Теорема антикосинусов

[TOTAL]

shwedka писал(а):

Yarkin многократно нарушал соглашение
Yarkin многократно совершал подлог
Yarkin многократно проявлял неуважение
Yarkin в последней версии своего доказательства повторил ошибки
Yarkin должен быть дисквалифицирован, обсуждение прекращено, тема закрыта.

Очень жаль! А так хотелось чего-нибудь этакого со счастливым концом:

Моя прекрасная теорема
Фильм, поставленный по знаменитому бродвейскому мюзиклу, шедший в советском прокате, и сейчас сохраняет свое очарование. shwedka удостоена "Оскара" за роль профессора Генри Хиггинса, британского джентльмена, который превратил Элизу Дулитл (роль исполняет Yarkin), продавщицу цветов, доказывателя теорем, кокни (так называют у них простых жителей Лондона), в грациозную леди, научив ее манерам и правильно говорить на английском и даже строить треугольники. Фильм заслуженно удостоен восьми "Оскаров"

[bot]

Brukvalub писал(а):

Yarkin писал(а):

Фиксирование текста доказательства - это ограничение для доказывающего.

Yarkin теперь, вдобавок к остальному, встал у истоков создания новой теории доказательств...

Давно об этом знал, но придерживал - всё равно ведь никто не поверит, что такой полёт мысли возможен.
Однажды после многократных напоминаний, что на каждый входящий должен быть исходящий, взялся писать ответ. И вы знаете, не скажу, что делать мне это было противно - уж очень уморителен был представленный текст. Ну сами посудите (курсивом поясняю о чём речь, а жирным шрифтом выделяю ключевую фразу):

Цитата:

В заключении обсуждения этой ошибки (речь идёт о том, что поиск доказательства Теоремы Ферма не имеет смысла) ещё раз напомню древнегреческого пифагорейца Филолая говорившего о мощи Числа. Ничто в природе не может быть выдуманным, как бы умно это ни было, но наше пребывание в этой природе и наши любые действия, как ни парадоксально, отражаются в числах. Из обобщённой ТП (теоремы Пифагора) следует и нетрудно показать, что если имеет место (или вы так считаете, что),

$$ x+y=z \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

или

$$ x^n+y^n=z^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

где $x,\ y,\ z - $ комплексные числа, $x\ne 0, \ y\ne 0, \ z\ne 0, \ n=1, 2, 3, \dots , $ то в случае (3) записана теорема косинусов, а в случае (4) - обобщённая теорема косинусов.
Так будут выглядеть теоремы в будущем.

Короче говоря, когда я ввязывался в это дело (кто-то же должен начинать), я вполне осознавал, что у меня нет никаких шансов против Яркина - разве лишь просто поколбаситься и попробовать показать несведущим, по возможности кратко, что такое тоже бывает. В силу нехватки времени счёл за благо слинять доведя один из предложенных вариантов до всем понятного (кроме Яркина) логического конца.

Не знаю почему, но Яркин меня не раздражает, видимо потому что забавляет. Я даже пробовал искать точки прикосновения, но к сожалению не нашёл - по холодильным установкам (была проблема, теперь её нет - купил новый холодильник) он не механик, а с велосипедом (по его словам он спец) у меня практически всё в порядке, лет 10 назад заднее колесо спускать начало, так это ерунда - раз подкачал и на неделю хватает.

[TOTAL]

bot писал(а):

была проблема, теперь её нет - купил новый холодильник

А когда Вы в последний раз видели свой холодильник? С помощью свой новейшей системы доказательства Yarkin докажет, что нет у Вас никакого нового холодильника. Вообще холодильников не существует. Ведь если бы холодильник существовал, то его можно было бы рассматривать одновременно как элемент первого и как элемент второго порядка, чего не может быть, поэтому предположение о существовании холодильника ложно. Теорема об антихолодильниках доказана. У кого ещё имеются ненужные вещи?

[bot]

TOTAL писал(а):

Вообще холодильников не существует.

Их не существует до тех пор, пока они работают.
Упс, а ведь у меня и велосипеда нет.

[Yarkin]

bot писал(а):

Не знаю почему, но Яркин меня не раздражает, видимо потому что забавляет.

