Дифференциальные формы в физике

[misha.physics]

Metford, значит, вообще говоря, скалярное произведение двух векторов не имеет смысла, нужно говорить о скалярном произведении вектора на ковектор? Или когда говорят о скалярном произведении двух векторов то подразумевают, что один из этих векторов заменен на соответствующий ковектор, но все равно называют этот скалярный инвариант произведением двух векторов? То есть, под скалярным произведением двух обьектов мы понимаем скалярный инвариант, это что-то типа определения.

[Metford]

Я бы в этом контексте вообще не говорил о скалярном произведении. Лучше говорить о свёртке двух тензоров. Т.е. выглядит это так. У Вас есть два тензора: один ковариантный первой валентности $a_i$, другой - контравариантный первой валентности $b^k$. Вы можете из них составить тензор второй валентности (один раз ковариантный, один раз контравариантный), перемножив их: $a_ib^k$ (кстати, подходящий момент, чтобы подумать над формализацией этого процесса - чтобы базисные векторы в записи не опускались, и запись инвариантной была; я-то всё в компонентах пишу!). Дальше возможна операция, называемая свёрткой - при этом индексы полагаются равными и по ним проводится суммирование: $\sum\limits_ka_kb^k$. Знак суммы при этом обычно опускается (соглашение Эйнштейна называется). Так вот если Вы такую операцию попробуете сделать с произведением двух ковариантных или двух контравариантных тензоров первой валентности, то проводить свёртку будет нельзя. Вообще говоря, нельзя по определению. А по сути, просто операция бессмысленная получится. Свёртка хороша тем, что после её проведения получается снова тензор, но валентности на два меньшей. В случае тензора второй валентности должен получиться тензор нулевой валентности - скаляр то есть. Но для тензора дважды ковариантного или дважды контравариантного при формальной свёртке его индексов скаляр не получится - проверьте сами.

Операция свёртки распространяется на тензоры любой валентности. Главное - чтобы были и верхние, и нижние индексы, так как свёртка проводится всегда по одному верхнему и одному нижнему индексу - только тогда результатом снова будет тензор - величина, преобразующаяся правильным образом. Если проводить свёртку как попало, то результат тензором не будет.

[Munin]

Есть два типа ситуаций:
- просто векторное пространство;
- векторное пространство, снабжённое скалярным произведением.

Со школы кажется, что естественно второе, и оно всегда так, об этом даже как-то не задумываешся. И при "топорно-технарском" введении векторов как элементов $\mathbb{R}^n,$ или матриц-столбцов, тоже кажется совершенно-естественным: ну перемножим все координаты попарно, что тут такого?

Однако в математике идут наоборот, от простого к сложному. Вы это могли заметить в алгебре: сначала вводятся группы, потом кольца, потом поля. Так же и с векторными пространствами: сначала рассматриваются векторные пространства просто так, а потом уже - со скалярным произведением. Можно даже обсудить, как ввести скалярное произведение разными способами.

Пространство без скалярного произведения - "аффинное". Там нет углов. Там можно сравнивать длины, но только вдоль параллельных прямых. Поворотов нет - точнее, они по смыслу не отличаются от других невырожденных преобразований, с масштабированиями и "перекосами".

В пространствах без скалярного произведения:
- из вектора нельзя сделать ковектор;
- они живут в разных пространствах, в принципе не пересекающихся мирах;
- можно взять произведение ковектора на вектор, и всё;
- ни у каких тензоров нельзя опустить или поднять индекс, так что тензоры имеют ранг $(m,n),$ например, линейный оператор $(1,1)$ и билинейная (квадратичная) форма $(0,2)$ никак не взаимосвязаны.

В пространствах со скалярным произведением:
- из вектора можно сделать ковектор "каноническим образом", и обратно;
- между $V$ и $V^*$ существует канонический изоморфизм;
- и поэтому можно вообще не разделять понятия векторов и ковекторов, а вместо этого говорить о "контравариантных координатах (компонентах)" вектора, и о "ковариантных";
- можно брать скалярное произведение вектора на вектор, ковектора на вектор, ковектора на ковектор;
- индексы у тензоров легко поднимаются и опускаются, и можно выбрать какой-то стандартный вид; между линейными операторами и билинейными формами также есть каноническое соответствие.

В общем, не путайте.

