Так. Ну раньше-то совсем всё по-другому было. Это, конечно, плохо, что раньше так было, но все-таки. Вот Эйлер там всякие ряды суммировал, гамма-функции изобретал.
_________________

В-общем, мне хочется примерно так грань провести. Скорее с "семинарской" точки зрения. Матанализ - это наука, исследующая элементарные функции. Когда кончаются элементарные функции и начинаются просто "какие-то" "безликие" функции - это получается уже теория функций. Хотя, конечно, тоже криво, но на то у нас и дискуссионный раздел.
_________________

А еще я как-то придумал называть раздел математики содержательным, если в нем присутствуют в большом количестве элементарные функции (быть может, под интегралами ). Скажем, математическая статистика - содержательный раздел. Там функция ошибок везде скачет, и всё время какие-то страшные выражения получают глубокий смысл.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Думаю, фраза "мы умеем считать (полиномы и) только полиномы" верна как раз по определению понятия "умеем считать".

Ну так приведите здесь это определение! Лично я не понимаю, о чём речь.

[AD]

Ну будем говорить, что мы умеем считать функцию $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, если эта функция --- полином.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Ну будем говорить, что мы умеем считать функцию $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, если эта функция --- полином.

Слиф защитан

Но, кстати, вопрос всё же интересный. Более-менее общепринятое понятие таково: уметь считать --- значит, иметь программу на машине Тьюринга, которая эти вычисления производит.

Правда, в рамках этого определения с действительными числами мы всё равно ничего сделать не можем, поскольку действительное число --- неконструктивный объект и конечной последовательностью символов его не задашь. Зато для рациональных чисел вычислимость на машине Тьюринга более чем подходит. А действительные числа можно сколь угодно точно приближать рациональными. Отсюда естественно возникают следующие определения:

Определение 1: Действительное число $r$ называется конструктивным, если существует вычислимая последовательность рациональных чисел $q_0,q_1, \ldots$, такая что $|q_n-r| < 1/(n+1)$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Определение 2: Функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется вычислимой, если для любого конструктивного числа $r$ по любой вычислимой последовательности $\{ q_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ со свойством $|q_n-r|<1/(n+1)$ можно эффективно найти вычислимую последовательность $\{ p_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ со свойством $|f(r)-p_n|<1/(n+1)$.

В рамках этих определений вычислимы далеко не только полиномы. Более того, некоторые функции, такие как экспонента, вычисляются очень быстро и считать их в отличие от полиномов не вычислимыми более чем глупо.

Зато есть воистину удивительный факт: каждая вычислимая функция непрерывна. В этом плане действительно стоит вспомнить о том, что все функции в природе также непрерывны

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Действительное число $r$ называется конструктивным, если существует вычислимая последовательность

Профессор Снэйп писал(а):

Функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется вычислимой, если для любого конструктивного числа $r$ по любой вычислимой последовательности

На всяк случай: то есть "вычислимая последовательность" определяется отдельно, да?

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Действительное число $r$ называется конструктивным, если существует вычислимая последовательность

Профессор Снэйп писал(а):

Функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется вычислимой, если для любого конструктивного числа $r$ по любой вычислимой последовательности

На всяк случай: то есть "вычислимая последовательность" определяется отдельно, да?

Так последовательность-то из рациональных чисел состоит! Так что отдельно, да. И определение тут естественное: последовательность $\{ q_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ называется вычислимой, если существует программа для машины Тьюринга, преобразующая запись числа $n$ в запись рационального числа $q_n$ (в виде "знак", "числитель", "знаменатель").

[AD]

... ага.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

... ага.

И что "ага"? Полиномы тут точно не при делах.

[AD]

Ну "ага" значит примерно следующее (через связку "и"):

1. Я понял определение.
2. Я готов поверить, что полиномы действительно не при делах.
3. Оффтоп кончаем

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

3. Оффтоп кончаем

Ну почему же оффтоп? Конструктивный анализ (изучающий вычислимые функции на конструктивных действительных числах) --- интересная тема. И в ветку хорошо вписывается, ибо близко к заявленной тематике.

[AD]

Ну не думаю, что средневзятый профессор кафедры матана вот этим занимается. Ну, ладно, если не верите, что это оффтоп, продолжайте.

Профессор Снэйп писал(а):

близко к заявленной тематике.

С его (конструктивного анализа) точки зрения - близко. С его (матана) точки зрения - не думаю. Скажем так, сложные отношения. Метрикой не описываются.
Что интересная тема - согласен, +1.