Дифференциальные формы в физике

[warlock66613]

misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):

Ведь и те и другие задаються набором $n$ чисел.

Одни наборами чисел задаются (и в зависимости от базиса один и тот же вектор будет задаваться разными наборами), а другие этими наборами являются. Иначе говоря, в первом случае ни один базис никак не выделен, а во втором есть выделенный базис, в котором набор координат вектора является самим вектором.

[svv]

misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):

А то я раньше всегда проверял чтобы индексы стояли так чтобы строка первой матрицы умножалась на столбец второй :)

Да, тензорные обозначения дают в этом плане большую свободу, это их преимущество.

В то же время, в тех случаях, когда мне при тензорной записи легко соблюсти ещё и правильный матричный порядок (нижний индекс предыдущего множителя сворачивается с верхним индексом следующего множителя), я его соблюдаю (не ожидая этого от других). Так, чтобы легко, почти автоматически, получалась матричная запись. См. примеры ниже.

misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):

Кстати в Рашевском мне не очень понравилось обозначение для матриц прямого и обратного перехода с помощью штрихов над верхним или над нижним индексами. Я у себя обозначаю просто $A^i_k$ и $B^m_n$, а для координат в новой системе использую "тильду".

Тильда и мне нравится больше штриха. А вот остальное, мне кажется, напрасно. Покажу свои любимые обозначения:
$\tilde {\mathbf e}_k=\mathbf e_i P^i{}_{\tilde k} \quad\quad \mathbf e_i=\tilde{\mathbf e}_k P^{\tilde k}{}_i$
И тогда
$P^i{}_{\tilde k}P^{\tilde k}{}_\ell=\delta^i_\ell \quad\quad P^i{}_{\tilde k} P^{\tilde k}{}_{\hat\ell} P^{\hat\ell}{}_m=\delta^i_m$
В последней формуле появляется третья система координат.

Вот какие правила я соблюдаю здесь и всюду, где это возможно (но не требуя этого от других):
$\bullet$ Упомянутая «матричная правильность».
$\bullet$ Векторы обозначены полужирным, чтобы разгрузить формулу от лишних значков.
$\bullet$ Индексы матрицы перехода записаны не друг под другом, а со сдвигом, так, чтобы было ясно, какой первый (номер строки), а какой второй (номер столбца) в матричной форме. Первый-верхний соответствует системе, «из которой», второй-нижний — «в которую» переход, это полезно запомнить.
$\bullet$ Если тильда относится ко всем индексам (как в тензорах), она пишется над буквой тензора. Если к отдельным индексам, то над индексом.
$\bullet$ Каждая индексная буковка закрепляется за своей системой координат, и это соглашение распространяется на все формулы пункта текста.
$\bullet$ Вместо $l$ я использую лучше различимую $\ell$ \ell.

[misha.physics]

Metford, да об изоморфизме читал.
После сообщения warlock66613 я подумал о таком:
Рассмотрим векторное простраство геометрических векторов ${(\vec a, \vec b ,...)}$.
Рассмотрим векторное простраство упорядоченных наборов из $n$ чисел $(a, b,...)$, где $a=(a_1,...,a_n)$.
До этого момента это определенно разные пространства. Теперь мы в первом прострастве зададим базис, тогда каждый вектор можно рассматривать как набор упорядоченных чисел ${(a_1,...a_n)}$ относительно выбранного базиса. В то время как для второго простраства наборы чисел являются в некотором смысле абсолютными. Хотя я и не уверен что я сейчас правильно понял.

[arseniiv]

svv в сообщении #1205779 писал(а):

Индексы матрицы перехода записаны не друг под другом, а со сдвигом, так, чтобы было ясно, какой первый (номер строки), а какой второй (номер столбца) в матричной форме.

А помните, мы добавляли «псевдоиндексы» базисов к обозначениям матриц, чтобы они «сворачивались» при их композиции ожидаемым образом? Конечно, получается у каждой по четыре индекса, но зато точно не запутаться!

UPD. Ах да, ну и к обозначениям базисных векторов, конечно. И пояснение для ТС: делалось вот так: пусть у нас есть два базиса, тогда векторы одного из них назовём, скажем, $\mathbf e^{(I)}_i$, а другого — $\mathbf e^{(II)}_i$. Тогда для определения $P^{(I)}_{(II)}$ имеем

$$\mathbf e^{(I)}_i = P^{(I)}_i{}_{(II)}^j\mathbf e^{(II)}_j,$$

где в обозначении матрицы перехода мы можем сгруппировать вместе индекс и «тип базиса», координаты в котором перебирает этот индекс. Всё остальное получится автоматически:

$$x^i_{(II)} = P^{(I)}_j{}_{(II)}^i x^j_{(I)},$$

перепутать индексы тут не получится — свёртка не сойдётся.

Хм, да, легковеснее выходит отличать индексы координат в разных базисах штрихами и прочей диакритикой.

