Математический анализ

[AD]

Математический анализ - это раздел математики или это лишь предмет такой?

Вот везде есть кафедры математического анализа. Что они преподают - примерно известно. Ну там дифференциальное и интегральное исчисление, итп. Есть еще такой старый добрый термин "анализ бесконечно малых".

А чем эти кафедры занимаются в науке? Как-то подошел к нашему* стенду кафедры матана - а там ... ну точно уж сейчас не помню (да и страничка в интернете куда-то делась ), но идея в том, что список научных интересов слишком напоминал список кафедр. Типа "кафедра всего". Да и название к этому подталкивает ...

Короче, давайте обсуждать.
_________________
* мехмат МГУ

[shwedka]

В шведском университете, где я присутствую, как и в большинстве других стран Европы и во многих университетах вне Европы имеется единый департамент математики, без дальнейшего административного деления. Есть неформальное выделение тематических групп, не обязательно диз'юнктных. В частности, есть группы вещественного анализа (включая фан, теорию оде и пде), комплексного анализа и численного анализа.
курсы, которые читаются студентам, называются по-шведски анализ 1,2, иногда 3, фан, оде, пде, комплексный анализ. Как я знаю, эти предметы, как правило, и составляют содержание групп анализа в мире.
Совсем иная история с предметом calculus, который обычно по миру читается в качестве ликбеза на низком уровне, без доказательств и тп.
Такое мы тоже преподаем биологам там, химикам, архитекторам....

[Профессор Снэйп]

А мне казалось, что матанализ --- это завершённая наука, что-то типа начертательной геометрии. Фундамент, база, которую все математики должны знать --- это бесспорно. Но каких-то новых открытий собственно в матане уже не случается. Всё, что можно было открыть, открыли десятки лет назад.

[Yarkin]

AD писал(а):

Короче, давайте обсуждать.

Заскучали.

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

А мне казалось, что матанализ --- это завершённая наука, что-то типа начертательной геометрии.

Да, вот примерно это меня и беспокоит.

shwedka писал(а):

курсы, которые читаются студентам, называются по-шведски анализ 1,2, иногда 3,

Вот, то есть здесь тоже понятно, что это именно предметы, да? Вроде бы, говорят, у нас так тоже раньше было. Ну вот Колмогоров героически решил начинать курс "анализ-3" с введения в теорию множеств.

P.S.

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Короче, давайте обсуждать.

Заскучали.

Нет, просто я, в отличие от вас, не начинаю разговор словами типа "ПРЕДИСЛОВИЕ. ", "§1. История вопроса. ", и т. д.

[Yarkin]

AD писал(а):

Нет, просто я, в отличие от вас, не начинаю разговор словами типа "ПРЕДИСЛОВИЕ. ", "§1. История вопроса. ", и т. д.

А зря. Без истории прихода к нынешнему состоянию, обсуждение может оказаться не объективным.

[AD]

Yarkin писал(а):

А зря. Без истории прихода к нынешнему состоянию, обсуждение может оказаться не объективным.

Кошмар какой ...

P.S. Это еще вопрос, кто из нас заскучал ...

[dmd]

Мат. анализ может и дожен быть (должен был быть) построен без бесконечно малых и теории множеств, а на основе алгебраического анализа полиномов. Ибо Природа дышит "полиномиально". Здесь еще есть что обсуждать.

[AD]

dmd писал(а):

Мат. анализ может и дожен быть (должен был быть) построен без бесконечно малых и теории множеств, а на основе алгебраического анализа полиномов. Ибо Природа дышит "полиномиально". Здесь еще есть что обсуждать.

Вспоминается история с теоремой Ролля. Ну типа Ролль доказал важную теорему дифференциального исчисления, будучи ярым противником последнего. Он формулировал эту теорему примерно в виде "между любыми двумя корнями многочлена $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ есть хотя бы один корень многочлена $p'(x)\buildrel \tiny{\mathrm{def}}\over=na_nx^{n-1}+\cdots+a_1$"

А суть вашего замечания совершенно непонятна; ясно, что у вас в кармане какая-то (быть может, самодельная) мегатеория, которую, может быть, и стоит отдельно обсудить.

[Алексей К.]

dmd писал(а):

Мат. анализ может и дожен быть (должен был быть) построен без бесконечно малых и теории множеств, а на основе алгебраического анализа полиномов.