Позабавтесь в опровержении. Теорема 1 (Теорема косинусов). Если, для отличных от нуля, векторов $x, y,z$ выполняется соотношение

$$ x + y = z \eqno (1) $$

причем векторы $x, y,z$ не коллинеарные, тогда существует треугольник со сторонами $a = |x|, b = |y|, c = |z|$
Доказательство. Для простоты, доказательство осуществим только для двумерных векторов. В уравнении (1) векторы $x, y,z$ представим в тригонометрической форме

$$ x = a (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1), y = b (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2), z = c(\cos \varphi + \sin \varphi), \eqno (2) $$

где $\varphi_1 = arg x, \varphi_2 = arg y, \varphi = arg z.$
Подставляя в (1), получим

$$ a \cos \varphi_1 + b \ cos \varphi_2 + i(a \sin \varphi_1 + b sin \varphi_2) = c(\cos \varphi + i \sin \varphi). \eqno (3) $$

Приравнивая отдельно части при соответствующих единичных векторах, будем иметь

$$ \left\{ \begin{aligned} a \cos \varphi_1 + b \cos \varphi_2 = c \cos \varphi\\ a \sin \varphi_1 + b \sin \varphi_2 = c \sin \varphi.\\ \end{aligned} \right. $$

Возводя обе части этих соотношений в квадрат и складывая, получим

$$ a^2 + b^2 - 2ab \cos (\varphi_1 - \varphi_2) = c^2, \eqno (4) $$

Записав уравнение (1) в виде

$$ z – x = y $$

и проделав процедуру как и с уравнением (1), получим вместо (4)

$$ c^2 + a^2 - 2ac \cos (\varphi_1 - \varphi) = b^2 \eqno (5) $$

Для уравнения

$$ z – y = x $$

аналогично получим

$$ c^2 + b^2 - 2bc \cos (\varphi - \varphi_2) = a^2. \eqno (6) $$

Обозначая

$$ \varphi_1 - \varphi_2 = B, \varphi_1 - \varphi_2 = A, \pi - (\varphi - \varphi_2) = C, \eqno (7) $$

перепишем соотношения (4) – (6) в виде

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (8) $$

Полученные соотношения для шести величин $a, b, c, A, B, C$ имеют место, если они являются значениями элементов треугольника. В виду требований теоремы, углы $ A, B, C$, определяемые по формулам (8) существуют, следовательно они определяют теорему косинусов для указанных шести величин, являющихся значениями элементов треугольника. Тем самым доказано, что существует треугольник, элементы которого принимают значения указанных величин.
Условие, что векторы $x, y,z$ не коллинеарные можно заменить условиями для углов треугольника:

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (9) $$


Из теоремы следует, что операция сложения двух векторов отображает, независимо от нашего сознания, некоторый реальный треугольник со сторонами, две из которых равны модулям слагаемых, а третья – модулю их суммы.
Следствие 1. При натуральном $n > 0$ не существует треугольника со сторонами $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$, для которого имело бы место соотношение

$$ x^n + y^n = z^n. \eqno (10) $$

Чтобы убедиться в этом, достаточно в доказательстве теоремы, в обозначениях (2) положить

$$ x^{n/2} = a, y^{n/2} = b, z^{n/2} = c, \eqno (11) $$
.
Следствие 2. ВТФ сформулирована для пустого множества. Полагая в соотношениях (8) $\angle C = \pi, \angle B = \angle A = 0$ (треугольник не существует), получим из всех трех соотношений – уравнение Ферма (10), для которого, как следует из доказанной теоремы, не существует никаких треугольников со сторонами (11).

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

операция сложения двух векторов отображает, независимо от нашего сознания, некоторый реальный треугольник

Yarkin, приведите пример существующего треугольника.

[AD]

По-моему, пора заканчивать. Yarkin, все уже сказали всё по поводу ваших "доказательств".

Если бы вы их записывали по-человечески, то есть пользуясь математическими терминами, то еще можно было бы почитать. Но тогда бы их и не было. А сейчас влом уже искать, в какое место вы вставили всё тот же самый, не изменившийся с самого начала неверный переход.

[bot]

Yarkin писал(а):

Позабавтесь в опровержении. Теорема 1 (Теорема косинусов). Если, для отличных от нуля, векторов $x, y,z$ выполняется соотношение

$$ x + y = z \eqno (1) $$

причем векторы $x, y,z$ не коллинеарные, тогда существует треугольник со сторонами $a = |x|, b = |y|, c = |z|$

А что опровергать-то? Любите Вы однако крайности. То сформулируете тривиально ложное утверждение, а то и напротив - тривиально верное, а потому совершенно бессодержательное. Здесь - последнее. Вы просто в крайне извращённой форме написали определение сложения векторов по правилу треугольника. Ограничение неколлинеарности лишнее. Никакого касательства к теореме косинусов это правило не имеет и как всякое определение в доказательстве не нуждается.

[TOTAL]

Yarkin, существуют ли прямоугольники? Если да, то приведите пример.

[AD]

Эээ ... Да, заканчивать рано. Какое там! Мы баги ловим!

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Участники расстаются, не тая дурных чувств в отношении друг друга.

Согласен

shwedka писал(а):

В связи с изложенным, прошу оценить состояние дел в обсуждении.

Согласен

shwedka писал(а):

На мой взгляд, Yarkin должен быть дисквалифицирован, обсуждение прекращено, тема закрыта.