UPD2. Или у нас было что-то другое, а я вспомнил неправильно.

[warlock66613]

misha.physics, ну правильно: указанные пространства изоморфны, а задавая базис вы задаёте тем самым конкретный изоморфизм.

[misha.physics]

svv, я сейчас пользуюсь следующей записью (которую и придумал), которая мене пока не запутывала (тоже захотелось поделится ):
$\tilde{\vec e}_i=A^k_i \vec e_k$
$\vec e_k=B^i_k \tilde{\vec e}_i$

$AB=E$

$\tilde{a}^{i_1...i_p}_{k_1...k_q}=A^{n_1}_{k_1}...A^{n_q}_{k_q}B^{i_1}_{m_1}...B^{i_p}_{m_p}a^{m_1...m_p}_{n_1...n_q}$
$a^{m_1...m_p}_{n_1...n_q}=B^{k_1}_{n_1}...B^{k_q}_{n_q}A^{m_1}_{i_1}...A^{m_p}_{i_p}\tilde{a}^{i_1...i_p}_{k_1...k_q}$

Причем матрицы определяются так, что верхний индекс обозначает строку а нижний - столбец. То есть коеффициенты разложения базисных векторов надо "транспонировать" и потом уже "вкласть" в матрицу.

На бумаге немного проблематично обозначать векторы полужирным шрифтом :) Я иногда так делаю для операторов (теперь уже и для аффиноров, как я понял из Рашевского, это одно и тоже). Для линейных конечно.

-- 01 апр 2017, 21:49 --

Вот, ёще вспомнил, что мне было не совсем понятно:
Говорится, что для того чтобы рассматривать абсолютный дифференциал тензора поля, нам достаточно чтобы тензорное поле было задано вдоль кривой по которой берется приращение к точке.
А вот чтобы посчитать абсолютную производную, нужно чтобы тензорное поле было задано уже в области, в некоторой окрестности точки в которой эта производная взята. Сейчас у меня есть только идея, что это может быть связано с тем что для производной нам надо, в процессе, вычислять

$$\frac{dx^i}{d \tilde{x}^k}$$

.
Но не уверен.
А правильно ли что, "эта окрестность" должна вмещать в себе "эту елементарную кривую" вдоль которой береться дифференциал?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1205789 писал(а):

svv, я сейчас пользуюсь следующей записью

svv вам не зря советовал упорядочивать индексы многоиндексных символов по порядку. Даже если они идут сверху или снизу поочерёдно. Привычка к этому делу сильно помогает в тензорных выкладках.

[misha.physics]

Munin, наверное я пока не столкнулся с ситуациями где бы это меня запутывало. Хотя уже в операциях поднятия/опускания индексов приходится использовать точки чтобы не запутаться. Может есть и какие-то другие примеры.

Но этот порядок мне пока непонятен. Пусть у нас есть $a^i_k$, опустим верхний индекс. Тогда у нас есть два варианты записи: $a_{ik}$ и $a_{ki}$. Но ми ведь не знаем который индекс считать в $a^i_k$ первым а который вторым. Значит должно быть какое-то соглашение...

Пока понятно, что в случае с метрическим тензором неважно который индекс поднимать, ведь он симметричен.

Может быть я пойму на примере, зачем нам этот порядок.
Имеем $a^{ik}_{mn}$. Поднимаем второй индекс: $g^{ns}a^{ik}_{ms}=?$, вот здесь непонятно что будет означать если мы напишем что это равно $a^{ikn}_m$ или $a^{nik}_m$, то есть чем отличаються эти тензоры и что будет означать если мы выберем какой-то вариант записи.

[Munin]

Такое соглашение есть. И оно в каждом тензоре своё собственное. Когда тензор вводят, тогда и соглашение устанавливают. Это аналогично тому, как когда вы придумываете функцию с многими аргументами, то уточняете смысл каждого из аргументов по отдельности. (Тензор и есть такая функция.)

Вам пока могли встречаться простые примеры тензоров, например, метрический. Метрический тензор симметричен, и в нём не будет проблем от перепутывания первого со вторым индексом. Но есть тензоры, которые от этого меняют знак, а есть такие, которые вообще никакой связи между "нормальным" и "перепутанным" порядком не имеют.

misha.physics в сообщении #1205805 писал(а):

Пусть у нас есть $a^i_k$, опустим верхний индекс. Тогда у нас есть два варианты записи: $a_{ik}$ и $a_{ki}$.

Обычно так: пусть у нас есть $a^i{}_k.$ Опустим верхний индекс: получится $a_{ik}.$ Другого варианта получиться не может.
Если же у нас изначально был $a_k{}^i,$ то при опускании верхнего индекса получится заведомо $a_{ki}.$
То есть, порядок индексов устанавливают ещё тогда, когда индексы "стоят на разных этажах".

