Эквивалентность счетных множеств

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1242972 писал(а):

Почему считают, что
Sinoid в сообщении #1242833

писал(а):
$\{1,\,1,\,2\}=\{1.\,2\}$
?

В зависимости от того, как вообще определяется эта запись с фигурными скобками, либо по определению повторяющиеся элементы игнорируются, либо используется аксиома объемности.

Sinoid в сообщении #1242967 писал(а):

Третий скрин. только в окончании того параграфа написано, что равномощные множества по-другому называются равномощными.

Не вижу. Вижу обозначение $\sim$, слово "эквивалентны" не вижу.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1242978 писал(а):

Не вижу. Вижу обозначение $\sim$, слово "эквивалентны" не вижу.

Ну так это на другой странице. Мне что, выкладывать скрин по такому пустячному поводу?

-- 26.08.2017, 00:14 --

arseniiv в сообщении #1242975 писал(а):

Во-первых, скажите, есть ли в той книге определение бесконечного множества, и какое. К всевозможным записям, обозначающим множество, оно не должно иметь отношения.

Mikhail_K в сообщении #1242976 писал(а):

Объясню ещё так. По определению равенства множеств, два множества равны, если любой элемент первого множества входит во второе и любой элемент второго множества входит в первое. Проверьте это для Ваших множеств и убедитесь, что они равны.

Я это знаю. Я просто хотел показать, что в множестве могут быть повторяющиеся элементы.

arseniiv в сообщении #1242975 писал(а):

Sinoid в сообщении #1242972

писал(а):
Почему считают, что $\{1,\,1,\,2\}=\{1.\,2\}$ Потому что множество определяется полностью предикатом принадлежности элемента ему (иначе это называется аксиомой экстенсиональности — если для каждого элемента принадлежность его $s_1$ эквивалентна принадлежности его $s_2$, то $s_1=s_2$). $x\in\{1,1,2\}$ — это короткая запись формулы $x=1\vee x=1\vee x=2$, а $x\in\{1,2\}$ — короткая запись формулы $x=1\vee x=2$, а они эквивалентны.

Вот спасибочки! разжевали до тонкостей этот момент.

arseniiv в сообщении #1242975 писал(а):

Sinoid
Во-первых, скажите, есть ли в той книге определение бесконечного множества, и какое.

Нет там этого определения, там просто описание и все. Там нет упоминания о том, что элементы множества должны быть отличимы друг от друга.

mihaild в сообщении #1242978 писал(а):

В зависимости от того, как вообще определяется эта запись с фигурными скобками, либо по определению повторяющиеся элементы игнорируются, либо используется аксиома объемности.

Послушайте, я сейчас в начале книги увидел такое место:

Получается, что множества (конечные, бесконечные, без разницы) с несколькими совпадающими элементами допускаются-таки к рассмотрению.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

Ну так это на другой странице. Мне что, выкладывать скрин по такому пустячному поводу?

Нет, вам не говорить, что на скринах есть то, чего там нет.
Ок, вы процитировали определение, этого достаточно.

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

в множестве могут быть повторяющиеся элементы

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

Получается, что множества (конечные, бесконечные, без разницы) с несколькими совпадающими элементами допускаются-таки к рассмотрению.

Нет. Получается, что записи $\{a\}$ и $\{a, a\}$ обозначают одно и то же множество. Если вы знаете, что такое интерпретация - то можно такие записи понимать как два терма, интерпретирующиеся в одно и то же множество.

[permutation]

Условимся, что во множестве все элементы должны быть уникальными.

Пусть $S$ - это множество элементов с мощностью $\ge 2.$ Элементам $a$ и $b$ позволено находится в $S$ только если $a \ne b$. Если $a = b$, то только один из них имеет правo находится в $S$.

