2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Кольцо, нить
Сообщение16.01.2019, 22:40 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Прямая бесконечная нить перпендикулярна плоскости тонкого кольца.
Как нить, так и кольцо равномерно заряжены с единичной линейной плотностью заряда.
Отношение расстояния от нити до центра кольца к радиусу кольца равно $k$.
Найти силу их взаимодействия в зависимости от величины $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 12:14 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
План решения задачи:

1. Проведем ось $Ox$ в плоскости кольца через центр кольца нить.
2. Из соображений симметрии, сила между кольцом и нитью будет направлена вдоль оси $Ox$
3. Поле нити устроено просто. Записывает силу, которую оказывает нить на элемент кольца $d\vec{F}$. Берем её проекцию на $Ox$: $d(F_x)$
4. Интегрируем $d(F_x)$ по всему кольцу (по всем элементам кольца).

Считать интеграл лень. Но пока никакого подвоха и-или "олимпиадности" не вижу.
Может интеграл получится какой-то не берущийся в неопределенном виде, но считающийся в определенном?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 12:26 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
EUgeneUS
Все вычисления доводятся до конца без проблем. Единственный интересный момент - рассмотреть величину силы в случае, когда нить расположена внутри кольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 13:49 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Мне кажется, в этой задаче самое интересное — ответ.

(Ответ)

Если нигде не ошибся, то искомая сила взаимодействия равна 0 при $k<1$ и обратно пропорциональна $k$ при $k>1$.
Также очень интересен вопрос о том, можно ли получить ответ, не вычисляя никаких интегралов (по аналогии с задачей о равномерно заряженной сфере и точечном заряде).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EtCetera
Приведённый вами ответ навёл на мысль о том, что на самом деле задача - на двумерную теорию потенциала. В которой потенциал, усреднённый по окружности, равен потенциалу в её центре (если он подчиняется уравнению Лапласа). Действительно, красиво.

-- 17.01.2019 14:09:59 --

А внутри окружности потенциал нулевой, значит, окружность, охватывающая точку, не взаимодействует с ней.

-- 17.01.2019 14:18:38 --

Munin в сообщении #1369309 писал(а):
В которой потенциал, усреднённый по окружности, равен потенциалу в её центре (если он подчиняется уравнению Лапласа).

А собственно, это нам и не нужно. Достаточно взять точку в потенциале окружности (равном потенциалу её центра).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 14:34 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
EtCetera
Именно так и есть. О что у Вас при $k=1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 14:41 


05/09/16
11469
Igrickiy(senior) в сообщении #1369318 писал(а):
Именно так и есть.
Довольно необычно если так. Ведь сила в поле нити обратно пропорциональна первой степени расстояния до неё, а не второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 14:57 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
wrest в сообщении #1369320 писал(а):
Довольно необычно если так. Ведь сила в поле нити обратно пропорциональна первой степени расстояния до неё, а не второй.


Но и пространство двумерное, а не трехмерное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 15:24 


05/09/16
11469
EUgeneUS в сообщении #1369332 писал(а):
Но и пространство двумерное, а не трехмерное.

А, то есть Теорема Ньютона тут тоже катит в немного измененном виде, поскольку для сферы мы считаем площадь основания конуса которая пропорциональна квадрату расстояния, а для окружности -- длину дуги окружности, которая пропорциальна первой степени...
Ну тогда ясно. Соответственно, за границами кольца оно должно притягиваться к нити как его центр с помещенным туда всем зарядом, то есть -- обратно пропорционально первой степени расстояния от центра до нити.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 16:55 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ну, с интегралом всякий решит. Лучше с теоремой Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 16:59 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
wrest в сообщении #1369343 писал(а):
мы считаем площадь основания конуса которая пропорциональна квадрату расстояния

Лучше так не считать, поскольку для конуса это очевидное недоразумение. Но это aparte...
По сути.
Относительно взаимодействия нити и кольца. Рациональнее найти поле двумерного кольца во внутренней и внешней областях. Внутри поля нет, вне - поле обратно пропорционально расстоянию от его центра. И в этом поле расположена нить. Никакого интегрирования. Вполне можно предложить как олимпиадный вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 17:04 


05/09/16
11469
dovlato в сообщении #1369359 писал(а):
Ну, с интегралом всякий решит.
А без интеграла как поле нити посчитать "на пальцах"?

А хотя в принципе также как и с плоскостью наверное, да? С плоскостью же как: в тот же телесный угол помещается заряда пропорционально квадрату расстояния, а сила убывает пропорционально квадрату расстояния следовательно поле однородное. Ну а с нитью в тот же телесный угол попадает заряда пропорционально первой степени расстояния, а сила убывает по-прежнему пропорционально второй степени, два минус один равно один, так что в итоге сила убывает пропорционально первой степени расстояния. А конкретный коэффициент нам не нужен, только степень.
Круто! :!:

-- 17.01.2019, 17:07 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1369360 писал(а):
Рациональнее найти поле двумерного кольца во внутренней и внешней областях.

А мне вот кажется, что намного немного рациональней найти поле нити, тем боле что оно и так всем известно. И в этом поле расположено кольцо. :mrgreen: И прощее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 17:10 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Без интеграла - учесть, что сила, очевидно, не изменится, если вместо кольца поставить цилиндр того же радиуса, с осью, параллельной нити.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 17:12 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
wrest в сообщении #1369361 писал(а):
А мне вот кажется, что намного рациональней найти поле нити, тем боле что оно и так всем известно. И в этом поле расположено кольцо. :mrgreen: И прощее.

Если бы речь шла только о полях кольца или нити, то никакой разницы нет, к какой ситуации применять теорему Гаусса. К кольцу или к нити. Если речь идет о нахождении силы взаимодействия, то, зная всем известное поле нити, с неизбежностью придётся поупражняться в интегрировании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо, нить
Сообщение17.01.2019, 17:18 


05/09/16
11469
Igrickiy(senior) в сообщении #1369363 писал(а):
Если речь идет о нахождении силы взаимодействия, то, зная всем известное поле нити, с неизбежностью придётся поупражняться в интегрировании.

Как видите -- интегралы тут не нужны. Ну вот Ньютону они были не нужны когда он доказывал Теорему Ньютона, зачем они нам? И потом, это ведь в точности то же самое рассуждение, которое применяется вами, когда вы находите, что в кольце поле нулевое. Вы же как-то без интеграла это делаете - как?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group