Что такое ряд?

[wrest]

Someone в сообщении #1228418 писал(а):

Ну ладно, допустим, мы определим ряд как последовательность частичных сумм.

Тогда у нас будут дополнительные терминологические проблемы, потому что членами ряда называют не частичные суммы $s_n=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i$, а члены "исходной" последовательности $a_n$.

[Someone]

wrest в сообщении #1228426 писал(а):

Тогда у нас будут дополнительные терминологические проблемы, потому что членами ряда называют не частичные суммы $s_n=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i$, а члены "исходной" последовательности $a_n$.

Совершенно верно. В общем, как ни крути, а определение ряда должно отличаться от определения последовательности. И, как я вижу из предыдущего сообщения, math.stackexchange определяет ряд как формальную сумму.

[Padawan]

Определение 1. Числовым рядом $\sum\limits_{m\in M (\mathscr F)} f(m)$ на множестве $M$ назовем четверку $(M,f,\mathfrak A, \mathscr F)$, где $f\colon M\to \mathbb R$ -- функция, $\mathfrak A$ -- некоторое семейство конечных подмножеств множества $M$, $\mathscr F$ -- фильтр на $\mathfrak A$ (вместо фильтра можно использовать базу фильтра, не принципиально)
Определение 2. Числовой ряд $\sum\limits_{m\in M (\mathscr F)} f(m)$ называется сходящимся, если существует конечный предел $\lim\limits_{\mathscr F} \sum\limits_{m\in A} f(m)$ (здесь под знаком предела стоит функция от конечного множества $A\in\mathfrak A$, заданная на множестве $\mathfrak A$). Этот предел называется суммой ряда.

Это общее определение из учебника Кудрявцева, только я добавил фильтр на множестве $\mathfrak A$, который Кудрявцев несомненно подразумевал.

Обычный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ соответствует случаю $M=\mathbb N$, $\mathfrak A=\{[1,n]\cap \mathbb N\}_{n\in \mathbb N}$, $\mathscr F$ -- фильтр Фреше на $\mathfrak A$, т.е. фильтр дополнений конечных множеств.

[Brukvalub]

Padawan, что-то вы стесняетесь развернуться во всю мощь! Как я слышал от старших товарищей, как-то раз на мехмате основной курс анализа взялся прочесть Е.Б. Дынкин. Так он экономии времени ради сначала прочел теорию интегрирования в максимальной общности, а потом ввел понятие ряда как интеграла по дискретной мере. Тем самым он "задаром" получил много свойств рядов и т.п.
Вот только на экзамене по его курсу дружно рыдали и студиозы, и преподы...
Хотя, может быть, это только байка, уж больно давно все это было.

[Munin]

Padawan
В вашем определении $\sum\exp((i-1)n)$ - не ряд :-)
Я бы кодомен тоже вынес в $n$-ку определения.

[Padawan]

Brukvalub
Конечно, студентам это давать не стоит. Разве что в виде упражнения :) на дополнительные баллы. Кудрявцев же пишет в своем учебнике (см. Курс математического анализа, том 2, стр. 166 в издании 1988 года (коричневое))

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):

А давайте признаем, что, когда создавалась эта терминология, никто не стремился к ее систематичности и единообразию. А теперь никто не стремится отвергать устоявшуюся терминологию, дабы добиться оной систематичности и единообразия.

Ну, я, например, думал, что это всем тут и так ясно. :)

Anton_Peplov в сообщении #1228397 писал(а):

Ну не нужно вообще понятие ряда, отдельное от понятия последовательности.

Можно всё же, в принципе, отнести это слово к последовательности частичных сумм.

-- Чт июн 22, 2017 22:04:35 --

wrest в сообщении #1228426 писал(а):

Тогда у нас будут дополнительные терминологические проблемы, потому что членами ряда называют не частичные суммы $s_n=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i$, а члены "исходной" последовательности $a_n$.

