Математический анализ

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

В рамках этих определений вычислимы далеко не только полиномы. Более того, некоторые функции, такие как экспонента, вычисляются очень быстро и считать их в отличие от полиномов не вычислимыми более чем глупо.

Зато есть воистину удивительный факт: каждая вычислимая функция непрерывна. В этом плане действительно стоит вспомнить о том, что все функции в природе также непрерывны

Ещё более удивительно, что далеко не все "функции в природе" непрерывны. На границе двух сред характеристики испытывают скачок. А считать-то надо, причём за конечное к-во операций, т.е. с помощью непрерывных функций. Вот тут-то и становится интересно. А ещё интереснее, когда надо эту разрывную функцию дифференцировать, причём оставаясь в рамках классического анализа, т.е. не прибегая к аппарату обобщённых функций.

-------------------------------------------
кстати, а как эффективно считать экспоненту, не задействуя те или иные полиномы?

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

С его (конструктивного анализа) точки зрения - близко. С его (матана) точки зрения - не думаю. Скажем так, сложные отношения. Метрикой не описываются.
Что интересная тема - согласен, +1.

Вот только что прочитал в Роджерсе, что для конструктивных действительных чисел (там они названы рекурсивными действительными числами) не верны аналоги теорем Гейне-Бореля и Больцано-Вейерштрасса. Теперь вот сижу и пытаюсь вспомнить, что это за теоремы. Что-то, наверное, с компактностью связано.

Кстати, в предыдущем сообщении я чуть-чуть наврал. Любая вычислимая функция непрерывна на каждом конструктивном действительном числе, но не обязательно является ограничением какой-то непрерывной функции на действительных числах. Впрочем, если мы оставляем в поле рассмотрения только конструктивные действительные, то тогда, конечно, да, каждая функция непрерывна.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

AD писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Действительное число $r$ называется конструктивным, если существует вычислимая последовательность

Профессор Снэйп писал(а):

Функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется вычислимой, если для любого конструктивного числа $r$ по любой вычислимой последовательности

На всяк случай: то есть "вычислимая последовательность" определяется отдельно, да?

Так последовательность-то из рациональных чисел состоит! Так что отдельно, да. И определение тут естественное: последовательность $\{ q_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ называется вычислимой, если существует программа для машины Тьюринга, преобразующая запись числа $n$ в запись рационального числа $q_n$ (в виде "знак", "числитель", "знаменатель").

А насколько конструктивно само это определение конструктивности? Т.е.: есть ли хоть какой признак, позволяющий судить: вот это действительное число конструктивно, а вот это -- нет? И существуют ли вообще неконструктивные числа?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Ещё более удивительно, что далеко не все "функции в природе" непрерывны. На границе двух сред характеристики испытывают скачок.

Ну если уж совсем глубоко копать, то в природе всё дискретно и непрерывности она не знает. "Сплошные среды" не являются сплошными, а состоят из атомов и молекул... А на микроскопических расстояниях всё основывается на дискретных законах квантовой механики.

Кстати, для конструктивных действительных числах неразрешима проблема равенства. Если два числа равны, то мы не можем определить это за конечное время, а можем лишь распознать тот факт, что они оба содержаться в некотором достаточно малом промежутке. Особо одарённые философским талантом личности вероятно смогут усмотреть здесь связь с принципом неопределённости Гейзенберга

ewert писал(а):

кстати, а как эффективно считать экспоненту, не задействуя те или иные полиномы?

Ну опять же, что значит "задействуя"? Машина Тьюринга никаких полиномов не знает: она будет двигать головку между ячейками, что-то в них меняя, и в результате будут получаться приближения экспоненты рациональными числами с любой наперёд заданной точностью. То, что описание алгоритма, по которому мы писали программу, в некотором языке некоторого высокого уровня использует полиномы, на мой взгляд есть "случайность". Хотя, конечно, нельзя отрицать, что в анализе в первую очередь важны аналитические функции, по определению являющиеся приближениеми полиномов (частичных сумм степенных рядов) на промежутках.

Кстати, а если считать экспоненту через второй замечательный предел? Медленно, конечно, но ведь можно! И разве полиномы там используются?

Добавлено спустя 4 минуты 8 секунд:

ewert писал(а):

А насколько конструктивно само это определение конструктивности?

Достаточно конструктивно со всех точек зрения. Там проводится некоторое отождествление: конструктивное действительное число = программа, считающая рациональные приближения к этому числу с любой заданной точностью. А программа есть конечный объект, записываемый при помощи конечной последовательности символов.

ewert писал(а):

Т.е.: есть ли хоть какой признак, позволяющий судить: вот это действительное число конструктивно, а вот это -- нет?

