Пусть, у нас есть неподвижный заряд как источник поля для уравнений Максвелла. Плотность заряда равна одному кулону на кубометр. Именно такая плотность заряда пропорциональна дивергенции напряженности поля, и она сидит в нулевом элементе вектора четырехтока, при этом, неединичная скорость света закопана в метрике.
Теперь изменим единицу измерения длины с метров на сантиметры. Плотность заряда изменяется с одного кулона на кубометр до одной миллионной кулона на кубосантиметр. Но нулевой компонент контравариантных векторов при изменении пространственных масштабов не изменяется. Неувязочка.
Неувязка разрешается тем, что в уравнениях Максвелла сидит всё-таки не эта плотность, а другая, инвариантная.
В ОТО наше уравнение имеет вид
(где
— константа, зависящая от). В левой части — ковариантная дивергенция тензора, то есть вектор, то есть тензор ранга 1 и веса 0. Значит, и вес правой части 0. (Собственно, на этом можно закончить.)
Так как мы пошли дальше и заинтересовались плотностью, извлечём плотность. Свернём обе части с
. Слева будет
. Это скаляр. Значит, скаляр и правая часть
В Вашем примере плотность использовалась в смысле «количество заряда, содержащееся в координатном параллелепипеде» (в котором вдоль рёбер координаты меняются на 1). Эта величина имеет право на существование, но для ковариантной формы уравнений тем и неудобна, что зависит от системы координат. С другой стороны, её значение в любой системе выражается через инвариант — плотность в системе покоя. Он и используется.
Раньше в СТО использовалось понятие массы, зависящей от скорости. Но и тогда была необходимость в инвариантной характеристике частицы — массе покоя. Энергия свободной частицы зависит от скорости, но в какие-то уравнения входит именно энергия покоя. Использование плотности массы в сопутствующей системе координат не противоречит тому, что вообще плотность от СК таки зависит. И т.д.