Написал учебник теории категорий

[ivvan]

Цитата:

Пусть $\mathsf{K_1}$ и $\mathsf{K_2}$ – малые категории. Категорией функторов $\mathsf{K}^{\mathsf{K}_1}_2$

Правильно понимаю, что оговорка "малые категории" не нужна, раз

Цитата:

Проверьте, что для малых $\mathsf{K}_1$ и $\mathsf{K}_2$ категория $\mathsf{K}^{\mathsf{K}_1}_2$ тоже малая.

? Простите, если повторился.

[george66]

Для больших категорий существование категории функторов не очевидно и зависит от принимаемой теории множеств. Может быть, может не быть. Для малых есть всегда.

-- 30.07.2017, 22:23 --

С этого начинается следующая глава.

[ivvan]

Упражнение 10.22 не подразумевается в теореме 10.12?

[george66]

Ну, оно как бы очевидно, но в последующей теореме 10.23 именно так строится композиция морфизмов а некоторой вспомогательной категории (и там ссылка на это упражнение). Смысл упражнения -- пояснить, как устроена эта вспомогательная категория. Или даже сказать "когда мы вводим вспомогательные категории, надо всё аккуратно проверять"

[ivvan]

Цитата:

В таких случаях обычно говорят "изоморфизмы естественны по $A$". Это нестрогое выражение означает "некоторые два функтора естественно изоморфны", причём функторы предлагается угадать.

В какой главе встретится пример угадывания нужных функторов?

[george66]

Если пишут, что $A\times B\cong B\times A$ естественно по $A$ и $B$, имеют в виду, что есть не только изоморфизм объектов, но и некоторая согласованность действий над стрелками (в данном случае естественно изоморфны два функтора $F,G\colon\mathfrac{K}\times\mathfrac{K}\to\mathfrac{K}$ которые предлагаю угадать. Если не угадаете, этот пример скоро будет разобран). Таких естественных изоморфизмов будет много почти во всех главах.

[ivvan]

Да, я не подумал, что нужно задать также действие функтора на стрелки. Непонятно, можно ли для каждого функтора $F:K\times K\to K$, для которого $F(A,B)=A\times B$ выбрать проекции для всех произведений объектов такие, чтобы $F(f,g)=f\times g$. Это равносильно существованию естественных преобразований из $F$ в $(f,g)\mapsto f$ и $(f,g)\mapsto g$, не знаю, поможет ли это.

[ivvan]

ivvan в сообщении #1240655 писал(а):

Это равносильно существованию естественных преобразований из $F$ в $(f,g)\mapsto f$ и $(f,g)\mapsto g$

Не равносильно, естественные преобразования могут давать разные стрелки между одинаковыми объектами, так как объекты для функторов-концов могут иметь не единственные объекты-прообразы.
Не получается пока подумать о контрпримере к

ivvan в сообщении #1240655 писал(а):

можно ли для каждого функтора $F:K\times K\to K$, для которого $F(A,B)=A\times B$ выбрать проекции для всех произведений объектов такие, чтобы $F(f,g)=f\times g$

Напишите, если контрпример сложен.

[george66]

Думаю, что контрпример есть, но простой на ум не приходит. Смысл пояснения (про "предлагается угадать") был такой: обычно действие функторов на стрелках ясно из контекста, но по написанному изоморфизму его никак не видно.

[пианист]

george66 в сообщении #1221083 писал(а):

По естественному преобразованию его начало и конец однозначно восстановить нельзя (по функтору тоже), поэтому приходится вводить понятие "протоморфизм". Смотрите определение 6.6.

Чего-то туплю ;(
Почему нельзя, если они явно указаны в определении?
И функтора, и естественного преобразования..
--
Книжка очень понравилась, дочитал до собственно топосов (не плюнув до того на всю эту заумь, как было раньше ;).
Элементы функторов вставляют не по детски ;)

-- Пт авг 18, 2017 23:09:12 --

Кстати, подумалось: категорный язык очень должен подходить для всяких построений с графами - сокращать изложение, а м.б. даже и правильно формировать мыслительный процесс.

[george66]

Определение имеет вид "что-то может считаться началом чего-то, если", аналогично и с концом. Не сказано, что начало и конец определены однозначно. Рассмотрим множество пар $(0,0),(1,0),(2,0)$. Это функция (или график функции, в другой терминологии) из множества $(0,1,2)$ в какое-то множество, содержащее $0$. Но в какое? По графику не видно. Это может быть любое множество, содержащее $0$. Для функторов ситуация ещё хуже, даже начало определить нельзя, контрпример в конце предыдущей страницы этой темы.

Спасибо. Я затеял это всё писать, потому что надоело каждый год рассказывать. Хочешь рассказать что-то интересное про топосы: начинаешь с определения категории, потом функтора и т.д., когда доходишь до топосов, уже нет ни времени, ни энтузиазма. Зато постепенно накопился опыт, как это надо излагать. Если бы меня чаще хвалили, я бы всё время писал книги, как Лев Толстой!

Про топос графов популярная статья
https://arxiv.org/abs/math/0306394

[kp9r4d]

Учебник хороший, но мне кажется что про эти прото-штуки вы зря рассказываете вообще, только людей путаете. Это реально нужно где-нибудь? Почему домен и кодомен не сделать частью определения естественного преобразования и функтора?

[george66]

Проясняю скрытые трудности. Справедливости ради, есть пара мест в учебнике, где я сознательно скрыл некоторые проблемы, чтобы не путать людей.

[george66]

Мы часто по некоторой категории строим более сложные категории (категория запятой, категория алгебр монады и т.д.), в которых стрелки берутся из исходной категории, а объекты совсем другие. Причём по стрелке её начало и конец в новой категории никак не видны. Например, берём категорию множеств, её стрелки это функции. Теперь берём категорию групп. Группы -- это множества с дополнительной структурой. В качестве стрелок между ними (гомоморфизмов) берутся функции, сохраняющие дополнительную структуру. Если воспринимать гомоморфизм как функцию (стрелку в $\mathsf{Set}$), его начало и конец (в $\mathsf{Set}$) это множества-носители групп, между которыми он действует. По ним нельзя восстановить сами группы (не видно, как делать композицию). Соответственно, морфизм в категории групп -- это на самом деле тройка "группа-начало, функция, группа-конец". Вместо того, чтобы объяснять это каждый раз, я решил объяснить один раз (во второй главе).

[kp9r4d]

Ну у меня пока как-то не очень вяжется, как из того, что нету обратного функтора к забывающему $\mathbf{Group} \to \mathbf{Set}$ следует то, что о протоморфизмах нужно вообще думать.