Честно говоря, плохо понял вопрос.

ewert писал(а):

И существуют ли вообще неконструктивные числа?

Естественно существуют, хотя бы из мощностных соображений. Конструктивных действительных чисел счётное число, а всех действительных чисел континуум.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну если уж совсем глубоко копать, то в природе всё дискретно и непрерывности она не знает. "Сплошные среды" не являются сплошными, а состоят из атомов и молекул... А на микроскопических расстояниях всё основывается на дискретных законах квантовой механики.

Ну а если копать ещё глубже, то в природе вообще нет ни абсолютной непрерывности, ни абсолютной дискретности -- они всегда появляются в рамках некоторой модели, заведомо приближённой.

Так вот, если мы рассматриваем простейшее симметричное ДУ второго порядка типа ${\partial\over\partial x}\,\alpha(x)\,{\partial u(x)\over\partial x}=$ чему-нибудь, где $\alpha(x)$ -- это или коэффициент теплопроводности, или диэлектрическая проницаемость, или ещё чего-нибудь аналогичное, то с безумной для практических целей точностью задача сугубо непрерывна, а вот $\alpha(x)$ на стыке сред испытывает скачок. Причём безумие здесь проявляется в двух отношениях: с одной стороны, практически бессмыссленно уточнять решение до молекулярного уровня, а с другой -- достичь такой точности практически и невозможно (при приближённых вычислениях).

Цитата:

Ну опять же, что значит "задействуя"? Машина Тьюринга никаких полиномов не знает: она будет двигать головку между ячейками, что-то в них меняя, и в результате будут получаться приближения экспоненты рациональными числами с любой наперёд заданной точностью. То, что описание алгоритма, по которому мы писали программу, в некотором языке некоторого высокого уровня использует полиномы, на мой взгляд есть "случайность". Хотя, конечно, нельзя отрицать, что в анализе в первую очередь важны аналитические функции, по определению являющиеся приближениеми полиномов (частичных сумм степенных рядов) на промежутках.

Ну а всё же: не могли бы Вы сказать, по какому конкретно алгоритму эту экспоненту считали? Мне это действительно любопытно.

Цитата:

ewert писал(а):

Т.е.: есть ли хоть какой признак, позволяющий судить: вот это действительное число конструктивно, а вот это -- нет?

Честно говоря, плохо понял вопрос.

Вопрос вот в чём. Число считается конструктивным, если существует алгоритм его построения со сколь угодно высокой точностью, выписанный в конечных терминах.

А как для некоего произвольно взятого числа проверить, существует такой алгоритм или нет?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Цитата:

Ну опять же, что значит "задействуя"? Машина Тьюринга никаких полиномов не знает: она будет двигать головку между ячейками, что-то в них меняя, и в результате будут получаться приближения экспоненты рациональными числами с любой наперёд заданной точностью. То, что описание алгоритма, по которому мы писали программу, в некотором языке некоторого высокого уровня использует полиномы, на мой взгляд есть "случайность". Хотя, конечно, нельзя отрицать, что в анализе в первую очередь важны аналитические функции, по определению являющиеся приближениеми полиномов (частичных сумм степенных рядов) на промежутках.

Ну а всё же: не могли бы Вы сказать, по какому конкретно алгоритму эту экспоненту считали? Мне это действительно любопытно.

Я не понимаю, что значит "конкретный алгоритм". Вас программа интересует? Программа зависит от машины и от языка программирования. Или Вас интересует, будет ли моя программа, если я её напишу на языке высокого уровня типа C или Фортрана, содержать в себе сложения и умножения? Да, будет (хотя если её перевести на язык более низкого уровня, скажем, для процессора, не поддерживающего эти операции или для той же машины Тьюринга, то никаких сложений и умножений там не останется). Естественно, все операции будут целочисленными и будет подразумеваться, что память компутера потенциально бесконечна.

ewert писал(а):

Цитата:

ewert писал(а):

Т.е.: есть ли хоть какой признак, позволяющий судить: вот это действительное число конструктивно, а вот это -- нет?

Честно говоря, плохо понял вопрос.

Вопрос вот в чём. Число считается конструктивным, если существует алгоритм его построения со сколь угодно высокой точностью, выписанный в конечных терминах.

А как для некоего произвольно взятого числа проверить, существует такой алгоритм или нет?

Вначале определитесь с тем, что значит "взятое число". Вы ведь не в руку его берёте В каком формате оно у Вас задано?

