Эквивалентность счетных множеств

[yafkin]

функцию $f$ мы называем последовательностью....
У автора, что значением функции является какое-то множество?

[Someone]

yafkin в сообщении #1242890 писал(а):

ZF5 (Аксиома бесконечности). Существует такое множество $w$, что $\varnothing \in w$ и для любого $x$ имеем $ \{ x, \{ x \}\} \in w$

Неверно.

[yafkin]

извините переписал у Вавилова

[Someone]

yafkin в сообщении #1242890 писал(а):

я наверное снова что-то не понял...

yafkin в сообщении #1242901 писал(а):

возможно автор использует константу как последовательность из одного элемента?

Да, что-то совсем невпопад пишете. Что называется, пальцем в небо.

[yafkin]

а как понимать значение функции-это множество-?

-- 25.08.2017, 16:51 --

автор определяет значение функции как последовательность.

[mihaild]

yafkin в сообщении #1242914 писал(а):

автор определяет значение функции как последовательность.

Автор определяет последовательность как функцию $f: \mathbb{N} \to X$. А ее значения - это соответственно $f(\mathbb{N})$.
(вообще в $ZF$ значение любой функции на любом элементе области определения - это множество, просто потому что в $ZF$ ничего другого нет)

[Mikhail_K]

yafkin в сообщении #1242914 писал(а):

а как понимать значение функции-это множество-?

Об этом никто до Вас здесь не говорил. Область значений функции - да, множество.

yafkin в сообщении #1242914 писал(а):

автор определяет значение функции как последовательность.

Автор не определяет значение функции как последовательность. Автор определяет последовательность как функцию на $\mathbb{N}$.

[yafkin]

и что я неправильно переписал у Вавилова?
трансфинитное множество можно создать и из одного элемента ,просто их будет целый булеан
-что не так?
а Вы прочитайте первую фразу дословно. Как вы ее поняли и переписали это Ваше правильное
мнение . но текст автора и Ваш разные.

[mihaild]

yafkin в сообщении #1242918 писал(а):

и что я неправильно переписал у Вавилова?

Написали "для любого $x$" вместо "для любого $x \in w$".

yafkin в сообщении #1242918 писал(а):

трансфинитное множество можно создать и из одного элемента ,просто их будет целый булеан

Эта фраза нуждается в уточнении (видимо, подразумевается существование несчетных ординалов?).

yafkin в сообщении #1242918 писал(а):

а Вы прочитайте первую фразу дословно

книга писал(а):

Функция $f$ называется последовательностью, если ее область определения - ...

(жирный шрифт мой - mihaild)

[yafkin]

функцию мы называем последовательностью....-это извините уже неточность .
и зачем вводить какую -то теорему ,что эквивалентность это равномощность-непонятно.

[Mikhail_K]

yafkin в сообщении #1242918 писал(а):

а Вы прочитайте первую фразу дословно. Как вы ее поняли и переписали это Ваше правильное
мнение . но текст автора и Ваш разные.

А что в этой фразе неясно? Любая последовательность $(x_n)_{n=1}^\infty$ - это функция, ставящая в соответствие номеру $n\in\mathbb{N}$ этой последовательности элемент $x_n$. Например, если последовательность числовая, то это будет функция $\mathbb{N}\to\mathbb{R}$.

Нет большой разницы, писать ли, например, $x_n=n^2$ или $x(n)=n^2$ при определении последовательности. Это просто разные способы записи, а суть одна. Последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

-- 25.08.2017, 15:12 --

А вот множеством последовательность назвать как раз нельзя ни в коем случае.

[mihaild]

yafkin в сообщении #1242920 писал(а):

функцию мы называем последовательностью....-это извините уже неточность .

В чем неточность? Это вводится определение последовательности. Стандартным способом - берется уже определенная штука (функции) и из нее выделяется часть, удовлетворяющая дополнительным условиям.

yafkin в сообщении #1242920 писал(а):

и зачем вводить какую -то теорему ,что эквивалентность это равномощность-непонятно.

На приведенных скриншотах нет понятия эквивалентности множеств. Скорее всего, оно полагается синонимом равномощности по определению.
Доказывается другое утверждение - что бесконечные счетные множества равномощны. Это уже содержательное (хотя и простое) утверждение.

-- 25.08.2017, 15:15 --

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1242921 писал(а):

А вот множеством последовательность назвать как раз нельзя ни в коем случае.

Да ладно, множество пар, таких что первый элемент - натуральное число, причем все натуральные числа встречаются в качестве первого элемента ровно по одному разу.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1242922 писал(а):

Да ладно, множество пар, таких что первый элемент - натуральное число, причем все натуральные числа встречаются в качестве первого элемента ровно по одному разу.

Конечно Вы правы. Я имел в виду, что нельзя назвать множеством своих элементов.

[yafkin]

mihaild в сообщении #1242919 писал(а):

Написали "для любого $x$" вместо "для любого $x \in w$".

Приношу извинения
А вот то что Вы написали и было не ясно,
нужно было писать что не функция является последовательностью а значение аргументов функции являются элементами последовательности
Проиндексировать можно что угодно было бы множество упорядоченным и счетным, а что можно сопоставить такому ряду тоже сразу непонятно.

-- 25.08.2017, 17:31 --

mihaild в сообщении #1242922 писал(а):

Доказывается другое утверждение - что бесконечные счетные множества равномощны. Это уже содержательное (хотя и простое) утверждение.

интересно как оно соответствует ZF1

[Mikhail_K]

yafkin в сообщении #1242926 писал(а):

нужно было писать что не функция является последовательностью

Определение последовательности как функции на $\mathbb{N}$ вполне стандартное и правильное, неясно чем оно Вас не устраивает.

yafkin в сообщении #1242926 писал(а):

тоже сразу непонятно

Если Вам что-то непонятно, это не повод критиковать учебники.