Черная дыра: в ней нет материи, но как быть с зарядом?

[Erleker]

Munin Согласен.Но тем не менее заявление того, что в ней нет материи - не философия.Обсуждалось же изначально только вот это:

Цитата:

Хотя они возникли в результате внутреннего взрыва звезды, материя странным образом исчезает в центре черной дыры. Поэтому они состоят лишь из искривленного времени и пространства, в них нет материи.

[Munin]

realeugene в сообщении #1220547 писал(а):

По сути это спор об употреблении слов русского языка. Не вижу смысла его развивать.

Начали-то его вы. С самого начала не надо было развивать.

-- 31.05.2017 16:45:52 --

Erleker в сообщении #1220551 писал(а):

Поправка: в любых координатах, которые несингулярны в точке нахождения материи.

А это значит, в любых неразрывных.

Erleker в сообщении #1220551 писал(а):

То есть для нахождении материи на $r_{g}$ время $t$ стремится к бесконечности, а вот если она находится в $r<r_{g}$, координату $t$ тоже можно использовать*.И вы уже не можете говорить, что "она все еще падает к горизонту", когда она уже давно имеет временную координату $r$ и пространственную $t$.

Про разрыв между картами realeugene вам правильно объяснил: перехода между этими двумя областями в шварцшильдовской координатизации нет.

Erleker в сообщении #1220551 писал(а):

но это же не значит что теперь нельзя использовать после пересечения горизонта $t,r$.Вполне можно.

Можно. Нельзя сказать, с каким смыслом вы их там используете, поскольку у вас нет непрерывности при пересечении горизонта. Так что, ваше "можно" ничего не стоит.

Ну вот почему люди так не любят координаты Эддингтона-Финкельштейна? Потому что не знают ни шиша, что ли? Леметра какого-то затхлого вспомнили. Видимо, кто-то из вас читал только ЛЛ-2 - только там Леметр и упоминается.

-- 31.05.2017 16:46:39 --

Erleker в сообщении #1220556 писал(а):

Но тем не менее заявление того, что в ней нет материи - не философия.

Ну да. Но и не строгое заявление, а так, "на пальцах".

[realeugene]

Munin в сообщении #1220550 писал(а):

По чему вы интегрируете, соответствующей размерности должна быть и форма, чтобы теорему Стокса применять.

Мой вопрос относился к записи, предложенной svv. Интегрируется в любом случае 3-форма, разумеется.

[Erleker]

Munin в сообщении #1220557 писал(а):

Нельзя сказать, с каким смыслом вы их там используете, поскольку у вас нет непрерывности при пересечении горизонта.

Не спорю.Координатные линии действительно получатся разные, бессвязные.
Я поспорил конкретно с этим:

realeugene в сообщении #1220292 писал(а):

А можно взять $t=\operatorname{const}$, т. е. "сейчас по Шварцшильду", и тогда вся материя вместе с её зарядом сейчас всё ещё падает на горизону.

Если realeugene рассматривает материю, прошедшую через горизонт и находящуюся в $T_{-}$ области , то он уже для нее не имеет права брать карту Шварцшильда в $R$ области и говорить, что "она еще падает".Он должен перейти к $t,r$ для $T_{-}$ области.Тем более, это же не просто слова, а он хотел интегрировать.
Так можно говорить, что это "для наблюдателя" , а если хочется описывать движение, интегрировать что-либо в этой области, то это неправильно.

Munin в сообщении #1220557 писал(а):

Ну вот почему люди так не любят координаты Эддингтона-Финкельштейна? Потому что не знают ни шиша, что ли? Леметра какого-то затхлого вспомнили. Видимо, кто-то из вас читал только ЛЛ-2 - только там Леметр и упоминается.

У Новикова/ Зельдовича тоже есть.А вообще, для полного решения (белой и черной дыры) мне нравятся координаты Новикова. В МТУ тоже есть.Просто на реальных падающих частицах нагляднее(лично мне).

[Munin]

realeugene в сообщении #1220560 писал(а):

Мой вопрос относился к записи, предложенной svv. Интегрируется в любом случае 3-форма, разумеется.

