Дифференциальные формы в физике

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1205824 писал(а):

Я понимаю, что если нам задан $a^{ik}_{mn}$, то $a^{ki}_{mn}$ это уже какой-то другой обьект, хотя совокупность координат у них одинакова, но здесь мы совершили подстановку индексов.

Как раз разные. Есть теоремка, что совпадение тензоров (из одного и того же пространства) равносильно совпадению набора их координат в каком-нибудь базисе. На самом деле это просто та же теорема для векторов, тут ничего нового не добавляется. Когда вы меняете два индекса $i, k$ местами, вы «транспонируете» тензор — в компонентах ведь это означает то, что для каждого набора значений остальных индексов матрица, которую образуют отличающиеся значениями $i, k$ компоненты, транспонируется.

misha.physics в сообщении #1205824 писал(а):

Пусть теперь нам задан тот же $a^{ik}_{mn}$. Поднимем второй нижний индекс. Запишем всевозможные обозначения: $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$.
Я не понимаю как отсюда выбрать тот обьект, который соответствует исходному $a^{ik}_{mn}$ у которого мы подняли индекс.

Тут как раз важен порядок индексов, чему соответствует порядок аргументов тензора и порядок тензорно перемножаемых пространств в произведении, из которого берётся тензор. Например, если тензор $a\in V\otimes V\otimes V^*$, то у него компоненты $a^{ij}{}_k$; если же $a\in V\otimes V^*\otimes V$, то $a^i{}_j{}^k$. Опускание добавляет звёздочку к пространству, поднятие снимает. Дальше вы правильно с этим обращаетесь:

misha.physics в сообщении #1205824 писал(а):

Пусть например мы ввели единую нумерацию и имеем: $a^{ik..}_{..mn}$. Тогда после поднятия второго нижнего индекса имеем $a^{ik.n}_{..m.}$. Два последних обьекта это один и тот же обьект, или разные но соответствующие друг другу? Конечно разные, говорю я себе, так как у них различные строения.

Да. Несмотря на то, что наборы их координат могли бы совпадать в каком-то случае для какого-то базиса, при смене базиса всё может измениться.

misha.physics в сообщении #1205824 писал(а):

Но что-то здесь меня беспокоит. Мы как бы искусственно вводим эту единую нумерацию. И я почему-то думаю что надо считать $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$ в каком-то смысле одинаковыми.
То есть одинаково возможними пока ми не ввели эту единую нумерацию.

Проблема в том, что мы не можем потом «ввести её назад» однозначным образом. Сравните с функцией $f$ двух аргументов: мы можем поменять их местами, и результирующая функция $g$, определяемая как $g(t, u) = f(u, t)$ получится «похожая» — её график $z = f(x, y)$ отразится в плоскости $x = y$, став графиком $z = f(y, x)$ этой новой функции $g$. Но если мы отождествим все такие пары функций, мы потом обратно разлепить их не сможем.

И в физике, и в математике у отдельных аргументов тензора (его тоже можно рассматривать как функцию — результат его свёртки со сколькими-то векторами и сколькими-то ковекторами, они и будут аргументами) обычно отдельные смыслы, хотя если тензор симметричен по нескольким, они должны будут быть взаимозаменяемыми — это да. Отсюда и порядок. Их можно было бы отличать, дав им разные имена, но индексы с фиксированными обозначениями — это оказывается достаточно неудобным, чтобы предпочесть имена просто порядку.

