Что такое ряд?

[Munin]

Someone в сообщении #1228370 писал(а):

А вот эта комбинация символов:

Someone в сообщении #1228345 писал(а):

$\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}a_n$

Вы лезете в ту же яму, в которую пошло начало темы. А что такое "символ", "комбинация символов", "строка", "формула" и так далее.

Можете ответить без ссылок на графическое изображение?

[mihaild]

Someone в сообщении #1228345 писал(а):

Нехорошо, потому что ряд отождествляется с последовательностью.

А в чем, собственно, возникнет проблема? Одно и то же можно называть двумя разными словами. При этом скажем "член последовательности" и "член ряда" будет означать одно и то же, а "сходящаяся последовательность" и "сходящийся ряд" - нет. Неприятно, но не смертельно.

[Someone]

wrest в сообщении #1228375 писал(а):

Так ведь в учебниках Фихтенгольца и пр. уже и так и пишут, что "эта комбинация символов" называется "ряд".

И правильно пишут. Я с ними согласен.

Munin в сообщении #1228376 писал(а):

Вы лезете в ту же яму, в которую пошло начало темы. А что такое "символ", "комбинация символов", "строка", "формула" и так далее.

Это, извините, определяется при формальном построении теории. А на неформальном уровне мы это и без специальных определений понимаем, и нам достаточно сказать "эту бяку мы обозначим вот такой закорючкой".

mihaild в сообщении #1228381 писал(а):

Одно и то же можно называть двумя разными словами. При этом скажем "член последовательности" и "член ряда" будет означать одно и то же, а "сходящаяся последовательность" и "сходящийся ряд" - нет. Неприятно, но не смертельно.

Смертельно. Потому что если термины "ряд" и "последовательность" обозначают одно и то же, то высказывания "последовательность сходится" и "ряд расходится" относятся к одному и тому же объекту, и мы получаем противоречие $A\wedge\neg A$.

[Munin]

Someone в сообщении #1228390 писал(а):

А на неформальном уровне мы это и без специальных определений понимаем

Ок. Тогда снова вопрос к вам: что такое "формальная сумма"? Закорючку мы оставили на неформальном уровне, но вы предлагаете на неформальный уровень спустить термины "формальная сумма" и "ряд"?

[Someone]

Munin в сообщении #1228393 писал(а):

вы предлагаете на неформальный уровень спустить термины "формальная сумма"

А здесь слово "формальная" означает, что мы написали вроде бы сумму, но в арифметике сумма определяется только для конечной последовательности, а мы написали бесконечную. Поэтому эта крякозябра пока что ничего не означает, и наша задача — придать ей смысл.

[Anton_Peplov]

А можно я скажу? Можно-можно?

А давайте признаем, что, когда создавалась эта терминология, никто не стремился к ее систематичности и единообразию. А теперь никто не стремится отвергать устоявшуюся терминологию, дабы добиться оной систематичности и единообразия. Это как "ряды с положительными членами", которые на самом деле ряды с неотрицательными, или "круги небесной сферы", которые на самом деле окружности. Или в физике одну и ту же величину называют и "интенсивность", и "яркость", в зависимости от того, рассматривается генерация излучения или его прием.

Ну не нужно вообще понятие ряда, отдельное от понятия последовательности. Выбор одного из двух этих слов - вопрос удобства. Когда мы говорим "партия" - подразумеваем "Ленин" "ряд" - имеем в виду "это последовательность, но мы сейчас будем ее суммировать в каком-либо смысле". Это так же удобно, как говорить "система множеств" вместо "множество множеств" и использовать для абелевых групп аддитивную нотацию, а для неабелевых - мультипликативную. И всё. И не надо ничего формализовывать.

[mihaild]

Someone в сообщении #1228390 писал(а):

Это, извините, определяется при формальном построении теории.

Хорошо, символ. Какого типа и валентности?
Носитель модели - вещественные числа же? Во что тогда интерпретируется $\sum\limits_{n=0}^\infty 1$?

Someone в сообщении #1228390 писал(а):

высказывания "последовательность сходится" и "ряд расходится"

Можно договориться, что словосочетания "ряд (ра)сходится" и "последовательность (ра)сходится" неделимы и означают разное.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):

Можно договориться, что словосочетания "ряд (ра)сходится" и "последовательность (ра)сходится" неделимы и означают разное.

+1

[Munin]

Someone в сообщении #1228395 писал(а):

А здесь слово "формальная" означает, что мы написали вроде бы сумму, но в арифметике сумма определяется только для конечной последовательности, а мы написали бесконечную. Поэтому эта крякозябра пока что ничего не означает, и наша задача — придать ей смысл.

То есть, мы просто записали "формальная сумма $\{a_n\}$ слагаемых". Тогда это ровно то, что написал я.

Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):

Когда мы говорим "ряд" - имеем в виду "это последовательность, но мы сейчас будем ее суммировать в каком-либо смысле".

И это ровно то, что написал я :-)

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):

Хорошо, символ. Какого типа и валентности?

Вы настаиваете на том, чтобы понимать "символ" формально, хотя авторы всех перечисленных вами учебников заведомо этого в виду не имели?

[mihaild]

Munin в сообщении #1228401 писал(а):

Вы настаиваете на том, чтобы понимать "символ" формально, хотя авторы всех перечисленных вами учебников заведомо этого в виду не имели?

Насколько я понимаю, Someone считает, что его можно понимать и формально.

Someone в сообщении #1228390 писал(а):

определяется при формальном построении теории

[wrest]

Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):

Ну не нужно вообще понятие ряда, отдельное от понятия последовательности. Выбор одного из двух этих слов - вопрос удобства.

А для бесконечного произведения (для которого нет специального слова) вы считаете тоже можно выбрать любое слово из "ряд" и "последовательность" исходя из удобства?

[Anton_Peplov]

Я бы говорил так. "Последовательность" - она и есть последовательность. "Последовательность сходится" означает ее сходимость в топологическом смысле. "Ряд" - последовательность, которую мы сейчас будем суммировать. "Ряд сходится" - эта сумма конечна. "Бесконечное произведение" - последовательность, которую мы сейчас будем перемножать. "Произведение сходится" - в результате перемножения получается число, а не бесконечность.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):

Ну не нужно вообще понятие ряда, отдельное от понятия последовательности. Выбор одного из двух этих слов - вопрос удобства.

Нет. Понятие ряда настолько ценно, что отождествлять его с последовательностью — это себе руку рубить.

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):

Хорошо, символ. Какого типа и валентности?

Когда затеете полную формализацию математического анализа, продумаете этот вопрос.

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):

Носитель модели - вещественные числа же? Во что тогда интерпретируется $\sum\limits_{n=0}^\infty 1$?

Вы хотите запретить деление? Во что интерпретируется $\frac 10$?

mihaild в сообщении #1228399 писал(а):

Можно договориться, что словосочетания "ряд (ра)сходится" и "последовательность (ра)сходится" неделимы и означают разное.

Представьте себе, что Вы читаете студентам лекции по математическому анализу. Сначала рассказываете про последовательности, определяете сходимость и расходимость и так далее. Потом переходите к рядам и заявляете, что ряд — это то же самое, что последовательность. Но почему-то используете другое обозначение. И сходимость определяете совсем не так, как для последовательности. Причём, новое определение противоречит старому. Вы уверены, что студенты не запутаются? Не лучше ли определить ряд так, чтобы не путать его ни с чем другим?
Ну ладно, допустим, мы определим ряд как последовательность частичных сумм. Всё замечательно: сходимость ряда — это в точности сходимость последовательности частичных сумм. Но тут вдруг появляются абсолютная и условная сходимости ряда. А почему у нас не было этих понятий для последовательности?
Ой, началась тема "Суммирование расходящихся рядов"! И там рассматриваются вовсе не пределы частичных сумм, а какие-то другие. А где тема "Пределирование расходящихся последовательностей"?

Нет, я, конечно, понимаю, что для последовательностей тоже можно придумать аналогичные определения, только непонятно, зачем они нужны.

Anton_Peplov в сообщении #1228415 писал(а):

Я бы говорил так. "Последовательность" - она и есть последовательность. "Последовательность сходится" означает ее сходимость в топологическом смысле. "Ряд" - последовательность, которую мы сейчас будем суммировать. "Ряд сходится" - эта сумма конечна. "Бесконечное произведение" - последовательность, которую мы сейчас будем перемножать. "Произведение сходится" - в результате перемножения получается число, а не бесконечность.

Я не понимаю, зачем кое-кому хочется всё на свете обозвать одинаково и, соответственно, перепутать.
Со сходимостью произведения Вы не правы: если предел частичных произведений равен нулю, то говорят, что произведение расходится (к нулю).

[Munin]

mihaild в сообщении #1228403 писал(а):

Munin в сообщении #1228401 писал(а):

Вы настаиваете на том, чтобы понимать "символ" формально, хотя авторы всех перечисленных вами учебников заведомо этого в виду не имели?

Насколько я понимаю, Someone считает, что его можно понимать и формально.

Судя по тому, как он избегает строгих формулировок, его мнение ровно противоположное.

[Tiberium]

На math.stackexchange все решили просто:
https://math.stackexchange.com/question ... d-sequence

Цитата:

A sequence is an infinite list of numbers:
$a_1,a_2,a_3,…$
while a series is the formal expression you get when you insert "plus" symbols:
$a_1+a_2+a_3+…$