Приведу своё решение.
Рассмотрим сначала точечное тело, массой
, летящее по прямой с постоянной скоростью
мимо песчинки. Прицельное расстояние
.
Пусть произвольный малый элемент
траектории этого тела находится на расстоянии
от песчинки.
Тело будет находиться в этом элементе в течение времени
.
За это время песчинка приобретёт приращение составляющей скорости, перпендикулярной траектории тела
Параллельно с этим будем рассматривать другую модель, где однородная тяжёлая нить с линейной плотностью
находится на таком же расстоянии
от песчинки. Аналогичный элемент нити обеспечивает приращение ускорение песчинки
Отношение этих двух приращений
откуда
Заметим, что векторы
в каждой точке, где может находиться песчинка, ориентированы одинаково. Отсюда вытекает, что потоки скоростей
и ускорений
через каждый погонный метр воображаемой боковой цилиндрической поверхности - будут находиться ровно в таком же отношении. То есть
Но из теоремы Гаусса нетрудно получить, что
Отсюда
И, следовательно, для точечного тела получаем, что песчинка приобретёт скорость, перпендикулярную траектории тела, равную
Теперь заметим, что если будут пролетать не одно, а произвольное количество тел с параллельными траекториями и, допустим, с одинаковыми величинами скоростей, то в формуле для потока
достаточно просто заменить массу
на сумму масс этих тел. В очень частном случае, когда эти массы образуют некое тело вращения, то из симметрии задачи следует, что величина скорости
будет зависеть от прицельного расстояния
, но не от азимутального угла. А следовательно, полученная выше формула для
останется в силе. На самом деле эта симметрия будет сохранена и в гораздо более общем случае, если, например, проекция всех пролетающих с одинаковыми скоростями масс на поперечное сечение воображаемой поверхности будет обладать круговой симметрией.