-- Вс апр 02, 2017 03:55:43 --

(Кстати, помошч по набору таких индексов)

Хотя код можно увидеть, наведя мышь на формулы, объяснение используемой штуки явно полезно! Тут дело в том, что индексы можно добавить к пустой формуле (технически у неё нулевая ширина), которую можно набрать как {} (окружили пустое место и «поймали»). При этом если сделать A_\mathrm{sub}{}^\mathrm{sup}, эта пустая формула будет примыкать к предыдущему тексту совершенно спокойно, отчего и получится, что верхний индекс визуально идёт уже после всего нижнего: $A_\mathrm{sub}{}^\mathrm{sup}$. И дальше можно продолжать в том же духе: $A_a {}^b {}_{cd} {}^{ef}$ A_a {}^b {}_{cd} {}^{ef} — можно для удобства написания втыкать там пробелы, т. к. они отображаются только внутри текстовых блоков, а в формулах игнорируются везде.

[misha.physics]

arseniiv, спасибо. Значит приму пока то что это удобно, чтобы у нас была единая нумерация. Чтобы каждый индекс имел свой порядочный номер.

А вы не знаете имеется ли в Рашевском понятие о прямом произведение, чтобы обьяснялось о тех кружечках с крестиком которые ви написали? А то интересно получается, мы как бы берем по одному индексу из каждого пространства.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1205828 писал(а):

А вы не знаете имеется ли в Рашевском понятие о прямом произведение

Нет, там этого нет. Есть книга И.М. Гельфанда "Лекции по линейной алгебре". Там просто об этом написано.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1205823 писал(а):

А разве можно альтернировать/симметризовать по разновариантным индексам?

Нельзя, я про то же.

misha.physics в сообщении #1205824 писал(а):

Пусть теперь нам задан тот же $a^{ik}_{mn}$. Поднимем второй нижний индекс. Запишем всевозможные обозначения: $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$.

Ну неправда это. Нам могут быть заданы разные объекты, и у них будут разные результаты поднимания:

$\begin{array}{l}a^{ik}{}_{mn}\to a^{ik}{}_m{}^n \\ a^i{}_{mn}{}^k\to a^i{}_m{}^{nk} \\ a_{mn}{}^{ik}\to a_m{}^{nik}\end{array}$

(и ещё 3 варианта, все лень перечислять).

misha.physics в сообщении #1205824 писал(а):

Пусть например мы ввели единую нумерацию и имеем: $a^{ik..}_{..mn}$. Тогда после поднятия второго нижнего индекса имеем $a^{ik.n}_{..m.}$. Два последних обьекта это один и тот же обьект, или разные но соответствующие друг другу?

Строго говоря, разные, но соответствующие. Нестрого - между ними изоморфизм, так что считать ли их разными - вопрос только удобства.

misha.physics в сообщении #1205824 писал(а):

Но что-то здесь меня беспокоит. Мы как бы искусственно вводим эту единую нумерацию. И я почему-то думаю что надо считать $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$ в каком-то смысле одинаковыми.

Это заблуждение.

Попробуйте рассмотреть не какие-то абстрактные тензоры, а вполне конкретные. Например:
- диэлектрическая проницаемость в простейшем случае есть скаляр $\varepsilon$ в соотношении $\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$

однако в анизотропном кристалле легко может возникнуть ситуация, что это тензор 2 ранга,  причём не имеющий какой-то симметрии :

$D^i=\varepsilon^i{}_k E^k$

- теперь приложим к кристаллу внешнее магнитное поле, и измерим зависимость этого коэффициента от мангитного поля:

$\varepsilon^i{}_k=\alpha^i{}_{k\ell}B^\ell.$

Итого, мы получили тензор 3 ранга $\alpha^i{}_{k\ell},$ все три индекса которого разные по смыслу:
- первый - "выходной" - даёт векторный индекс вектора $\mathbf{D}$;
- второй - "входной" - спаривается с векторным индексом вектора $\mathbf{E}$;
- третий - "входной" - спаривается с векторным индексом вектора $\mathbf{B}$;
Не важно, как мы их обозначим, хоть $\alpha^\xi{}_{\pi_0\tilde{\sigma}},$ но путать их нельзя. Нельзя записывать выражение, например, $\alpha^i{}_{\ell k} E^k$ - оно сразу будет бессмысленным.