Конструктивные числа --- это, в точности, числа, которые допускают конструктивное задание (то есть задание в виде текста программы, порождающей последовательность рациональных чисел, сходящуюся с наперёд заданной скоростью к данному числу). Если Вы знаете какие-то способы задания чисел при помощи конечной последовательности символов, допускающие задание любого действительного числа, то Ваши знания ошибочны, ибо это невозможно из соображений мощности.

[AD]

О что значит предложить закончить оффтоп ... Всё, ладно, молчу и слушаю.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Я не понимаю, что значит "конкретный алгоритм". Вас программа интересует?

Меня интересует именно алгоритм. Для примера. Естественная процедура вычисления

$$e^x$$

выглядит примерно так. Считать её надо, естественно, как

$$2^{x/\ln2}$$

. Если теперь

$$N$$

-- целая и

$$t$$

-- дробная части показателя, то

$$(N+1)$$

даёт двоичный порядок результата, а

$$2^{t-1}$$

-- нормализованную мантиссу.

Так вот, вопрос в том, как считать последнюю. Наиболее естественный путь -- какой-либо вариант чебышёвских приближений. Я так понял, что Вы знаете более эффективный способ вычисления мантиссы. Вот и вопрос: какой именно?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Так вот, вопрос в том, как считать последнюю. Наиболее естественный путь -- какой-либо вариант чебышёвских приближений. Я так понял, что Вы знаете более эффективный способ вычисления мантиссы. Вот и вопрос: какой именно?

Нет, не знаю. Я, видите ли, теоретик Для меня вычислимость означает возможность вычислить за конечное время, при этом практическая осуществимость таких вычислений (скажем, требование, чтобы они продолжались не более столетия или чтобы объём задействованной памяти не превосходил числа атомов в доступной нам части Вселенной) меня мало заботит.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Вначале определитесь с тем, что значит "взятое число". Вы ведь не в руку его берёте В каком формате оно у Вас задано?

Ну, попробую привести пример. Берём такой дифурчик:

$$\begin{cases}y'(x)=f(y)+x; \\ y\vert_{x=0}=0,\end{cases}$$

где

$$f(y)$$

-- канторова лестница, к примеру. Будет ли число $y(1)$ конструктивным?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Берём такой дифурчик:

$$\begin{cases}y'(x)=f(y)+x; \\ y\vert_{x=0}=0,\end{cases}$$

где

$$f(y)$$

-- канторова лестница, к примеру. Будет ли число $y(1)$ конструктивным?

Я не помню, что такое канторова лестница.

А на Ваш вопрос я, думаю, Вы сами лучше меня ответите. Если существует алгоритм, который по произвольному $n$ вычисляет $y(1)$ с точностью до $1/n$, то да, будет. Если нет, то нет. А существует алгоритм или не существует Вам, как специалисту по диффурам, виднее.

[OZH]

Профессор Снэйп писал(а):

Я не помню, что такое канторова лестница.

Это такая заданная на отрезке [0,1] непрерывная строго возрастающая функция, которая строится по аналогии с канторовским множеством, и ведёт себя всюду как постоянная. Как это, бишь, называется? Финально постоянная?

[AD]

OZH писал(а):

ведёт себя всюду как постоянная.

Ну почти всюду. Ну то есть непрерывная функция, производная у нее почти всюду ноль, но она тем не менее возрастает от нуля до единицы.

Ну в задаче ewertа имелось ввиду "возьмем какую-нибудь страшную функцию, совсем не похожую на элементарную".

[Gordmit]

AD
По теме могу посоветовать следующее: когда будете в следующий раз в библиотеке, возьмите какой-нибудь выпуск реферативного журнала и просмотрите раздел "Математический анализ", аннотации к статьям. В раздел по мат.анализу там включаются, правда, и ТФДП, и ТФКП, и дифф.уравнения, и УРЧП, и много еще чего - что уже давно выросло в самостоятельные дисциплины, но и до них несколько страничек есть Надеюсь, сложится какое-нибудь впечатление/мнение, и будет что обсудить

Хотя на мой взгляд, мат.анализ силен в первую очередь своими приложениями, а классика уже не меняется давным-давно, и развитие идет лишь "вширь", а не "вглубь"...

[Brukvalub]

Gordmit писал(а):

Хотя на мой взгляд, мат.анализ силен в первую очередь своими приложениями, а классика уже не меняется давным-давно, и развитие идет лишь "вширь", а не "вглубь"...

Это только кажется...
Вот пример: много-много лет студентов учили достаточному условию коммутирования двух предельных переходов по базам, а, сравнительно недавно, порывшись в литературе, извлекли на свет божий точный критерий коммутирования, который иногда можно применить к решению задач, где он работает эффективнее всем известного достаточного условия. Чем не новое слово в матем. анализе?