AD писал(а):

А суть вашего замечания совершенно непонятна; ясно, что у вас в кармане какая-то (быть может, самодельная) мегатеория,

Позволю себе предположить, что речь шла всего лишь о том, что ища (в школе) производные от синуса, ехпоненты, мы всё равно сводим это к бесконечно знакомым полиномиальным штукам (надо бы проверить, но опять ночь на дворе, лишние усилия не в жилу... sorry).
Позволю себе предположить, что ничего "мега" dmd не имел в виду; это у нас от увлечения яркинизмами...

[Профессор Снэйп]

dmd писал(а):

Мат. анализ может и дожен быть (должен был быть) построен без бесконечно малых и теории множеств, а на основе алгебраического анализа полиномов. Ибо Природа дышит "полиномиально". Здесь еще есть что обсуждать.

Вот уж не знаю, чем она там "дышит". Но зато меня бесконечно удивляют люди, которые во что бы то ни стало стремятся отказаться от воистину красивых, верных и приносящих много пользы вещей, которые даёт нам теория множеств и анализ бесконечно малых. Зачем это? Иначе как внутренне присущей человеку вредностью я такое стремление объяснить не могу.

[Руст]

Профессор Снэйп писал(а):

Вот уж не знаю, чем она там "дышит". Но зато меня бесконечно удивляют люди, которые во что бы то ни стало стремятся отказаться от воистину красивых, верных и приносящих много пользы вещей, которые даёт нам теория множеств и анализ бесконечно малых. Зачем это? Иначе как внутренне присущей человеку вредностью я такое стремление объяснить не могу.

На самом деле в совремённых курсах диф.геометрии фактически дифференцирования (алгебра Ли дифференцирований) определяется аксиоматически, как линейные операторы удовлетворяющие правиле Лейбница для произведения. Я как то обобщил эту конструкцию так, что все встречающиеся непрерывные структуры (типа топологий, гладких структур и т.д.) определяются двойственным образом к алгебраическим структурам. Упрощённно говоря алгебраическая структура на категории множеств определяется заданием для каждого элемента (объекта) Х множеством отображений из элементов некоторой маленькой подкатегории. Для простоты рассмотрим, когда эта подкатегория состоит из единственного множества А. Соответственно на X определяется алгебраическая структура заданием некоторого множества $\Phi(X)$ отображений из А в Х, соответственно на Y заданием $\Phi(Y)$. Отображение $f:X\to Y$ сохраняет структуру (или гомоморфизм), если для любого $g:A\to X \in \Phi(X)$ отображение $gf:A\to Y\in \Phi(Y)$ (я использовал ковариантную запись для произведения, обычно употребляют контравариантную запись и пишут $fg$ вместо написанного. Это можно считать категорией сохраняющей отношения на объектах. Можно определить категории сохраняющие операции, операции и тождества, т.е. теорию универсальных алгебр можно изложить на языке теории категорий. Непрерывные структуры, можно определить как объекты с множеством $\Phi(X)$ отображений $g:X\to A$ и отображение $f:X\to Y$ непрерывно (гомоморфизм), если для любого $g:Y\to A$ отбражение $fg:X\to A \in \Phi(X)$. Т.е. непрерывные структуры определяются полностью двойственно к алгебраическим структурам. Отличия появляются только из-за того, что мы работаем с не самодвойственной категорией множеств.
Что касается теоремы Ролля, она к этому не имеет отношения, теорема есть следствие теоремы о принятии промежуточного значения функции f'(x), т.е. свойство полноты R. К тому же имеется множество пополнений Q, и выделять только архимедово старомодно и надо работать со всеми, т.е. с аделями.

[Henrylee]

dmd писал(а):

Ибо Природа дышит "полиномиально".

протестую.
"В природе все распределено по "гауссиане" (с) Стругацкие

PS А кафедры Мат.ан'а у нас вообще нет.

[AD]

Henrylee писал(а):

dmd писал(а):

Ибо Природа дышит "полиномиально".

протестую.

Нет, ну это, конечно, да, я вот вообще воздухом дышу.

Ну все-таки. Шож ето за наука-то такая, матан?

[OZH]

Матанализ --- это, если хотите, такой специальный раздел математики, где изучаются, как правило, вещественнозначные функции вещественного переменного. Основной язык матанализа --- это \varepsilon-\delta. Основное содержание --- исследование функций (убывает/возрастает, экстремумы и т.д. и т.п.). Вся остальная математика --- это попытка обобщить результаты матанализа на всевозможные пространства путём аксиоматизации свойств, которые в матанализе обычно присутствуют как теоремы (то есть: доказываются).