Ну так традиционно называют членами, а в гипотетическом светлом будущем можно называть как-то тоже коротко, но не членами, и путаницы не будет. Просто сейчас длинно говорить «члены последовательности, породившей (или что-то подобное) ряд», потому и «члены ряда» (раз это не приводит к двусмысленности). Но самоцелью оставление той же семантики этой фразы делать не нужно.

-- Чт июн 22, 2017 22:07:15 --

Это всё к контексту до поста Padawan.

[Chanzaa]

Someone в сообщении #1228345 писал(а):

потому что ряд отождествляется с последовательностью

А в чем разница, в самом деле? Ряд - это последовательность слагаемых, совершенно причем произвольная. Мы говорим, что последовательность имеет сумму, если построенная по ней последовательность частичных сумм сходится. Необходимое условие наличия у последовательности суммы - сходимость оной последовательности к нулю. Сумма последовательности и предел последовательности - два разных понятия, их сложно перепутать.

Munin в сообщении #1228342 писал(а):

а что такое теория рядов?

Часть теории последовательностей. Аналогично с теорией бесконечных произведений.

[mihaild]

Someone в сообщении #1228418 писал(а):

Вы хотите запретить деление?

Да, хочу. Вместе с $\lim$ и всеми остальными не всюду определенными штуками.

Someone в сообщении #1228418 писал(а):

Понятие ряда настолько ценно, что отождествлять его с последовательностью — это себе руку рубить.

Приведете пример утверждения, которое станет сложнее сформулировать, если ввести термины "ряд = последовательность", "сходимость ряда = существование предела последовательности частичных сумм" и т.д.?

Someone в сообщении #1228418 писал(а):

Не лучше ли определить ряд так, чтобы не путать его ни с чем другим?

Лучше. Но, боюсь, разница между определениями "последовательность - это функция $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$" и "ряд - это вот такой символ" слишком велика.

Вообще, я думаю, студенты вполне в состоянии понять, что "сходимость ряда", "сумма ряда" и т.д. - это самостоятельные понятия, а не результат применения общей операции "сумма" к случаю "ряд".

Brukvalub в сообщении #1228459 писал(а):

понятие ряда как интеграла по дискретной мере

Тут никакое слово не пропущено? Потому что $\frac{(-1)^n}{n}$ по считающей мере не интегрируется...

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1228481 писал(а):

Да, хочу. Вместе с $\lim$ и всеми остальными не всюду определенными штуками.

Ну, тут, по-моему, проще перейти к какой-нибудь разновидности free logic. В неформальных обсуждениях неопределённые термы встречаются тут и там, с чего ими жертвовать при формализации?

[Brukvalub]

mihaild в сообщении #1228481 писал(а):

Тут никакое слово не пропущено?

На мой взгляд, ничего не пропущено.

[arseniiv]

А что там было с рядами с переставленными членами, как отражался их порядок?

[Brukvalub]

Деталей я не знаю, я тогда еще природоведение и "Родную речь" учил.

[Someone]

Padawan в сообщении #1228454 писал(а):

Числовым рядом … назовем четверку …

Извините, Вы сами, когда думаете о числовом ряде, представляете себе сумму бесконечной последовательности чисел или четвёрку? У Вас на сто процентов формализованное мышление? Предположим, Вы начинаете изложение теории числовых рядов студентам, которые только недавно ознакомились с началами анализа. Неужели Вы им будете рассказывать про "четвёрки"? Ну никто же не преподаёт арифметику первоклассникам на базе аксиом Пеано.

Определение, которое я привёл, не является формальным, несмотря на употребление слова "формальная"; оно отражает содержательный смысл понятия "числовой ряд": сложение элементов бесконечной последовательности чисел. Чего все развоевались-то? Если кому-то нужно формальное определение, то формализуйте этот содержательный смысл применительно к той ситуации, где оно понадобилось, и радуйтесь, если получилось то, что хотели. Только не забудьте, что одно и то же можно формализовать совсем по-разному.