[misha.physics]

Munin, спасибо за пример. С ним я согласен. Путаница у меня возникла как раз при поднятии/опускании индекса.
Как я сейчас понимаю, запись $a^{ik}{}{}_{mn}$ удобна тем что избавляет нас от неоднозначности при записи поднятых/опущенных индексов. Здесь даже $a^{ik}{}{}_{mn}$ и $a_{mn}{}{}^{ik}$ - различные тензоры, да?
Я рассуждал так, если мы этой записью не пользуемся, то пишем просто $a^{ik}_{mn}$. А при поднятие индекса мы уже не можем отдать предпочтение какому то расположению етого индекса вверху. Где бы ми его не поставили, полученный обьект будет соответствующим данному.
А проблема ёще в том что я привязивался к буквенным обозначениям индексов а не их общим порядком. Если мне дана свертка $a^{ik}_{mn}B_{ik}C^mD^n$, то после поднятие индекса $n$ у $a$, записи $a^{nik}_mB_{ik}C^mE_n$ и $a^{ikn}_mB_{ik}C^mE_n$ я считал равновозможными. Их нельзя рассматривать вместе. Мы должны взять только один вариант, установить общее правило. Между последними двумя записями нет связи в том смысле что нет связи между исходным тензором и тем который ми получаем после поднятия индекса, пока мы не договорились где етот индекс записывать. Зачем такая запись (с единой нумерацией)? Пока единственный мой ответ - для удобства.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1205884 писал(а):

А проблема ёще в том что я привязивался к буквенным обозначениям индексов а не их общим порядком. Если мне дана свертка $a^{ik}_{mn}B_{ik}C^mD^n$

$a^{ik}{}_{mn}B_{ik}C^m D^n=a^{pq}{}_{rs}B_{pq}C^r D^s=a^{mn}{}_{ik}B_{mn}C^i D^k$

То есть, буква индекса нужна только и исключительно для того, чтобы "сшивать" между собой те индексы, которые сворачиваются. И те индексы, которые совпадают по разные стороны знака равенства. Например, $a^i{}_k=b_{km}c^{mi}+d^i e_k.$

misha.physics в сообщении #1205884 писал(а):

А проблема ёще в том что я привязивался к буквенным обозначениям индексов а не их общим порядком.

Точнее, ошибка. Ровно всё наоборот. Место индекса важно, а его обозначение - нет.

misha.physics в сообщении #1205884 писал(а):

Зачем такая запись (с единой нумерацией)? Пока единственный мой ответ - для удобства.

Для смысла. Чтобы его фиксировать.

Ладно, сейчас вам это может быть не очень понятно. Наберётесь опыта - поймёте, что это очень правильно и удобно. Скажем, когда прочитаете первые штук 5-9 глав ЛЛ-2.

[svv]

misha.physics в сообщении #1205789 писал(а):

Говорится, что для того чтобы рассматривать абсолютный дифференциал тензора поля, нам достаточно чтобы тензорное поле было задано вдоль кривой по которой берется приращение к точке.
А вот чтобы посчитать абсолютную производную, нужно чтобы тензорное поле было задано уже в области, в некоторой окрестности точки в которой эта производная взята.

Для дифференциала этого достаточно только тогда, когда рассматриваются только такие приращения координат, которые смещают точку вдоль кривой. Если взять произвольное приращение, знания поля на кривой будет недостаточно.

По поводу абсолютной производной. Более фундаментальное понятие, чем «просто» абсолютная производная тензорного поля $\mathsf T$ — абсолютная производная $\mathsf T$ по направлению вектора $\mathbf v$. Обозначение $\nabla_{\mathbf v} \mathsf T$. Это тензор того же ранга и типа, что $\mathsf T$. Уже в векторном анализе существует такое понятие, как производная по направлению, и это его обобщение.