Это вопрос соглашений (не стандартизованный, afaik), но скорее, вы правы.
В https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations#Relativistic_formulations
используется такая запись:

$$\mathrm{d}F=0\qquad \mathrm {d} {\star }F=\mu _{0}J\qquad F=\mathrm {d} A,$$

то есть подразумевается, что $J$ - 3-форма.

(Ха! А в русской https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнения_Максвелла#Запись_при_помощи_дифференциальных_форм - наоборот!)

[realeugene]

Мои сомнения связаны с тем, что дуальность Ходжа отображает полиформы (контравариантные антисимметричные тензоры) в дифференциальные формы. И она зависит от метрики через элемент объёма. С другой стороны, то, что написано в русской Википедии под названием "звезда Ходжа" от метрики не зависит совсем. При этом вектора плотности не являются полноценными контравариантными тензорами, так как часто преобразуются не как дифференциалы координат. Я, конечно, могу сильно заблуждаться, но мне кажется, что эта русская традиция несколько некорректна.

[svv]

realeugene в сообщении #1220580 писал(а):

Мои сомнения связаны с тем, что дуальность Ходжа отображает полиформы (контравариантные антисимметричные тензоры) в дифференциальные формы. И она зависит от метрики через элемент объёма.

Я понимаю её именно в таком смысле. Для ясности:
$({}^*\!J)_{\lambda \mu \nu}=\sqrt{|g|}\;\varepsilon_{\varkappa \lambda \mu \nu}\;J^\varkappa$
или
${}^*\!J=\iota_J \;\Omega$,
где $\Omega$ — 4-форма объёма. Значок $\iota$ обозначает interior product.

По мне, $J^\varkappa$ — контравариантный антисимметричный тензор: при перестановке любых двух различных индексов (из имеющегося одного ) меняет знак. Тогда что Вас беспокоит? У меня есть два предположения:
1) ранг тензора $J$ слишком мал, чтобы тензор был «полноценно антисимметричным»;
2) термин «плотность тока» вызывает ассоциации с тензорными плотностями, в закон преобразования которых входит дополнительная хрень.

[Munin]

svv в сообщении #1220716 писал(а):

термин «плотность тока» вызывает ассоциации с тензорными плотностями, в закон преобразования которых входит дополнительная хрень.

А вот это, кстати, хороший повод. Плотность потока - это хрень, физический смысл которой дефинируется именно через интеграл этой хрени по поперечной площадке.

[realeugene]

svv в сообщении #1220716 писал(а):

По мне, $J^\varkappa$ — контравариантный антисимметричный тензор: при перестановке любых двух различных индексов (из имеющегося одного ) меняет знак.

Спасибо за разъяснение. Теперь меня беспокоит то, что стандартный вектор четрехтока - это контравариантный тензор плотности, и если его скормить звезде Ходжа, то на выходе мы не получим дифформу, которую можно интегрировать. Но ваш $J^\varkappa$ - это обычный контравариантный тензор, значит, он не является вектором четырехтока. А что же тогда это такое, и чем именно такая запись лучше?

[Munin]

realeugene в сообщении #1220794 писал(а):

Теперь меня беспокоит то, что стандартный вектор четрехтока - это контравариантный тензор плотности

А почему, кстати, контравариантный?

[realeugene]

Erleker в сообщении #1220562 писал(а):

а он хотел интегрировать.

Я хотел интегрировать? Через сингулярность? Не... Этого я как раз и не хотел.
И во внуреннюю карту Шварцшильда я залазить не хотел. Если мы попытаемся во внешней карте дойти вдоль $t=\operatorname{const}$ до горизонта, по пути мы встретим всю падающую в дыру материю. Зачем нам с ней встречаться повторно?

-- 01.06.2017, 09:29 --

Munin в сообщении #1220799 писал(а):

А почему, кстати, контравариантный?

Потому что индекс сверху. И при преобразовании координат, не зарагивающих объём, он преобразуется как контравариантные вектора.

[svv]

realeugene в сообщении #1220794 писал(а):

Теперь меня беспокоит то, что стандартный вектор четрехтока - это контравариантный тензор плотности, и если его скормить звезде Ходжа, то на выходе мы не получим дифформу, которую можно интегрировать. Но ваш $J^\varkappa$ - это обычный контравариантный тензор, значит, он не является вектором четырехтока.

