Metford, я только что это сделал, и моей радости нет предела

Именно сделав эти преобразования координат я понял сущность векторов и ковекторов, и то что понятие это относительно, и зависит от того какой базис мы преобразовываем. Вот как я это понял:
Рассмотрим лин. пространство

, введем в нём базис

, теперь любой елемент этого пространства

.
Рассмотрим лин. пространство

, введем в нём базис

, теперь любой елемент этого пространства

.
Введем теперь такое соотношение между этими базисами:

.
Отсюда:

и

.
Рассмотрим в лин. пространстве

переход от старого базиса к новому:

. При этом получим:

. Матрицу

назовем прямой матрицей перехода от старого базиса к новому. Формально можно записать:

. Обратно:

. Очевидно,

. После нехитрых вычислений я получаю закон преобразования координат, в символичесском матричном виде:

и

.
Теперь, как преобразовываються компоненты обьекта

. Выхожу из этого: поскольку

, то по аналогии доставляю штрихи

. И потом получаю:

и

. Теперь наконец понял почему, если мы говорим что векторы ето столбики, то ковекторы должны быть строками, это вытекает из того что у их компонентов индексы на разных уровнях :)
Теперь самое интересное, проверяю:


а вот,

,
и главная причина этого как я понимаю сидит здесь:

.
И потом возникает такая мысль:

называют ковектором в том смысле, что при

, он преобразуется противоположно тому как это делает

. А если би мы рассматривали

, то обьект

преобразовывался бы "так как надо", для него теперь "вектор икс" был бы уже ковектором. То есть обьект может быть вектором или ковектором в зависимости от того чей базис мы меняем. Ковектором будет тот обьект чей базис мы не трогали.
Если обьект

и

один и тот же, то можно сказать что действие

равно действию

(или теперь стрелочку надо уже рисовать над

а не над иксом :)) и равно длине этого обьекта, длины

и

одинаковы.
И возникают эти два типа обьектом, потому что нам хочется рассматривать косоугольные с.к., но мы хотим чтобы что то сохранялось при замене базиса.