Если $\mathsf T$ задано только на некоторой кривой $\gamma$, то $\nabla_{\mathbf v} \mathsf T$ в каждой точке $p\in\gamma$ определена лишь для векторов $\mathbf v$, касательных к $\gamma$ в точке $p$. Если поле задано в окрестности $p$ — то для произвольного $\mathbf v$.

Тогда что такое просто абсолютная производная и почему у неё добавляется один ковариантный индекс? Оказывается, $\nabla_{\mathbf v} \mathsf T$ линейна по $\mathbf v$, поэтому для знания абсолютной производной по направлению любого $\mathbf v$ достаточно знать её по направлению базисных векторов $\mathbf e_i$, то есть $\nabla_{\mathbf e_i} \mathsf T$. Последнее коротко обозначается $\nabla_i \mathsf T$, а совокупность этих тензоров для всех значений индекса $i$ образует (в некотором смысле) тензор, на 1 раз более ковариантный, чем $\mathsf T$. Его мы и называем абсолютной производной.

Можно сказать, что это взгляд на изложение Рашевского с точки зрения более современного подхода. Если всё это совсем непонятно, пока забудьте.

[misha.physics]

Снова здравствуйте, вернулся к этой теме, так как снова в замешательстве. Напишу что происходило за это время. Понимаю что форум тематический а не лирический, можете эту историю не читать а сразу перейти к второму абзацу, где я снова прошу у вас совета.
Итак, напомню, началось с того что я читал МТУ, столкнулся с математикой которая там дается и не смог её понять. Потом смотрел Рашевского, разбирался в первых главах, пропускал то что казалось совсем экозтическим. Но до криволинейных координат, связности и т.д. так и не дошел. Хоть книга и не написана в таком уж тяжелом математическом стиле у меня не хватило силы воли её осилить, материала много, сначала не знаешь, что нужно что нет, а разбираться сразу основательно во всем я и не ставил задачу. Потом пошел к ЛЛ2. Разбирая в нем СТО я приятно удивился, что эта книга не такая уж страшная, раньше я почему-то считал её чем то запредельным. Проработал параграфы 1-9, 15-18, потом читал (електродинамику я пропустил, наверное зря но уравнения грав. поля можна получить без неё, а уже потом когда я их пойму, можно будет вернуться к 4-потенциалу и т.д.) 81-85 и на паралельном переносе остановился, появилось чувство что я не полностья понимаю то что было перед этим (например я вообще не разбирал интегрирования в черирехмерном пространстве) и понял что из этого дела не будет. Вообще ЛЛ2 написан проще МТУ. Я сначала думал наоборот, меня обманул обьем этой книги, иллюстрации, и слишком простое изложение вначале. Я знал что в МТУ дается необходимый мат. аппарат, и думал что могу там его изучить из нуля. Но изложения в МТУ оказалось слишком нелинейное, где-то все по-детски понятно и слишком разжевано, а где-то (это начинаеться как раз на 1-формах) я потерялся. Думал что дальше будет понятнее, а там еще больше символов с индексами. Я несколько раз возвращался к МТУ, но теперь вижу что по нему я не смогу вьехать в теорию тяготения, я стал уставать от попыток понять эту книгу, и даже начал терять увереность. К ней, наверное, смогу вернутся когда пойму другие книги по ОТО. Я слишком переоценил свои знания и способности. Но желание у меня осталось, и то что сколько времени нет прогресса меня очень угнетает. Прогресс однако был в понимании СТО, после попыток понять МТУ, и ЛЛ2 я рынулся к другим книгам. Например, лекции Дирака, книга Хрипловича, Паули, Толмен, Меллер, Мак-Витти, Боулер, Фок, Эдингтон... Где-то было сложно, где-то были только приложения ОТО без теоретического фундамента. Некоторые книги были популярные, некоторые "упрощенные" (напр. книга "Гаврилов С. Тензорное исчисление для «чайников»" оказалась для меня ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОЙ я бы советовал её как первую книгу по тензорам для физиков, наверное автор понимает что не всем студентам легко дается обучение (в первую очередь математике нужной для физики), теперь понятно для чего нужны антисим. тензоры и т.д., очень жаль что там не оказалось основ римановой геометрии и основ ОТО, но видимо, ОТО "для чайников" не сущевствует :)). Сейчас я думаю нет необходимости углублять знания по СТО, я хочу уже наконец-то понять как зная зависимость компонент метрики от координат можно найти кривизну многообразия, как вводят символы Крисстофеля, и хотя бы одним способом получить полевые уравнения. И понять хоть на самом элементарном примере как их использовать. Говорят что уравнения ОТО описывають почти все, но как, например, из них получить траекторию камня брошенного под углом к горизонту? Я сомневають что хоть в одной книге это увижу, но ведь это как-то можно получить, это ведь не квантовомеханичесская задача. [Почему практически все авторы учебных пособий по физике бояться разжевать что-то елементарное и даже глупое, но так необходимое для некоторых студентов?] Я хотел заниматься в физике чем то интересным и из двух известных мне фундаментальных современных теорий выбрал ОТО (тогда не представляя что это действительно не просто, и все это на почве максимализма, но сейчас я действительно заинтересовался этой областью, и поэтому прошу помощи и советов от Вас). Ну это я отвлекся. Хочеться больше качественных обьяснений, хотя бы на примере двумерной искривленной поверхности. Да, риманова геометрия на примере двумерной искривленной поверхности, проследить весь процес определения метрики, вычисление растояний, использования принципа найменьшего действия и т.д. (Ну тяжело мне без наглядностей это понять. Почему метрика полностью определяет всю кривизну пространства? Почему она, и производные от неё входят в полевые уравнения?) Я даже когда интеграл в физике вижу стараюсь представлять себе функцию, и бесконечные сумы. Раньше я этого не делал и появлялась иллюзия понимания что на самом деле просходит. Заканчиваю, все вопросы здесь риторичесские.


