Теорема антикосинусов

[Yarkin]

test

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Совершенно верно.
эти углы определены равенствами (4), которые Вы предположили выполненными и пытаетесь довести до противоречия.

В таком случае зафиксируем это.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношение (1) перепишется

$$ u + v = w, \eqno (8) $$

Означающее, что существует вырожденный треугольник с длинами сторон $u, v, w$. Аналогично, для треугольника $T$ с прямым $\angle C$ должны существовать такие значения углов $A$ и $B$ при которых второе и третье соотношения из группы (2), обратились бы в соотношение (1). Эти значения углов можно определить только из соотношений (4).

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Эти значения углов можно определить только из соотношений (4).

Здесь я возражаю против слова 'только'. Углы можно найти непосредственно из (2). И, я думаю, еще несколькими способами.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin

Цитата:

Эти значения углов можно определить только из соотношений (4).

Здесь я возражаю против слова 'только'. Углы можно найти непосредственно из (2). И, я думаю, еще несколькими способами.

Заменяю последнее предложение. Предлагаю такой вариант:
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношение (1) перепишется

$$ u + v = w, \eqno (8) $$

Означающее, что существует вырожденный треугольник с длинами сторон $u, v, w$. Аналогично, для треугольника $T$ с прямым $\angle C$ должны существовать такие значения углов $A$ и $B$ при которых второе и третье соотношения из группы (2), обратились бы в соотношение (1). Поскольку углы $A$ и $B$

острые, то косинусы этих углов должны удовлетворять неравенствам:

$$ 0 < \cos A < 1, 0 < \cos B < 1, \eqno (9) $$

[shwedka]

Согласна.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Согласна.

Если не возражаете, то предлагаю следующее продолжение после неравенств (9):
Найдем для треугольника $T$ зависимость гипотенузы от катетов и косинусов углов $A$ и $B$, для чего сложив оба равенства (4), определим из полученного соотношения гипотенузу $c$

$$ c = \frac {a + b} {\cos A + \cos B}. \eqno (10) $$

[shwedka]

согласна

Хочу, правда, зная Вашу логику, предупредить, что нельзя теперь полагать в последнем равенстве углы $A,B$ по Вашему усмотрению. Это углы треугольника Т и для них должны выполняться соотношения 2,4.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

согласна

Спасибо. Считаем это зафиксированным.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Хочу, правда, зная Вашу логику, предупредить, что нельзя теперь полагать в последнем равенстве углы $A,B$ по Вашему усмотрению. Это углы треугольника Т и для них должны выполняться соотношения 2,4.

Постараюсь эту логику не применять.
Предлагаю идти дальше. Вот зафиксированный текст:
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным и которое может означать, что не существует треугольник с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$, поскольку нарушено основное условие его существования

$$ a^2 + b^2 > c^2. \eqno (6) $$

Обозначим стороны и соответствующие углы вырожденного треугольника:

$$ a^2 = u, b^2 = v, c^2 = w, U, V, W, \eqno (7) $$

Тогда соотношение (1) перепишется

$$ u + v = w, \eqno (8) $$

Означающее, что существует вырожденный треугольник с длинами сторон $u, v, w$. Аналогично, для треугольника $T$ с прямым $\angle C$ должны существовать такие значения углов $A$ и $B$ при которых второе и третье соотношения из группы (2), обратились бы в соотношение (1). Поскольку углы $A$ и $B$ острые, то косинусы этих углов должны удовлетворять неравенствам:

$$ 0 < \cos A < 1, 0 < \cos B < 1, \eqno (9) $$

Найдем для треугольника $T$ зависимость гипотенузы от катетов и косинусов углов $A$ и $B$, для чего сложив оба равенства (4), определим из полученного соотношения гипотенузу $c$

$$ c = \frac {a + b} {\cos A + \cos B}. \eqno (10) $$

Предлагаю следующеепродолжение:
Обозначим через $F_1 (a, b, c)$ соотношение (1) для треугольника $T$ и через $F_2 (u, v, w)$ соотношение (8) для треугольника $S$ и определим порядок этих элементов. По определению (ч. 1, п. 1)получаем для треугольника $T$:

$$ F_1 (ka, kb, kc) = k^2 F_1 (a, b, c), \eqno (11) $$

т. е. $n = 2$, а для треугольника $S$

$$ F_2 (ku, kv, kw) = k F_2 (u, v, w), \eqno (12) $$

т. е. $n = 1$.