Например, в $A = \{1, 2, 3, 4\}$ мы имеем $1 \ne 2 \ne 3 \ne 4.$ Значит все элементы $A$ имеют право находится в $A.$ Пусть $B = \{2, 2, 2, 2, 2, 2, 6\}$ где мы имеем $2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 \ne 6.$ А значит только $2$ и $6$ имеют право находится в $B$ т.е.$B = \{2, 6\}.$ То есть $\{2, 2, 2, 2, 2, 2, 6\}$ на самом деле есть $\{2, 6\}.$

Существует еще такая вещь как мультимножество, где $\{a, a\} \ne \{a\}$ т.е. допускаются копий элементов множества. Они часто встречаются в комбинаторике.

[mihaild]

permutation в сообщении #1243084 писал(а):

Если $a = b$, то только один из них имеет правo находится в $S$.

Не путайте ТС. Если $a = b$, то $a \in S$ и $b \in S$.

[Someone]

permutation в сообщении #1243084 писал(а):

Условимся, что во множестве все элементы должны быть уникальными.

Зачем? Есть аксиома объёмности: если в множества входят одни и те же элементы, то эти множества одинаковые. То есть, это "одно и то же" множество. То есть, везде вместо одного множества можно употреблять другое (именно в этом смысле используется отношение равенства "$=$").

[permutation]

mihaild в сообщении #1243154 писал(а):

Не путайте ТС. Если $a = b$, то $a \in S$ и $b \in S$.

Someone в сообщении #1243157 писал(а):

Зачем?

Где-то выше все это ТС объясняли сто раз уже. Всего лищь попытка сказать то же самое другими словами.

[iifat]

permutation в сообщении #1243084 писал(а):

Если $a = b$, то только один из них имеет правo находится в $S$

Который?

[permutation]

iifat в сообщении #1243180 писал(а):

Который?

Какой вам нравится. Разницы никакой.

[Someone]

permutation в сообщении #1243184 писал(а):

Какой вам нравится. Разницы никакой.

Почему никакой, если Вы их различаете? В частности, утверждаете, что их два. А если они равные, то это один и тот же элемент.

[permutation]

Someone в сообщении #1243187 писал(а):

Почему никакой, если Вы их различаете? В частности, утверждаете, что их два. А если они равные, то это один и тот же элемент.

Если ТС совершенно случайно столкнется с множеством типа $A = \{2, 2\}$, он может подумать "Ах, да, здесь $2 = 2$ и только один из них имеет право находится в $A.$ Мне в равенстве $2 = 2$ нравится двойка слева, так что пусть она и остается, а та что справа может идти лесом." Конечно в реале никто так не думает, но а вдруг это поможет ТС врубиться?

[arseniiv]

permutation
Это, по-моему, противоречит духу математики.

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

Я просто хотел показать, что в множестве могут быть повторяющиеся элементы.

Ну, теперь вы всё уже поняли (кажется), и комментарий этой цитаты излишен, но всё равно допишу: понятие «количество повторений элемента $x$ в множестве $s$» не определено. Правда, иногда в качестве вольности говорят, что вхождений может быть 0 и 1, вообще $\in$ естественнее понимать как наличие или отсутствие элемента. При этом можно представить, что гипотетически есть разные «первичные множества» $\{1,1,2\}$ и $\{1,2\}$, отличающиеся числом вхождений 1 или, например, цветом, размером и вкусом 2, но теория множеств может говорить только о более грубой эквивалентности (не в смысле этой темы), основанной только на (не)вхождении. Вообще, кстати, аксиоматические теории все ведут себя таким образом, описывая только тот минимум понятий, которые мы имеем право, или, с другой стороны, которые лишь нам и необходимо использовать.

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

Там нет упоминания о том, что элементы множества должны быть отличимы друг от друга.

Хм, ну, вроде я этого и не требовал. Вообще как мы можем сформулировать это самое «элементы должны быть отличимы друг от друга»? Для пары элементов это ясно: $a_1\ne a_2$. Для тройки тоже: $a_1\ne a_2\wedge a_1\ne a_3\wedge a_2\ne a_3$. Для любого конечного числа мы также можем выписать формулу явно. Но как это описать для произвольного множества? Можно прийти к весьма плоским формулировкам типа $\forall x\in s\,\forall x'\in s\,(x\ne x'\to x\ne x')$ (поскольку $\forall x\in s\,\forall x'\in s\,(x\ne x')$ верно лишь для пустого множества), а эта формула ничего интересного не говорит о множестве $s$, потому что является общезначимой.