А полный цикл "индексной гимнастики" для одного тензора выглядит так: $a^i{}_k\leftrightarrow a_{ik}\leftrightarrow a_i{}^k\leftrightarrow a^{ik}.$

[misha.physics]

Сейчас я вижу такую потенциальную проблему. Например нам дан $a^{ik}_{mn}$. Пусть мы по первому и второму нижних индексах произвели альтернирование. Теперь поднимаем второй нижний индекс, например мы запишем $a^{nik}_m$ или $a^{ikn}_m$. Да, теперь мы уже не можем сказать что альтернированные индексы у нас первый и второй нижние. Для того чтобы такое было возможно нам надо сразу ввести единую нумерацию как верхних так и нижних индексов. Но если мы например будем указывать не порядок альтернированых индексов а явно называть их, в нашем случае: альтернирование совершено по индексам $m$ и $n$. Значит ли это что отпадает необходимось в единой нумерации?

Или, вот в чем здесь дело: если $a^i_k$ мы понимаем как матрицу, где верхний индекс строка, а нижний - столбец. То при поднятии индекса мы должны получить $a^{ik}$, где первый индекс - строка, второй - столбец? Это если мы так договоримся... Вообщем, чем больше узнаю нового тем больше возникает вопросов :) И это, как я думаю, конечно хорошо

[Metford]

misha.physics
Нередко при выполнении альтернирования соответствующие индексы заключают в квадратные скобки. А вообще, в сложных случаях лучше просто лишний раз явно прописать, что именно понимается в используемой записи.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Кстати, по-моему, все эти скобочки и запятушечки (для дифференцирования) вокруг-между индексами — не менее гениальная вещь, чем «основное» (суммирование по немым индексам, верхние и нижние). Кто их придумал? Третью замечательную вещь — что их можно понимать все формально, не думая о компонентах вообще — уже, вроде, осветил Пенроуз (не верю, что раньше не додумались).

[Munin]

misha.physics в сообщении #1205815 писал(а):

Но если мы например будем указывать не порядок альтернированых индексов а явно называть их, в нашем случае: альтернирование совершено по индексам $m$ и $n$. Значит ли это что отпадает необходимось в единой нумерации?

Вот названия индексов обычно никакой роли не играют. Их переименовывают для удобства как угодно.

А симметризацию и антисимметризацию обычно записывают так: $a_{(mn)}{}^{ik},a_{[mn]}{}^{ik}.$ Да, вы правы, что если поднять один из индексов, то этого уже не будет явно видно. Однако такие индексы обычно удобно держать "на одном уровне". Кстати, если их оба поднять, то симметричность/антисимметричность восстановится (проверьте).

-- 02.04.2017 00:56:22 --

Запятые приняты в ОТО, но в других областях часто приняты другие обозначения. Самые неудобные - в учебниках ДУЧП/УМФ, где штрихов вообще не ставят, $u_{xx}$ - вторая производная от $u.$ Самые удобные - в книжках по теории поля, где пишут префикс $\partial_i$ для частной производной, и $D_i$ - для ковариантной (можно и $\nabla_i$ при желании). Префиксы позволяют производную, как оператор, оторвать от функции.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1205819 писал(а):

Да, вы правы, что если поднять один из индексов, то этого уже не будет явно видно.

А разве можно альтернировать/симметризовать по разновариантным индексам? Получается же бессмысленный результат. Я не против формальных сумм, но не видно, кому бы понадобилась вот такая.

[misha.physics]

Мне почему-то тяжело сформулировать главный вопрос который меня сейчас волнует, и поэтому я пробую снова и снова.
Пусть нам задан $a^{ik}_{mn}$. Это какой-то геометрический или физический обьект. Я понимаю, что если нам задан $a^{ik}_{mn}$, то $a^{ki}_{mn}$ это уже какой-то другой обьект, хотя совокупность координат у них одинакова, но здесь мы совершили подстановку индексов.
Пусть теперь нам задан тот же $a^{ik}_{mn}$. Поднимем второй нижний индекс. Запишем всевозможные обозначения: $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$.
Я не понимаю как отсюда выбрать тот обьект, который соответствует исходному $a^{ik}_{mn}$ у которого мы подняли индекс.
Пусть например мы ввели единую нумерацию и имеем: $a^{ik..}_{..mn}$. Тогда после поднятия второго нижнего индекса имеем $a^{ik.n}_{..m.}$. Два последних обьекта это один и тот же обьект, или разные но соответствующие друг другу? Конечно разные, говорю я себе, так как у них различные строения. Но что-то здесь меня беспокоит. Мы как бы искусственно вводим эту единую нумерацию. И я почему-то думаю что надо считать $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$ в каком-то смысле одинаковыми.
То есть одинаково возможними пока ми не ввели эту единую нумерацию. Но зачем ёе вводить то, задаю я себе вопрос.

Вот если бы мы всегда когда поднимаем любой нижний индекс, дописывали бы его наверху в самом конце или вначале, мы ведь получили бы какой-то обьект, который соответствует исходному. Вот здесь я думаю ближе к тому что имею ввиду.