Хочу вновь у Вас попросить совета относительно обучения. Я понимаю что-для качественного (в смысле не поверхностного и дилетантического) понимания надо изучать эту современную, вообще, сложную теорию, основательно, последовательно со строгой математикой а не так как я сейчас на ходу пытаюсь в неё влиться. Поэтому надо изменить тактику. Но как? Брать Рашевского и читать от корки до корки, повторяя все выкладки, и если что-то не будет понятно, то брать линейную алгебру, а перед этим мат. анализ? Но это кажетсья максимализмом. Хотя раньше я так и делал. Любую книгу читал с самого начала, даже если знал этот материал. Сейчас это кажется глупостью. Проблема в том что не знаешь что нужно с самого начала, что главное, что можно дочитать потом, что экзотика а что вообще абстрактная математика и не надо перегружать могз. Может вы посоветуете еще раз литературу (я не вижу другого способа самообразованию) котораю помогла Вам, и расположите её в порядку сложности. Я брался за много рекомендуемых книг и тех которые находил сам, но бегло просматривая стиль изложения и сложность, сейчас остался практичесски без идей что делать дальше. В этом думаю и проблема. Надо удачно выбрать пару, тройку книг и читать прилагая усилия а не искать такую книгу по ОТО, где бы предусмотрели все мои вопросы и непонятки, и за необходимости напоминали мне что-то из линейной алгебры, мат. анализа, и дифф. уравнений (в некоторой мере с этим хорошо справилась книга Гаврилова о которой я писал, она самодостаточна). ЛЛ2 на первый взгляд тоже самодостаточен, но был бы он более подробный. Была идея читать ЛЛ2 с самого начала и не пропускать ничего, проверять все формулы, если не понятно то спрашивать, но я этого не делал в надежде найти более разжеваное и простое изложения того же материала. Сейчас думаю вернуться к этой идее. Что я хочу сейчас, так это понять почему так важна метрика пространства, как она определяет кривизну, и как получить полевые уравнения. Есть конечно вариант отложить эти вопросы, и читать что-то по математике, того же Рашевского. Ведь забросил я его не столь потому что очень сложно, а утомительно читать афинных пространствах, заниматся аксиоматикой, доказывать единственность нулевого елемента и т.д. Вообще я всё никак не могу убедить себя и поверить что в физике действительно используется такая сложная математика. Я и задаю этот вопрос в ветке для физиков, чтобы они посоветовали то что действительно необходимо. Вы мне уже многого советовали, но я позволяю себе задать этот вопрос ещё раз, в надежде что появиться ещё какая-то новая мысль и совет Пожалуйста отнеситесь с пониманием к моему желанию, способностям и текущим знаниям.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