Только надо осознать - по чьей инициативе была организована эта "игра" и зачем?

shwedka писал(а):

Со своей стороны, готова ответить

Нет необходимости, все я беру на себя - виноват только я. Вы из игры вышли с честью!

Добавлено спустя 18 минут 55 секунд:

bot писал(а):

Никакого касательства к теореме косинусов это правило не имеет и как всякое определение в доказательстве не нуждается.

Что же математики почти 400 лет ищут треугольник для коллинеарных векторов $x^n, y^n, z^n$? Как сказала бы shwedka, Ваше утверждение является "голословным" - чтобы не доказывать.

Добавлено спустя 16 минут 28 секунд:

TOTAL писал(а):

Yarkin, приведите пример существующего треугольника.

Пожалуйста. Треугольник с длинами сторон $a=3,b=4,c=5$, но к соотношению $a^2 + b^2 = c^2$ это никакого отношения не имеет. Попробуйте доказать обратное, если докажите, то я закрою нежелательную для Вас тему.

Добавлено спустя 4 минуты 44 секунды:

AD писал(а):

А сейчас влом уже искать, в какое место вы вставили всё тот же самый, не изменившийся с самого начала неверный переход.

Надо же, какие хитрые "переходы" может создавать не сведущий в математике - специалисты не могут найти!.

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

TOTAL писал(а):

Yarkin, приведите пример существующего треугольника.

Пожалуйста. Треугольник с длинами сторон $a=3,b=4,c=5$, но к соотношению $a^2 + b^2 = c^2$ это никакого отношения не имеет. Попробуйте доказать обратное, если докажите, то я закрою нежелательную для Вас тему.

Существуют ли квадраты со сторонами соответственно $3,4,5$? Если да, то какова площадь каждого квадрата?

[Yarkin]

TOTAL писал(а):

Существуют ли квадраты со сторонами соответственно $3,4,5$? Если да, то какова площадь каждого квадрата

.

Ответ дает теорема Пифагора.

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

TOTAL писал(а):

Существуют ли квадраты со сторонами соответственно $3,4,5$? Если да, то какова площадь каждого квадрата

.

Ответ дает теорема Пифагора.

Повторяю вопросы.
Существуют ли квадраты со сторонами соответственно $3,4,5$? Если да, то какова площадь каждого квадрата

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin в последней версии своего доказательства повторил ошибки, на которых уже был пойман. В частности, употребляется неопределенное понятие
элементов первого измерения в соотношении,
чем продемонстрировал свою крайнюю невменяемость.

Это исправимо:
Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению

$$ a^2+ b^2 = c^2. \eqno (1) $$

Доказательство. 1. Прежде всего, очевидно, что в соотношении (1) нарушено условие существования треугольника с длинами сторон $a^2, b^2, c^2$

$$ a^2 + b^2 > c^2, $$

но тогда в теореме косинусов, записанной для длин этих сторон

$$ \left\{ \begin{aligned} a^4 + b^4 - 2a^2 b^2 \cos C_1 = c^4\\ c^4 + a^4 - 2a^2 c^2 \cos B_1 = b^4\\ c^4 + b^4 - 2b^2 c^2 \cos A_1 = a^4.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

должны нарушаться условия для углов

$$ 0 < \angle A_1 < \pi, 0 < \angle B_1 < \pi, 0 < \angle C_1 < \pi , \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \pi. \eqno (3) $$

Действительно, все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1) при нарушении условий (3): $(\angle C_1 = 180^0, \angle A_1 = \angle B_1 = 0)$, т. е. треугольник с такими сторонами не существует. Тем самым доказано, что соотношение (1) имеет место, если нарушены условия существования треугольника со сторонами $a^2, b^2, c^2$.
2. Допустим теперь, что для соотношения (1) существует треугольник с длинами сторон $a, b, c $, тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (4) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (5) $$

Возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (6) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (7) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (6). Все три соотношения (4) перейдут в соотношение (1), что недопустимо, поскольку, как установлено выше, для него нарушаются условия теоремы косинусов.
2) Выполняются соотношения (7). Но эти соотношения противоречат основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, для обеих случаев допущение о существовании треугольника с длинами сторон $a, b, c $ неверно. Теорема доказана.
Следствие 1. При натуральном $n > 0$ не существует треугольника со сторонами $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$, для которого имело бы место соотношение

$$ x^n + y^n = z^n. \eqno (8) $$

Чтобы убедиться в этом, достаточно в доказательстве теоремы, в обозначениях (2) положить

$$ x^{n/2} = a, y^{n/2} = b, z^{n/2} = c, \eqno (9) $$
.
Следствие 2. ВТФ сформулирована для пустого множества. Полагая в соотношениях (4) $\angle C = \pi, \angle B = \angle A = 0$ (треугольник не существует), получим из всех трех соотношений – уравнение Ферма (8), для которого, как следует из доказанной теоремы, не существует никаких треугольников со сторонами (9).