2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Someone в сообщении #1228370 писал(а):
А вот эта комбинация символов:
Someone в сообщении #1228345 писал(а):
$\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n$

Вы лезете в ту же яму, в которую пошло начало темы. А что такое "символ", "комбинация символов", "строка", "формула" и так далее.

Можете ответить без ссылок на графическое изображение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Someone в сообщении #1228345 писал(а):
Нехорошо, потому что ряд отождествляется с последовательностью.
А в чем, собственно, возникнет проблема? Одно и то же можно называть двумя разными словами. При этом скажем "член последовательности" и "член ряда" будет означать одно и то же, а "сходящаяся последовательность" и "сходящийся ряд" - нет. Неприятно, но не смертельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
wrest в сообщении #1228375 писал(а):
Так ведь в учебниках Фихтенгольца и пр. уже и так и пишут, что "эта комбинация символов" называется "ряд".
И правильно пишут. Я с ними согласен.

Munin в сообщении #1228376 писал(а):
Вы лезете в ту же яму, в которую пошло начало темы. А что такое "символ", "комбинация символов", "строка", "формула" и так далее.
Это, извините, определяется при формальном построении теории. А на неформальном уровне мы это и без специальных определений понимаем, и нам достаточно сказать "эту бяку мы обозначим вот такой закорючкой".

mihaild в сообщении #1228381 писал(а):
Одно и то же можно называть двумя разными словами. При этом скажем "член последовательности" и "член ряда" будет означать одно и то же, а "сходящаяся последовательность" и "сходящийся ряд" - нет. Неприятно, но не смертельно.
Смертельно. Потому что если термины "ряд" и "последовательность" обозначают одно и то же, то высказывания "последовательность сходится" и "ряд расходится" относятся к одному и тому же объекту, и мы получаем противоречие $A\wedge\neg A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Someone в сообщении #1228390 писал(а):
А на неформальном уровне мы это и без специальных определений понимаем

Ок. Тогда снова вопрос к вам: что такое "формальная сумма"? Закорючку мы оставили на неформальном уровне, но вы предлагаете на неформальный уровень спустить термины "формальная сумма" и "ряд"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Munin в сообщении #1228393 писал(а):
вы предлагаете на неформальный уровень спустить термины "формальная сумма"
А здесь слово "формальная" означает, что мы написали вроде бы сумму, но в арифметике сумма определяется только для конечной последовательности, а мы написали бесконечную. Поэтому эта крякозябра пока что ничего не означает, и наша задача — придать ей смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
А можно я скажу? Можно-можно?

А давайте признаем, что, когда создавалась эта терминология, никто не стремился к ее систематичности и единообразию. А теперь никто не стремится отвергать устоявшуюся терминологию, дабы добиться оной систематичности и единообразия. Это как "ряды с положительными членами", которые на самом деле ряды с неотрицательными, или "круги небесной сферы", которые на самом деле окружности. Или в физике одну и ту же величину называют и "интенсивность", и "яркость", в зависимости от того, рассматривается генерация излучения или его прием.

Ну не нужно вообще понятие ряда, отдельное от понятия последовательности. Выбор одного из двух этих слов - вопрос удобства. Когда мы говорим "партия" - подразумеваем "Ленин" "ряд" - имеем в виду "это последовательность, но мы сейчас будем ее суммировать в каком-либо смысле". Это так же удобно, как говорить "система множеств" вместо "множество множеств" и использовать для абелевых групп аддитивную нотацию, а для неабелевых - мультипликативную. И всё. И не надо ничего формализовывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Someone в сообщении #1228390 писал(а):
Это, извините, определяется при формальном построении теории.
Хорошо, символ. Какого типа и валентности?
Носитель модели - вещественные числа же? Во что тогда интерпретируется $\sum\limits_{n=0}^\infty 1$?
Someone в сообщении #1228390 писал(а):
высказывания "последовательность сходится" и "ряд расходится"
Можно договориться, что словосочетания "ряд (ра)сходится" и "последовательность (ра)сходится" неделимы и означают разное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
mihaild в сообщении #1228399 писал(а):
Можно договориться, что словосочетания "ряд (ра)сходится" и "последовательность (ра)сходится" неделимы и означают разное.
+1

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Someone в сообщении #1228395 писал(а):
А здесь слово "формальная" означает, что мы написали вроде бы сумму, но в арифметике сумма определяется только для конечной последовательности, а мы написали бесконечную. Поэтому эта крякозябра пока что ничего не означает, и наша задача — придать ей смысл.

То есть, мы просто записали "формальная сумма $\{a_n\}$ слагаемых". Тогда это ровно то, что написал я.

Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):
Когда мы говорим "ряд" - имеем в виду "это последовательность, но мы сейчас будем ее суммировать в каком-либо смысле".

И это ровно то, что написал я :-)

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):
Хорошо, символ. Какого типа и валентности?

Вы настаиваете на том, чтобы понимать "символ" формально, хотя авторы всех перечисленных вами учебников заведомо этого в виду не имели?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Munin в сообщении #1228401 писал(а):
Вы настаиваете на том, чтобы понимать "символ" формально, хотя авторы всех перечисленных вами учебников заведомо этого в виду не имели?
Насколько я понимаю, Someone считает, что его можно понимать и формально.
Someone в сообщении #1228390 писал(а):
определяется при формальном построении теории

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 17:15 


05/09/16
11469
Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):
Ну не нужно вообще понятие ряда, отдельное от понятия последовательности. Выбор одного из двух этих слов - вопрос удобства.

А для бесконечного произведения (для которого нет специального слова) вы считаете тоже можно выбрать любое слово из "ряд" и "последовательность" исходя из удобства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Я бы говорил так. "Последовательность" - она и есть последовательность. "Последовательность сходится" означает ее сходимость в топологическом смысле. "Ряд" - последовательность, которую мы сейчас будем суммировать. "Ряд сходится" - эта сумма конечна. "Бесконечное произведение" - последовательность, которую мы сейчас будем перемножать. "Произведение сходится" - в результате перемножения получается число, а не бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):
Ну не нужно вообще понятие ряда, отдельное от понятия последовательности. Выбор одного из двух этих слов - вопрос удобства.
Нет. Понятие ряда настолько ценно, что отождествлять его с последовательностью — это себе руку рубить.

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):
Хорошо, символ. Какого типа и валентности?
Когда затеете полную формализацию математического анализа, продумаете этот вопрос.

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):
Носитель модели - вещественные числа же? Во что тогда интерпретируется $\sum\limits_{n=0}^\infty 1$?
Вы хотите запретить деление? Во что интерпретируется $\frac 10$?

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):
Можно договориться, что словосочетания "ряд (ра)сходится" и "последовательность (ра)сходится" неделимы и означают разное.
Представьте себе, что Вы читаете студентам лекции по математическому анализу. Сначала рассказываете про последовательности, определяете сходимость и расходимость и так далее. Потом переходите к рядам и заявляете, что ряд — это то же самое, что последовательность. Но почему-то используете другое обозначение. И сходимость определяете совсем не так, как для последовательности. Причём, новое определение противоречит старому. Вы уверены, что студенты не запутаются? Не лучше ли определить ряд так, чтобы не путать его ни с чем другим?
Ну ладно, допустим, мы определим ряд как последовательность частичных сумм. Всё замечательно: сходимость ряда — это в точности сходимость последовательности частичных сумм. Но тут вдруг появляются абсолютная и условная сходимости ряда. А почему у нас не было этих понятий для последовательности?
Ой, началась тема "Суммирование расходящихся рядов"! И там рассматриваются вовсе не пределы частичных сумм, а какие-то другие. А где тема "Пределирование расходящихся последовательностей"?

Нет, я, конечно, понимаю, что для последовательностей тоже можно придумать аналогичные определения, только непонятно, зачем они нужны.

Anton_Peplov в сообщении #1228415 писал(а):
Я бы говорил так. "Последовательность" - она и есть последовательность. "Последовательность сходится" означает ее сходимость в топологическом смысле. "Ряд" - последовательность, которую мы сейчас будем суммировать. "Ряд сходится" - эта сумма конечна. "Бесконечное произведение" - последовательность, которую мы сейчас будем перемножать. "Произведение сходится" - в результате перемножения получается число, а не бесконечность.
Я не понимаю, зачем кое-кому хочется всё на свете обозвать одинаково и, соответственно, перепутать.
Со сходимостью произведения Вы не правы: если предел частичных произведений равен нулю, то говорят, что произведение расходится (к нулю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mihaild в сообщении #1228403 писал(а):
Munin в сообщении #1228401 писал(а):
Вы настаиваете на том, чтобы понимать "символ" формально, хотя авторы всех перечисленных вами учебников заведомо этого в виду не имели?
Насколько я понимаю, Someone считает, что его можно понимать и формально.

Судя по тому, как он избегает строгих формулировок, его мнение ровно противоположное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ряд?
Сообщение22.06.2017, 17:52 
Аватара пользователя


04/06/17
183
На math.stackexchange все решили просто:
https://math.stackexchange.com/question ... d-sequence
Цитата:
A sequence is an infinite list of numbers:
$a_1,a_2,a_3,…$
while a series is the formal expression you get when you insert "plus" symbols:
$a_1+a_2+a_3+…$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group