Пролетело..

[dovlato]

Мимо неподвижной песчинки быстро пролетает по прямой на расстоянии $r$ от неё тело массой $M$ со скоростью $v_0$.
Найти скорость, которую обретёт песчинка после пролёта тела.

[fred1996]

Задачка поставлена не совсем корректно.
Когда расстояние $r$ у нас песчинка покоится, или уже движется?
Или песчинка покоилась, а из бесконечности со скоростью $v_0$ прилетело. А расстояние $r$ просто минимальное расстояние?
Уточните, пожалуйста, исходные данные.

[Mihaylo]

dovlato в сообщении #1201425 писал(а):

быстро пролетает

Видимо следует пренебречь движением тела "из бесконечности".

[Munin]

А гравитацией пренебречь тоже можно?

[dovlato]

1. Окромя гравитации, тут ничего и нет.
2. Задача чисто аппроксимационная, с большим параметром $v_0$. Но - без релятивизма.
Нулевое приближение - песчинка ещё не успела шелохнуться, а тело уже промчалось.
Речь о первом приближении. Хорошо бы без интегралов.

[fred1996]

Тогда из симметрии тело так же и умчится, а песчинка не шелохнется.
У нас ведь полная симметрия до сближения и после.

[dovlato]

?!?!

[wrest]

dovlato в сообщении #1201432 писал(а):

Но - без релятивизма.
Нулевое приближение - песчинка ещё не успела шелохнуться, а тело уже промчалось.

Так не получится, т.к. "без релятивизма" скорость гравитации бесконечна.

По сути задача на расчет гравитационного маневра траектории (прейдем в СО тела, тогда песчинка летит мимо него и имеется набор возможных траекторий из гиперболы, параболы и эллипса).

[fred1996]

Грубо говоря при достаточно большой скорости общая энергия больше нуля и задача сводится к стандартному расчету параметров гиперболической траектории: соотношение прицельного параметра, минимального сближения и угла между асимптотами гиперболы. Не знаю, как там их называют. Угол рассеяния, что ли?

[AnatolyBa]

dovlato в сообщении #1201432 писал(а):

Хорошо бы без интегралов.

Так таки совсем без интегралов? Это сильно усложняет дело.
Может немного можно? Скажем, интеграл от синуса в пределах от нуля до пи?

[fred1996]

AnatolyBa в сообщении #1201462 писал(а):

dovlato в сообщении #1201432 писал(а):

Хорошо бы без интегралов.

Так таки совсем без интегралов? Это сильно усложняет дело.
Может немного можно? Скажем, интеграл он косинуса в пределах от нуля до пи?

Есть еще форма гиперболы в полярных координатах.
Там все интегралы уже зашиты в параметры гиперболы.

[mihiv]

Если с интегралом, то $v\approx \dfrac {2GM}{rv_0}.$

[dovlato]

Господа, а чем вас не устраивает теорема Гаусса для потока поля.. Ответ у меня такой же.

[AnatolyBa]

Теорема Гаусса? Понимаю, забавный вариант.
Но все же поток это же поверхностный интеграл, так что без интегралов не обошлись. Тот, кто может применить к этой задаче теорему Гаусса, тот уж наверняка сможет и тот простенький интеграл взять который видимо мы с mihiv имеем в виду

[Munin]

dovlato в сообщении #1201523 писал(а):

Господа, а чем вас не устраивает теорема Гаусса для потока поля..

А при чём она тут? Задача на законы Кеплера.