Простите, не улавливаю разницы. Что такое «тензор плотности»? В выражении «тензор плотности тока» слово «плотность» относится, так сказать, к семантике, а не к синтаксису. Оно не означает, что величина $J ^\mu$ является тензорной плотностью (т.е. тензором веса 1), в закон преобразования которой входит якобиан. Такой величиной будет $J ^\mu\sqrt{|g|}$ .

Короче говоря, плотность тока — обычное векторное поле, ему дуальна 3-форма, интегрируйте её на здоровье.

[Munin]

realeugene в сообщении #1220801 писал(а):

Потому что индекс сверху.

Ну так опустить его вниз не проблема. Хотелось бы более существенных причин.

Я вижу причины иметь индекс снизу. Например, рассмотрим заряженное поле. Его волна имеет волновой ковектор. Значит, и "вектор тока" будет ковектором. И вычисляется он через градиент обычно.

realeugene в сообщении #1220801 писал(а):

Если мы попытаемся во внешней карте дойти вдоль $t=\operatorname{const}$ до горизонта, по пути мы встретим всю падающую в дыру материю.

Кроме той, которая упала в чёрную дыру раньше, включая стадию коллапса.

svv в сообщении #1220803 писал(а):

В выражении «тензор плотности тока» слово «плотность» относится, так сказать, к семантике, а не к синтаксису. Оно не означает, что величина $J ^\mu$ является тензорной плотностью (т.е. тензором веса 1), в закон преобразования которой входит якобиан.

Стоп-стоп-стоп, ну как это? А дефиницию плотности тока не приведёте ли, хотя бы из учебника общей физики?

svv в сообщении #1220803 писал(а):

Такой величиной будет $J ^\mu\sqrt{|g|}$ .

Ну так, может, вы этот множитель просто забыли дописать в вашем выражении через скорости заряженных частиц. А на самом деле, он всегда был внутри этой буквы.

[Erleker]

realeugene в сообщении #1220801 писал(а):

Я хотел интегрировать? Через сингулярность? Не... Этого я как раз и не хотел.

Я не про это.

realeugene в сообщении #1220801 писал(а):

И во внуреннюю карту Шварцшильда я залазить не хотел. Если мы попытаемся во внешней карте дойти вдоль $t=\operatorname{const}$ до горизонта, по пути мы встретим всю падающую в дыру материю. Зачем нам с ней встречаться повторно?

Так вот как раз если у вас материя в $T_{-}$ области, то вы не можете брать для нее $t=\operatorname{const}$ из карты в $R$ области и говорить, что "она еще падает к горизонту"*.
Та карта у вас закончилась после пересечения горизонта.Надо использовать координатную сетку на месте материи.Хоть Шварцшильда, хоть Леметра, хоть Эддингтона-Финкельштейна...И в любой из них описать ее движение в $T_{-}$ области.
*Еще раз - так можно сказать только "для наблюдателя", имея ввиду свет.Но на самом деле она уже прошла горизонт.

[svv]

Munin в сообщении #1220805 писал(а):

А дефиницию плотности тока не приведёте ли, хотя бы из учебника общей физики?
...
Ну так, может, вы этот множитель просто забыли дописать в вашем выражении через скорости заряженных частиц. А на самом деле, он всегда был внутри этой буквы.

4-вектор плотности тока в точке равен произведению инвариантной плотности заряда (т.е. плотности в системе покоя) на 4-вектор скорости:
$J^\mu=\rho_0 u^\mu$

Cсылок сейчас не дам. Дописать $\sqrt{|g|}$ не забыл, внутри $J$ этот множитель не подразумевается.

Если бы $J^\mu$ был тензорной плотностью, уравнение Максвелла $\nabla_{\nu}F^{\mu\nu}=-J^\mu$ было бы нековариантно.
Такая плотность тока не могла бы входить в лагранжиан в виде
$k_1 A_\mu J^\mu+k_2 F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$
($k_1, k_2$ — постоянные скалярные коэффициенты)