очень жаль что там не оказалось основ римановой геометрии и основ ОТО, но видимо, ОТО "для чайников" не сущевствует :))

Не существует, да. Чайникам ОТО не нужна

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Хочеться больше качественных обьяснений, хотя бы на примере двумерной искривленной поверхности.

Так вот именно для этого и хорошо бы почитать дифференциальную геометрию! Конкретно оттуда нужно первую и вторую квадратичную форму, главную и среднюю кривизну поверхности, деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Почему метрика полностью определяет всю кривизну пространства?

Theorema egregium - для поверхностей.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Брать Рашевского и читать от корки до корки

Нет. От корки до корки энциклопедические книги читать, имея такую цель, как у Вас, нельзя.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

ЛЛ2 на первый взгляд тоже самодостаточен, но был бы он более подробный

Никогда не соглашался с теми, кто считает возможным выучить нужную для ОТО математику по ЛЛ2. Риманову геометрию и тензорный анализ нужно учить отдельно.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Вообще я всё никак не могу убедить себя и поверить что в физике действительно используется такая сложная математика.

Это сложная?!. Ну-ну. Я не стану приводить примеров тех книг, в которых по-настоящему сложная математика. Вы поймите, что та теория, которую Вы сейчас называете сложной, была по существу разработана в конце XIX века. Главное, что при правильном подходе она становится совершенно прозрачной.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Проблема в том что не знаешь что нужно с самого начала, что главное, что можно дочитать потом, что экзотика а что вообще абстрактная математика и не надо перегружать могз. Может вы посоветуете еще раз литературу (я не вижу другого способа самообразованию) котораю помогла Вам, и расположите её в порядку сложности.

Я в эту тематику вошёл следующим образом. Сначала выучил тензорную алгебру. Тут одну книгу, увы, не посоветуешь. Но мне кажется, что Вы уже подразобрались в этой теме. Потом пошла дифференциальная геометрия. Сначала по Позняку и Шикину "Дифференциальная геометрия. Первое знакомство". Хватило по факту первой половины. Потом переключился на Рашевского. Главным образом на теорию поверхностей, а не кривых. Более того, интерес в первую очередь должно представлять дифференцирование на поверхностях. Т.е. это всё те же темы, о которых я раньше говорил (квадратичные формы поверхности и т.д.). Хорошо бы посчитать что-то для лучшего усвоения. Можно взять задачник Мищенко, Фоменко и Соловьёва. Дальше читал "Введение в теорию внешних форм" Ефимова - отсюда удалось перейти к правильной хорошей формулировке вопросов, с которых тема началась. Наконец, дополнила "джентльменский набор" книга Новикова и Тайманова "Современные геометрические структуры и поля".

Главное понимать, что Вы берётесь за тему необъятную. Всё подряд читать не нужно: Вам нужно понять принцип, основные идеи - а их не так много. Чтобы не опускались руки, нужно стараться искать физические приложения, благо их ну очень много. Взять хотя бы те же книги ЛЛ2 и Новикова-Тайманова. Там много нужных примеров.