[shwedka]

Цитата:

Обозначим через $F_1 (a, b, c)$ соотношение (1) для треугольника $T$ и через $F_2 (u, v, w)$ соотношение (8) для треугольника $S$ и определим порядок этих элементов. По определению (ч. 1, п. 1)получаем для треугольника $T$:

$$ F_1 (ka, kb, kc) = k^2 F_1 (a, b, c), \eqno (11) $$

т. е. $n = 2$, а для треугольника $S$

$$ F_2 (ku, kv, kw) = k F_2 (u, v, w), \eqno (12) $$

т. е. $n = 1$.

Не годится. По определению, размерность имеют не соотношения, а функции.
Можно взять $F_1(a,b,c)=a^2+b^2-c^2$, $F_2(u,v,w)=u+v-w$.
Тогда возражений нет.
Прочитайте личное сообщение,
пжлста.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Не годится. По определению, размерность имеют не соотношения, а функции.
Прочитайте личное сообщение,
пжлста.

А если так?
Введем функции $F_1 (a, b, c) = a^2 + b^2 – c^2$ и $F_2 (u, v, w) = u + v - c$ и определим порядок этих элементов. По определению (ч. 1, п. 1)получаем для треугольника $T$:

$$ F_1 (ka, kb, kc) = k^2 F_1 (a, b, c), \eqno (11) $$

т. е. $n = 2$, а для треугольника $S$

$$ F_2 (ku, kv, kw) = k F_2 (u, v, w), \eqno (12) $$

т. е. $n = 1$.

[shwedka]

Цитата:

$F_2 (u, v, w) = u + v - c$

имелось в виду $F_2 (u, v, w) = u + v - w$ ??
в такой форме согласна

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Цитата:

$F_2 (u, v, w) = u + v - c$

имелось в виду $F_2 (u, v, w) = u + v - w$ ??
в такой форме согласна

Разумеется. Можно считать это продолжение

“Введем функции $F_1 (a, b, c) = a^2 + b^2 – c^2$ и $F_2 (u, v, w) = u + v - w$ и определим порядок этих элементов. По определению (ч. 1, п. 1)получаем для треугольника $T$:

$$ F_1 (ka, kb, kc) = k^2 F_1 (a, b, c), \eqno (11) $$

т. е. $n = 2$, а для треугольника $S$

$$ F_2 (ku, kv, kw) = k F_2 (u, v, w), \eqno (12) $$

т. е. $n = 1$.”
зафиксированным?

[shwedka]

да. фиксируется.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

да. фиксируется.

Теперь, скорее всего, у нас начнуться разногласия. Я согласен с Вами, что никаких численных противоречий здесь не найти. Если бы такое было бы, то оно давно было бы найдено предыдущими поколениями. Как видно из определения порядка измерений – они разные и только это можно использовать. Больше ничего найти нельзя. Только не подумайте, что я Вас уговариваю. Я просто высказываю свое мнение, поскольку Вы считаете, что

shwedka писал(а):

Совершенно верно.
эти углы определены равенствами (4), которые Вы предположили выполненными и пытаетесь довести до противоречия.


Поэтому, мне кажется, продолжение должно быть таким:
Обозначим порядок измерения функций $F_1 (a, b, c)$ и $F_2 (u, v, w)$ соответственно через $n_1$ и $n_2$. Согласно обозначений (7), имеем

$$ F_1 (a, b, c) = F_2 (a^2, b^2, c^2) \eqno (13) $$