-- Сб авг 26, 2017 18:30:13 --

А, не, я прочитал «различны» вместо «отличимы», извините.

-- Сб авг 26, 2017 18:42:53 --

(Отличимость; уж больно философско для неоффтопа)

Отличимость — это что-то внематематическое. С ней связано, кажется, только одно требование: мы должны рассматривать вещи на одном и том же уровне детализации, не начиная вдруг видеть у них детали и не огрубляя, наоборот, переставая отличать вещи, которые сначала считали разным (в самом банальном случае — определиться, какие графические изображения мы считаем начертаниями одного символа, а какие разными; в рукописном тексте это может быть даже не всегда тривиальным). Правда, такая формулировка слишком пространна: нам не запрещено рассматривать разные отношения эквивалентности (равенство множеств, равномощность множеств), но это уже на самом деле уровень выше, чем имеется в виду выше.

[Sinoid]

Т.е. если $a\neq b$ и запись множеств в виде $\{a,\, b,\, a,\, b,\,\ldots\}$, где на месте многоточий стоят $a$ или $b$ разрешена, то $\{a,\, b,\, a,\, b,\,\ldots\}={a,\,b}$, справа стоит запись конечного множества, поэтому и слева стоит конечное множество и потому на множество с такой записью утверждение теоремы не распространяется?

[Mikhail_K]

Разумеется.
Если допускать запись $\{a,b,a,b,\dots\}$, то это конечное множество, а в теореме речь о бесконечных счётных множествах.
Но на самом деле, я не вижу, где такая запись вообще может быть полезна и разрешается ли она вообще где-либо.

Вам нужно отличать множества от последовательностей.
Разумеется, существует бесконечная последовательность $(a,b,a,b,\dots)$. И она не совпадает ни с множеством $\{a,b\}$, ни с упорядоченной парой $(a,b)$.
Но, хотя это и бесконечная последовательность, множество её членов будет конечным - это будет $\{a,b\}$.

В последовательностях (а также упорядоченных парах и вообще упорядоченных $n$-ках), в отличие от множеств, могут быть одинаковые члены и имеет значение порядок этих членов.

[Someone]

permutation в сообщении #1243191 писал(а):

Если ТС совершенно случайно столкнется с множеством типа $A = \{2, 2\}$, он может подумать "Ах, да, здесь $2 = 2$ и только один из них имеет право находится в $A$…"

Нет. Он должен подумать так: "Поскольку $2=2$, то это — множество, содержащее один элемент". Без всяких "имеет право находиться" или чего-либо ещё. "Равные объекты" — "один и тот же объект".

permutation в сообщении #1243191 писал(а):

а вдруг это поможет ТС врубиться?

Нет, это поможет ему запутаться в трёх соснах. Как Вы сами запутались.

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

Я просто хотел показать, что в множестве могут быть повторяющиеся элементы.

На такой случай есть понятие мультимножества. Мультимножества вполне можно смоделировать с помощью множеств, но нет особой нужды заниматься этой формализацией, проще использовать язык мультимножеств там, где он уместен. И, разумеется, не надо путать мультимножества с множествами.

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

Получается, что множества (конечные, бесконечные, без разницы) с несколькими совпадающими элементами допускаются-таки к рассмотрению.

Нет. Аксиома объёмности (экстенсиональности) не разрешает.

Sinoid в сообщении #1243058 писал(а):

Там нет упоминания о том, что элементы множества должны быть отличимы друг от друга.

Это в аксиомах равенства сказано: "объекты равны" означает, что они полностью взаимозаменяемы во всех ситуациях, то есть, мы никаким способом не можем их различить. Поэтому "равные объекты" — это "один и тот же объект". Возможно, под разными именами.

Mikhail_K в сообщении #1243202 писал(а):

Но, хотя это и бесконечная последовательность, множество её членов будет конечным - это будет $\{a,b\}$.

Не членов, а значений. Членов у неё как раз счётное множество.