Определение имеет вид "что-то может считаться началом чего-то, если", аналогично и с концом. Не сказано, что начало и конец определены однозначно. Рассмотрим множество пар
. Это функция (или график функции, в другой терминологии) из множества
в какое-то множество, содержащее
. Но в какое? По графику не видно. Это может быть любое множество, содержащее
. Для функторов ситуация ещё хуже, даже начало определить нельзя, контрпример в конце предыдущей страницы этой темы.
Спасибо. Я затеял это всё писать, потому что надоело каждый год рассказывать. Хочешь рассказать что-то интересное про топосы: начинаешь с определения категории, потом функтора и т.д., когда доходишь до топосов, уже нет ни времени, ни энтузиазма. Зато постепенно накопился опыт, как это надо излагать. Если бы меня чаще хвалили, я бы всё время писал книги, как Лев Толстой!
Про топос графов популярная статья
https://arxiv.org/abs/math/0306394