Что такое ряд?

[mihaild]

Навеяно обсуждениями в этой теме.

Фихтенгольц писал(а):

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел $a_1, a_2, \ldots$ (1). Составленный из этих чисел символ $a_1 + a_2 + \ldots$ (2) называется бесконечным рядом <...>. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так: $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$

Зорич писал(а):

Выражение $a_1 + a_2 + \ldots$ обозначают символом $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и обычно называют рядом или бесконечным рядом.

Рудин писал(а):

Пусть задана последовательность $\{a_n\}$. <...> Символ $a_1 + a_2 + \ldots$, или, короче, $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ мы будем называть бесконечным рядом или просто рядом.

С этими определениями проблема - а что, собственно, такое "символ"? Хотя бы из какого множества этот объект?

Я всегда думал, что все формулы с использованием $\sum a_n$ - это просто сокращенная запись, раскрывающаяся в "$a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, существует соответствующий предел, ..." (утверждение о существовании предела может быть где-то внутри). Т.е. скажем утверждение $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = a_2 + a_1 + a_3 + \ldots$ формально раскрывается в "для любой последовательности $a$ выполнено, что такой и такой пределы существуют или не существуют одновременно, и если существуют, то равны".
Но вот, кажется, все определяют $\sum$ не как сокращение, а как сразу строчку в языке. И как это формализовать - непонятно.

[arseniiv]

Вообще не вижу, как можно воспринимать это не как сокращение в присутствии записей вида $\sum\limits_{i=0}^\infty a_n = c$. Вот если бы последовательность частичных сумм последовательности $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ имела своё обозначение, скажем, $\sum a$, то не пришлось бы авторам писать «будем называть символ», потому что они могли бы прямо назвать рядом эту $\sum a$ (не называть же им саму последовательность), а говорить не о сумме ряда, а о «пределе ряда».

-- Чт июн 22, 2017 02:21:49 --

А, я отклонился не туда.

mihaild в сообщении #1228094 писал(а):

Но вот, кажется, все определяют $\sum$ не как сокращение, а как сразу строчку в языке.

Как строчку-то почему бы и не формализовать. Но это же будет кошмарный кошмар — надо будет учитывать, из чего можно составлять ряды, а из чего нельзя, так что это или язык с типами должен быть, или даже не знаю…

[Dan B-Yallay]

Во всех вышеприведённых определениях отправной точкой является последовательность. В изначальной же теме никакого разговора о последовательности нет, лишь дано множество значений функций на счётном множестве аргументов. А есть ли на этих аргументах какой-либо порядок -- неизвестно. Разумеется, если мы зададим его сами, то получится нормальный ряд. Но проблема в том, что для каждой функции придётся задавать порядок заново. И для каждой пары в скалярном произведении -- тоже.

Именно по этим формальным соображениям я назвал ту сумму "не-рядом"

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1228148 писал(а):

Как строчку-то почему бы и не формализовать.

Потому что нам придется придумывать, верно ли что-то типа $\sum\limits_n n = \sum\limits_n (n - 1) + \sum\limits_n 1$ и т.д.
(это придется решать в любом случае - когда мы вводим новую переменную, которая будет обозначать сумму, ее надо будет связать каким-то квантором, и в зависимости от этого получится истинное или ложное утверждение, но тут понятно, как это сделать единообразно, а вот если вводить $\sum$ в язык...)

Dan B-Yallay, как формализовывать такие суммы понятно. Но возник вопрос, что же всё-таки такое ряд:)

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1228176 писал(а):

Потому что нам придется придумывать, верно ли что-то типа $\sum\limits_n n = \sum\limits_n (n - 1) + \sum\limits_n 1$ и т.д.

А, ну да, в обычной логике без неопределённых термов ещё и такие проблемы встают, согласен.

[Munin]

У меня мысль такая.
"Символ" - это не формальный термин, а "такая закорючка на бумаге / на доске, которой мы будем это обозначать". На это слово можно наплевать.

Содержательно, речь идёт о том, что имеется числовая бесконечная последовательность $\{a_n\},$ и ей ставится в соответствие другая числовая последовательность $\{s_n\}$ частичных сумм. Понятно, что называть рядом просто последовательность $\{s_n\}$ нелепо. В теории рядов интересна взаимосвязь свойств $\{a_n\}$ и $\{s_n\}.$ Значит, рядом назовём такую пару, исходная последовательность и её образ по этому отображению.

