Эквивалентность счетных множеств

[Sinoid]

Здравствуйте! Растолкуйте, пожалуйста, одно место в книге. Определение последовательности:

нигде не сказано, что функция $f$ не может быть, к примеру, константой (для простоты речи ограничимся пока этим случаем). Ладно, хорошо. Идем дальше. Определение счетного множества (немного непривычное):

Т.е., ввиду сделанного выше замечания, бесконечное счетное множество может состоять из одного элемента (замечание №2).
Определение эквивалентных множеств:

Теперь, собственно, вызвавшее затруднение доказательство:

Т.е. я $g(n+1)$ выбираю отличными от уже выбранных $g(0),\,\ldots,,\, g(n)$. Ну как я могу это сделать для любого натурального $n$, если $f$ может быть бесконечной последовательностью своего элемента? Там, заменив предположение $f=const$ предположением, что бесконечное множество значении $f$ состоит из элементов конечного множества, только записанных бесконечной последовательностью в каком-либо порядке, получу не менее интересный вопрос.

(Оффтоп)

Другое доказательство этого утверждения знакомо, интересно разобраться с этим.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1242817 писал(а):

бесконечное счетное множество может состоять из одного элемента

Бесконечное - не может. "Бесконечное счетное множество" должно быть не только множеством значений последовательности, но и бесконечным.
(хотя, конечно, называть конечные множества счетными - довольно странно, есть же термин "не более чем счетное")

[Someone]

Sinoid в сообщении #1242817 писал(а):

бесконечное множество значении $f$ состоит из элементов конечного множества

Множество значений последовательности — это не сама последовательность. Если конкретное значение может встречаться в последовательности сколько угодно раз, то в множестве значений этой последовательности оно будет только один раз. Поэтому, если последовательность постоянная, то в множестве её значений будет только один элемент.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1242818 писал(а):

"Бесконечное счетное множество" должно быть не только множеством значений последовательности, но и бесконечным.

В смысле, в него входит бесконечное множество различных элементов?

mihaild в сообщении #1242818 писал(а):

(хотя, конечно, называть конечные множества счетными - довольно странно...

Они даже это доказали:

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1242822 писал(а):

В смысле, в него входит бесконечное множество различных элементов?

Например так (хотя что значит "в множество входят одинаковые элементы" - непонятно). Более точно - множество бесконечно, если оно равномощно некоторому собственному подмножеству.

Sinoid в сообщении #1242822 писал(а):

Они даже это доказали:

Да можно и такие определения вводить - это неважно.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1242819 писал(а):

Поэтому, если последовательность постоянная, то в множестве её значений будет только один элемент.

Так и я про то. Поэтому, если

Someone в сообщении #1242819 писал(а):

последовательность постоянная

, то уже $g(1)$ выбрать будет не из чего и ни о какой равномощности $\mathbb{N}$ и $g(x)$ и заикаться не придется.

[Anton_Peplov]

В общем, Someone уже всё сказал, но я попробую в виде наводящих вопросов.
Sinoid, назовите, пожалуйста, множества значений следующих функций (все функции считать сюръекциями, определёнными на $\mathbb{N}$):
a) $f(x) = 2x$;
b) $g(x) \equiv 0$;
c) $h(x)$ равно нулю для чётных $x$ и единице для нечётных.

Каждая из этих функций удовлетворяет определению последовательности. Запишите эти последовательности в обычном виде: $n_1, n_2, n_3, \dots$.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1242824 писал(а):

(хотя что значит "в множество входят одинаковые элементы" - непонятно)

Вы про это:

Sinoid в сообщении #1242817 писал(а):

бесконечное множество значении $f$ состоит из элементов конечного множества, только записанных бесконечной последовательностью в каком-либо порядке, получу не менее интересный вопрос.

Да, действительно, выразился двояко, хотя и допустимо: доказывают же, что $\{1,\,1,\,2\}=\{1.\,2\}$

[gefest_md]

Sinoid в сообщении #1242817 писал(а):

если $f$ может быть бесконечной последовательностью своего элемента?

Не может $f$ быть постоянной. Как начинается второй абзац доказательства теоремы 5. Если бы $f$ была постоянной, то какой была бы $\rho_f$? Но $\rho_f=A$ по определению счетности.

[Mikhail_K]

Короче говоря.
Под "счётными множествами" авторы понимают немного не то, что обычно называют счётными множествами в литературе. В терминологии авторов, к "счётным множествам" относятся и "настоящие счётные" (т.е. бесконечные счётные), и конечные множества, в т.ч. и одноэлементные (если функция - это константа). Ничего страшного в этом нет, авторы имеют право вводить свою терминологию.

Sinoid в сообщении #1242817 писал(а):

Т.е., ввиду сделанного выше замечания, бесконечное счетное множество может состоять из одного элемента

Нет, ввиду этого замечания, счётное множество (в терминологии авторов) может состоять из одного элемента. Но оно не будет бесконечным счётным - оно конечное.

В доказательстве теоремы, разумеется, используется не просто счётность, но и бесконечность множества (это две независимые характеристики). Просто счётные множества (в терминологии авторов) - не все эквивалентны. Бесконечные счётные - будут все эквивалентны друг другу.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1242850 писал(а):

авторы имеют право вводить свою терминологию

Тем более что такой терминологии придерживаются отнюдь не только авторы. Это полноценная терминологическая традиция, хотя менее распространённая и, на мой вкус, менее удобная, чем классическая. Книг, в которых можно её встретить, сильно больше одной.

[_Y_]

Sinoid,а скажите пожалуйста, какой учебник Вы цитировали?

По данному вопросу уже все было сказано выше.

[yafkin]

Sinoid в сообщении #1242817 писал(а):

Определение эквивалентных множеств: .....

слова "эквивалентность" и "равномощность" автор понимает как одно и то-же?
или все-же как -то различает?

-- 25.08.2017, 15:52 --

Someone в сообщении #1242819 писал(а):

Множество значений последовательности — это не сама последовательность. Если конкретное значение может встречаться в последовательности сколько угодно раз, то в множестве значений этой последовательности оно будет только один раз. Поэтому, если последовательность постоянная, то в множестве её значений будет только один элемент.

ZF5 (Аксиома бесконечности). Существует такое множество $w$, что $\varnothing \in w$ и для любого $x$ имеем $ \{ x, \{ x \}\} \in w$
$w$ -бесконечное множество
я наверное снова что-то не понял...

[yafkin]

возможно автор использует константу как последовательность из одного элемента?

[Mikhail_K]

yafkin в сообщении #1242890 писал(а):

слова "эквивалентность" и "равномощность" автор понимает как одно и то-же?

Это и есть одно и то же.