[svv]

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Говорят что уравнения ОТО описывають почти все, но как, например, из них получить траекторию камня брошенного под углом к горизонту? Я сомневають что хоть в одной книге это увижу, но ведь это как-то можно получить, это ведь не квантовомеханичесская задача.

Иными словами, как найти траекторию движения пробной частицы в центрально-симметричном гравитационном поле? Допустим, метрика уже известна.
Один подход (с использованием уравнения Гамильтона-Якоби) рассматривается в ЛЛ2, §101.
Другой подход использует инварианты, связанные с векторами Киллинга. См. книгу «Сборник задач по теории относительности и гравитации» (Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски), задача 15.5. (Решение опирается на задачу 10.10.)
Оба способа используют симметрии поля на полную катушку, ведь «тупо» решать уравнение геодезических никому не хочется.
Наверняка есть ещё интересные подходы.

[пианист]

misha.physics
Мне кажется, Вы зря выбросили Дубровин, Новиков, Фоменко.
Всяко не сложнее читается, чем Рашевский или ЛЛ-2.

[specialist]

misha.physics
Кто бы вам что не говорил, а МТУ читается только после основательного изучения мат. аппарата который там используется. Если хотите почитать просто об ОТО (но книжка устаревшая), то откройте книгу П.Г. Бергмана Введение в теорию относительности за 1947 г. более простого изложения я не встречал. Кроме того есть такая книга А. Инфельд Е. Плебанский Движение и релятивизм, в ней есть примерно то что вы ищете, мат. апп. попроще чем в МТУ, но тоже зубодробительный. Ну а для начало просто прочитайте книгу М. Боулера Гравитация и относительность это такой крутой научпоп по ОТО с формулами.

[Dragon27]

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Я знал что в МТУ дается необходимый мат. аппарат, и думал что могу там его изучить из нуля.

Моё личное субъективное мнение - не получится. Книга позиционирует себя как и для начинающих, и продвинутых, но действительно начинающий (тем более с нуля) просто не одолеет. Человек, который уже неплохо знает ОТО может этого не видеть, потому как уже забыл, насколько он реально не понимал "очевидных" (для продвинутых) вещей.
Есть книги более базовые, популярные: Schutz - A First Course in General Relativity, Hartle - Gravity, Moore - A general relativity workbook, более продвинутые: Carroll - Spacetime and geometry, d'Inverno - Introducing Einstein's Relativity. Не обязательно с этим кирпичом МТУшным бороться.

А чтобы изучить дифгем по-хорошему (опять-таки, моё личное мнение неизучившего), надо сначала изучать матанализ, линал (и просто базовую абстрактную алгебру), топологию, исчисление/анализ на многообразиях, набрать некоторой mathematical maturity, а потом уже приниматься за дифгем. Не знаю, насколько это необходимо физику.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Хоть книга и не написана в таком уж тяжелом математическом стиле у меня не хватило силы воли её осилить

У меня тоже.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Проработал параграфы 1-9, 15-18, потом читал (електродинамику я пропустил, наверное зря но уравнения грав. поля можна получить без неё, а уже потом когда я их пойму, можно будет вернуться к 4-потенциалу и т.д.)

Очень сильно зря.

Дело не в том, что электродинамика и гравитация - это разные независимые физические явления. Дело в том, что теория гравитации строится по образу и подобию теории электродинамики. А ЛЛ - это Теоретическая физика. Соответственно, там идёт очень много отсылок назад, которые вы не улавливаете.

Просто совет, вернитесь и прочитайте электродинамику хотя бы в объёме §§ 15-38, 46, 52, 53, 62-63, и может быть, 66-67, 71.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Прогресс однако был в понимании СТО, после попыток понять МТУ, и ЛЛ2 я рынулся к другим книгам. Например, лекции Дирака, книга Хрипловича, Паули, Толмен, Меллер, Мак-Витти, Боулер, Фок, Эдингтон...