По сути, можно придумать много разных отображений последовательностей в последовательности. Возьмём одно из них, и обозначим $\sum.$ По сути, не важно, как мы его обозначим: в дальнейшей теории это просто некоторое константное отображение. Это не более сложная вещь, чем числовая константа $\pi,$ или функция $\sin,$ или множество $\mathbb{Q}.$ Очевидно, удобно вместо пары $\{a_n\},\{s_n\}$ указывать только один из элементов, а второй получать из первого, дописывая значок $\sum.$

Можно ввести другие такие значки: $\prod$ для частичных произведений, $\scalebox{1.3}{\(\Delta\)}$ или $\scalebox{1.3}{\(\boldsymbol{\ominus}\)}=(\sum)^{-1}.$ И даже заметить симметрию: можно пользоваться $\{s_n\}=\sum\{a_n\},$ а можно $\{a_n\}=\mathop{\scalebox{1.3}{\(\Delta\)}}\{s_n\}.$ Просто первое используется по традиции.

-- 22.06.2017 01:59:28 --

Глянул немного исходную тему. Там был вопрос: что означает $\sum$ по множеству? Это уже, конечно, не ряд. Но можно взять множество подмножеств исходного множества, и даже сильнее, множество конечных подмножеств. И ему сопоставить множество частичных сумм. И исследовать свойства этого образа и отображения.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1228185 писал(а):

Значит, рядом назовём такую пару, исходная последовательность и её образ по этому отображению.

Сначала хотел люто возражать, а через несколько секунд подумал, что это и правда логичнее, чем называть одну последовательность частичных сумм. Но наш подход авторы учебников анализа вряд ли оценят.

[Padawan]

arseniiv в сообщении #1228204 писал(а):

Но наш подход авторы учебников анализа вряд ли оценят.

См. учебник Кудрявцева. Особенно раздел про кратные ряды.

[Markiyan Hirnyk]

См. здесь и здесь. Второй подход (т.е. суммируемое семейство) аккуратнее и современнее.

[Chanzaa]

Munin в сообщении #1228185 писал(а):

рядом назовём такую пару

Лучше называть рядом лишь последовательность $\left\lbrace a_n \right\rbrace$, последовательность слагаемых, - так делает, например, Лоран Шварц (Анализ, том 1, глава 2, параграф 14). Когда мы определяем что-то как пару, мы ведь обычно рассматриваем вторую и последующие компоненты как какие-то внешние искусственные структуры на первой компоненте, которые никак, вообще говоря, из природы первой компоненты не вытекают. Например топологическое пространство - это пара из множества и топологии на нем, причем по множеству никак нельзя увидеть, какая на нем в нашем пространстве будет топология. Но ведь последовательность частичных сумм восстанавливается по последовательности слагаемых однозначно, не может быть двух разных рядов с одной и той же последовательностью слагаемых. Таким образом ряд - это просто синоним для последовательности. Понятие "последовательность частичных сумм" вводим отдельно.

[Munin]

Chanzaa в сообщении #1228233 писал(а):

Когда мы определяем что-то как пару, мы ведь обычно рассматриваем вторую и последующие компоненты как какие-то внешние искусственные структуры на первой компоненте, которые никак, вообще говоря, из природы первой компоненты не вытекают.

Далеко не всегда. Например, комплексное число мы дефинируем как пару действительных чисел. Пары не обязательно должны быть "разнородны по смыслу", просто в этом виде они оказались широко удобны.

Chanzaa в сообщении #1228233 писал(а):

Но ведь последовательность частичных сумм восстанавливается по последовательности слагаемых однозначно

Согласен, но просто без частичных сумм можно говорить просто "последовательность". Возникает вопрос: а что такое теория рядов?

Впрочем, с другой стороны, добиваться абсолютной последовательности терминологии - дело гиблое и бессмысленное.

[Someone]

Chanzaa в сообщении #1228233 писал(а):

Лучше называть рядом лишь последовательность $\left\lbrace a_n \right\rbrace$, последовательность слагаемых

Нехорошо, потому что ряд отождествляется с последовательностью. Я бы определил ряд как формальную сумму $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n$, где $n_0$ — целое число (чаще всего, конечно, $n_0=1$ или $n_0=0$), а переменная $n$ принимает всевозможные целые значения $\geqslant n_0$. А потом уже можно определять частичные суммы и всё прочее.

[Munin]

Someone в сообщении #1228345 писал(а):

Я бы определил ряд как формальную сумму

В этом и вопрос - что такое "формальная сумма"?

[Someone]

А вот эта комбинация символов:

Someone в сообщении #1228345 писал(а):

$\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n$

[wrest]

Someone в сообщении #1228370 писал(а):

А вот эта комбинация символов:

Так ведь в учебниках Фихтенгольца и пр. уже и так и пишут, что "эта комбинация символов" называется "ряд".