[misha.physics]

Metford, Munin, спасибо хорошо обьясняете.
Munin, спасибо (мне всегда было интересно чем отличается векторное пространство с заданым скалярным произведением от "просто" векторного пространства).
Я сначала прочитал "В общем, не пугайтесь"
В общем, мне ещё читать и читать :)

[Munin]

misha.physics в сообщении #1202564 писал(а):

Я сначала прочитал "В общем, не пугайтесь" :-)

Ну, и "не пугайтесь" тоже! :-)

Пример пространства без скалярного произведения - скажем, в физике есть всякие графики, где по осям отложены разные величины в разных единицах измерения. $v(t)$ или $P(V)$ или ещё что-нибудь такое.

[fred1996]

Munin в сообщении #1202566 писал(а):

misha.physics в сообщении #1202564 писал(а):

Я сначала прочитал "В общем, не пугайтесь"

Ну, и "не пугайтесь" тоже!

Пример пространства без скалярного произведения - скажем, в физике есть всякие графики, где по осям отложены разные величины в разных единицах измерения. $v(t)$ или $P(V)$ или ещё что-нибудь такое.

Зато их можно скалярно интегрировать :)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1202562 писал(а):

- из вектора можно сделать ковектор "каноническим образом", и обратно;

Собственно, скалярное произведение --- это ничто иное, как изоморфизм между $V$ и $V^*$. Каждому вектору, скажем, $a$ из $V$ ставится в соответствие линейный функционал $(a,\dots)$ (туда, где многоточие, подставляем аргумент этого функционала, то, на что он действует). Пространство линейных функционалов на $V$ --- это копространство $V^*$ и есть.

Можно начать со скалярного произведения и получить копространство. Можно наоборот: начать с копространства и получить скалярное произведение. Кому как нравится.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1202620 писал(а):

Собственно, скалярное произведение --- это ничто иное, как изоморфизм между...

Не просто изоморфизм, а изоморфизм, обладающий определенными свойствами.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1202631 писал(а):

Не просто изоморфизм, а изоморфизм, обладающий определенными свойствами.

Мне как-то казалось, что может быть любой изоморфизм, лишь бы он был согласован со структурой линейного пространства (а значит его достаточно определить на базисных элементах). Я не прав? Приведите контрпример изоморфизма порождающего билинейный функционал $(a,b)$ не обладающий свойствами скалярного произведения (скалярных произведений, естественно, может быть определено много разных).

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1202892 писал(а):

любой изоморфизм, лишь бы он был согласован со структурой линейного пространства

А иначе он не был бы изоморфизмом.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1202892 писал(а):

Приведите контрпример изоморфизма порождающего билинейный функционал не обладающий свойствами скалярного произведения

Элемент отождествлен сам с собой, но билинейная форма либо не является симметричной, либо симметрична, но соответствующая квадратичная форма не является положительно определенной. Помимо всяких артефактов, рассмотрим форму на чётномерных пространствах $\mathbb{R}^{2n}\ni (x,y) : \sigma((p,q),(p',q')=\langle p,q'\rangle - \langle p',q\rangle$. Это так называемая симплектическая форма, и существует даже "симплектическая линейная алгебра"...

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1202899 писал(а):

либо симметрична, но соответствующая квадратичная форма не является положительно определенной.

Это физиков не смущает. Они считают, что можно соответственно расширить понятие скалярного произведения. Например, именно таково скалярное произведение 4-векторов в пространстве-времени специальной теории относительности (СТО) (в пространстве Минковского).

Red_Herring в сообщении #1202899 писал(а):

но билинейная форма либо не является симметричной

А вот это интересно. "Симплектическая форма" - это крайний случай, когда антисимметричная часть есть, а симметричной нет вообще. Но может быть и их сумма.

[arseniiv]

Вот хотел я написать, что неочевидно, что (если $f\colon V\to V^*$ — изоморфизм) $f(u)v = f(v)u$ (что и давало бы симметричность), а оно, оказывается, и вообще неверно! Ну, расписал бы простой пример и сам бы, конечно, сразу увидел.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1202901 писал(а):

Это физиков не смущает. Они считают, что можно соответственно расширить понятие скалярного произведения

Можно... но только осторожно. Рассмотрим операторы, симметрические в таком псевдоскалярном произведении. Вещественные, в размерности 2. Тогда их собственные значения не обязательно вещественные и жордановы клетки не обязательно 1-мерные.

[Munin]

Ну а что поделать.