Пролетело..

[DimaM]

dovlato в сообщении #1202659 писал(а):

Так вот я думаю, что вполне достаточно быть ему телом вращения - любой формы. И при данной массе и прицельном расстоянии эффект будет ровно таким же.

Так я ж привел пример, когда это не так.

[dovlato]

Разве? Думаю, нет.
Повторяю условия: тело вращения заданной массы, движущееся с большой скоростью вдоль своей оси симметрии,
пролетает мимо песчинки настолько быстро, что во время прохождения тела мимо неё она ещё почти не успевает сдвинуться.
Такой гравитационный щелчок.

[dovlato]

Приведу своё решение.
Рассмотрим сначала точечное тело, массой $M$, летящее по прямой с постоянной скоростью $v_0$ мимо песчинки. Прицельное расстояние $r$.
Пусть произвольный малый элемент $dx$ траектории этого тела находится на расстоянии $R$ от песчинки.
Тело будет находиться в этом элементе в течение времени $dt=dx/v_0$.
За это время песчинка приобретёт приращение составляющей скорости, перпендикулярной траектории тела

$$dv=GM\frac r{R^3}\frac{dx}{v_0}$$

Параллельно с этим будем рассматривать другую модель, где однородная тяжёлая нить с линейной плотностью $\mu$ находится на таком же расстоянии $r$ от песчинки. Аналогичный элемент нити обеспечивает приращение ускорение песчинки

$$da=G\frac r{R^3}\mu dx$$

Отношение этих двух приращений

$$\frac{dv}{da}=\frac M{\mu v_0},$$

откуда

$$\frac va=\frac M{\mu v_0}$$

Заметим, что векторы $\mathbf v, \mathbf a$ в каждой точке, где может находиться песчинка, ориентированы одинаково. Отсюда вытекает, что потоки скоростей $\mathbf v$ и ускорений $\mathbf a$ через каждый погонный метр воображаемой боковой цилиндрической поверхности - будут находиться ровно в таком же отношении. То есть

$$\frac{\Phi_v}{\Phi_a}=\frac M{\mu v_0}$$

Но из теоремы Гаусса нетрудно получить, что

$$\Phi_a=4\pi G\mu$$

Отсюда

$$\Phi_v=4\pi G\frac M{v_0}$$

И, следовательно, для точечного тела получаем, что песчинка приобретёт скорость, перпендикулярную траектории тела, равную

$$v=\frac{\Phi_v}{2\pi r}=2G\frac M{rv_0}$$

Теперь заметим, что если будут пролетать не одно, а произвольное количество тел с параллельными траекториями и, допустим, с одинаковыми величинами скоростей, то в формуле для потока $\Phi_v$ достаточно просто заменить массу $M$ на сумму масс этих тел. В очень частном случае, когда эти массы образуют некое тело вращения, то из симметрии задачи следует, что величина скорости $\mathbf v$ будет зависеть от прицельного расстояния $r$, но не от азимутального угла. А следовательно, полученная выше формула для $v$ останется в силе. На самом деле эта симметрия будет сохранена и в гораздо более общем случае, если, например, проекция всех пролетающих с одинаковыми скоростями масс на поперечное сечение воображаемой поверхности будет обладать круговой симметрией.

[Munin]

Только после темы «Кольцо, нить» (январь 2019) я наконец-то понял идею авторского решения этой задачи. И поддерживаю, что она красива!

[dovlato]

Я только сейчас заметил пост Munin’a. Спасибо!