Тем, кто хочет объявить термин "ряд" синонимом термина "последовательность", нужно всё-таки понять, что ряд и последовательность не являются одним и тем же объектом, и не надо их путать.

Padawan в сообщении #1228463 писал(а):

Кудрявцев же пишет в своем учебнике

У меня издание 1981 года. В четвёртой главе первого тома ряд определяется как пара последовательностей (последовательность членов и последовательность частичных сумм). Очевидно, он категорически не хочет отождествлять ряд с последовательностью его членов.

mihaild в сообщении #1228481 писал(а):

Лучше. Но, боюсь, разница между определениями "последовательность - это функция $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$" и "ряд - это вот такой символ" слишком велика.

Вы утрируете. Я говорил не о символе, а о формальной сумме и её обозначении. И, разумеется, это не всё определение, потому что надо определить, в каком смысле эту сумму надо понимать. Но ведь, определяя ряд как четвёрку или как пару последовательностей, Вы всё равно будете подразумевать сумму и использовать для неё аналогичное обозначение.

mihaild в сообщении #1228481 писал(а):

Someone в сообщении #1228418 писал(а):

Вы хотите запретить деление?

Да, хочу. Вместе с $\lim$ и всеми остальными не всюду определенными штуками.

Варвар.

mihaild в сообщении #1228481 писал(а):

Приведете пример утверждения, которое станет сложнее сформулировать, если ввести термины "ряд = последовательность", "сходимость ряда = существование предела последовательности частичных сумм" и т.д.?

Сходимость ряда и определяется как сходимость последовательности частичных сумм. А вот отождествление понятий "ряд" и "последовательность" приведёт к тому, что придётся каждый раз при появлении последовательности объяснять, что имеется в виду. Или Вы сохраните стандартные обозначения для последовательности и ряда? Тогда Вы лукавите.

mihaild в сообщении #1228481 писал(а):

Вообще, я думаю, студенты вполне в состоянии понять, что "сходимость ряда", "сумма ряда" и т.д. - это самостоятельные понятия, а не результат применения общей операции "сумма" к случаю "ряд".

А где я говорил о «применения общей операции "сумма" к случаю "ряд"»? Я говорил о том, что смысл указанной в определении формальной суммы должен быть определён дополнительным определением.

[mihaild]

Someone в сообщении #1228527 писал(а):

Извините, Вы сами, когда думаете о числовом ряде, представляете себе сумму бесконечной последовательности чисел или четвёрку?

Я не Padawan, и я себе представляю именно последовательность. Потому что если думать сразу о сумме, то становится сложно понимать, что такое перестановка членов.

Someone в сообщении #1228527 писал(а):

Я говорил не о символе, а о формальной сумме и её обозначении. И, разумеется, это не всё определение, потому что надо определить, в каком смысле эту сумму надо понимать.

Тогда встает вопрос - имеет ли вообще какой-то формальный смысл понятие "ряд"? Не "сумма/сходимость/член/... ряда", а именно просто "ряд" (сферический в вакууме)?
(у меня возникает ощущение, что этот вопрос чем-то напоминает "а что такое число - не действительное/рациональное/..., а просто число")

Someone в сообщении #1228527 писал(а):

Или Вы сохраните стандартные обозначения для последовательности и ряда? Тогда Вы лукавите.

Почему? После того, как мы написали пределы суммирования, у нас получается что-то вроде "для любого $x$, равного соответствующему пределу...".

Someone в сообщении #1228527 писал(а):

А где я говорил о «применения общей операции "сумма" к случаю "ряд"»?

Про "сумму" не говорили, про "сходимость" говорили:

Someone в сообщении #1228390 писал(а):

если термины "ряд" и "последовательность" обозначают одно и то же, то высказывания "последовательность сходится" и "ряд расходится" относятся к одному и тому же объекту