Вы пробовали Вайнберга Гравитация и космология? У меня она была где-то среди первых трёх (вместе с ЛЛ-2 и МТУ), и сильно помогла.

После (кроме) неё, ЛЛ-2 и МТУ - всё равно обязательны.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Сейчас я думаю нет необходимости углублять знания по СТО, я хочу уже наконец-то понять как зная зависимость компонент метрики от координат можно найти кривизну многообразия, как вводят символы Крисстофеля, и хотя бы одним способом получить полевые уравнения. И понять хоть на самом элементарном примере как их использовать.

Это всё - Вайнберг. Прямо right off the bat.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Говорят что уравнения ОТО описывають почти все, но как, например, из них получить траекторию камня брошенного под углом к горизонту? Я сомневають что хоть в одной книге это увижу, но ведь это как-то можно получить

Очень легко. Надо взять уравнение ЛЛ-2 (100.14) (а ещё лучше - ньютоновское приближение, вычеркнув малые для Земли члены $r_g/r$), и подставить его в уравнение ЛЛ-2 (87.3).

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Я хотел заниматься в физике чем то интересным и из двух известных мне фундаментальных современных теорий выбрал ОТО (тогда не представляя что это действительно не просто

Я боюсь, вторая ещё гораздо сложней :-)

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Почему метрика полностью определяет всю кривизну пространства?

Это интересно. Для начала, вы понимаете такой факт?

Если взять любой геометрический чертёж, и измерить только расстояния между точками, и потом передать кому-то, то этот кто-то сможет по этим расстояниям полностью восстановить весь чертёж? То есть, не обязательно использовать ни углов, ни площадей, ни каких-либо ещё величин.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Брать Рашевского и читать от корки до корки

Это чревато потерей интереса. Лучше читать то, что читается легко, и поддерживает и разжигает интерес.

(Я сейчас произнесу крамолу.) Можно даже читать научно-популярные тексты между учебниками. А в учебниках - пропускать скучные задачи.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Что я хочу сейчас, так это понять почему так важна метрика пространства, как она определяет кривизну, и как получить полевые уравнения.

Для начала, надо познакомиться с дифференциальной геометрией на совсем простых примерах. Может быть, на детских научно-популярных книжках, может быть, на чём-то уровня
Мищенко, Фоменко. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. Глава 1 и начало главы 4.

misha.physics в сообщении #1216451 писал(а):

Вообще я всё никак не могу убедить себя и поверить что в физике действительно используется такая сложная математика.

Используется, но на уровне вычислений, а не доказательств. А педантичные доказательства физики просто пропускают мимо - конструкция есть, и она работает, чего ещё?

-- 15.05.2017 18:59:24 --

пианист в сообщении #1216497 писал(а):

Мне кажется, Вы зря выбросили Дубровин, Новиков, Фоменко.

Мне кажется, Дубровин-Новиков-Фоменко - зубодробительный справочник.
А из книг "с Фоменко" лучше Мищенко-Фоменко.

specialist в сообщении #1216502 писал(а):

П.Г. Бергмана Введение в теорию относительности за 1947 г.

Извините, я против.

В ОТО был момент, который известен как "Ренессанс" или "Золотой век". Это примерно 60-е годы, это тот момент, когда физики лучше поняли геометрическую сторону ОТО.

Поэтому, книги, написанные до этого момента, вообще говоря, - не самые удачные, по крайней мере, в качестве учебников. ЛЛ-2, например, не блестящ. Хотя у него есть другие преимущества: лаконичность и опора на лагранжеву идеологию, плюс очень тесный параллелизм с электродинамикой. А вот МТУ и Вайнберг (ГиК) - уже из "новой эпохи".

[misha.physics]

Спасибо всем за ответы.
Munin, да, Вайнберга смотрел но не читал, с первого взгляда не оценил его стиля.

Спасибо ещё раз всем. С новыми силами и увереностью буду двигаться дальше. Пока немного отдохну...