Дифференциальные формы в физике

[misha.physics]

Metford, спасибо, я очень благодарен вам за вашу готовность мне помочь. Я думаю, что со временем у меня выстроится связанная логическая картина. Сейчас мне кажется, что путаница возникала потому что я отождествлял понятые линейной формы $a$ и ковектора $a(a_1,...a_n)$. Для меня значение линейной формы на конкретном векторе был ковектор (а не число) отвечающий этому вектору. То есть $a(\vec{x})$ для меня означал ковектор $a$, то есть $a(\vec{x})=a$, то есть буква $a$ возле $(\vec{x})$ для меня была ковектором $a=a(a_1...a_n)$ (вот, наверное лучше я бы не сформулировал то что имею ввиду), а получается левая сторона это число (значение линейной формы $a$ на векторе), а правая это ковектор (обьект линейного пространства) отвечающий этому вектору, надеюсь я правильно понял? Хотя и не уверен. Просто их одинаковыми буквами позначают, вот и я построил аналогию с функцией $y=y(x)$. Здесь $y$ и $y(x)$ это одно и тоже, и если у нас векторнозначная функция векторного аргумента, то $y$ и $y(x)$ - векторы. (Наверное здесь я смутно выразился, но как-то так я это понимал. Здесь ведь ещё и от стиля мышления многое зависит :)).
Что касается вышеизложенного, то интуитивно, мне кажется, я понимаю что вы хотели сказать, но сейчас я думаю мне лучше читать книгу и по мере необходимости задавать вопросы :)

[Munin]

misha.physics в сообщении #1202263 писал(а):

И если мы теперь докажем что при переходе в штрихованую систему $a_{i \prime}=S^k_ia_k$, где $S$ - матрица обратная $T$ то мы получим что $x^ia_i=x^{i \prime}a_{i \prime}=inv$.

Окей. Доказывайте!
Вы это должны знать и понимать не только на уровне "мне так кажется" или "я так прочитал", но и на уровне "я сам могу доказать".

-- 21.03.2017 06:31:16 --

misha.physics в сообщении #1202268 писал(а):

Для меня значение линейной формы на конкретном векторе был ковектор (а не число) отвечающий этому вектору.

Нет, термины такие:
- линейная форма $a$ - многомерный объект, и её значение на конкретном векторе $a(x)$ - скаляр, число;
- то же самое называется $a$ - линейный функционал, и $a(x)$ - значение линейного функционала на конкретном векторе;
- то же самое называется $a$ - ковектор, и $a(x)$ - произведение (свёртка) ковектора с вектором.
Другие обозначения: $a=a_i,\quad a(x)=(a,x)=a_i x^i=\sum a_i x^i.$
Лучше не писать $a(a_1,...a_n),$ в крайнем случае пишите $a=(a_1,...a_n).$

-- 21.03.2017 07:00:53 --

misha.physics в сообщении #1202268 писал(а):

Просто их одинаковыми буквами позначают, вот и я построил аналогию с функцией $y=y(x)$. Здесь $y$ и $y(x)$ это одно и тоже

Не всегда. Когда есть конкретный объект $x$ (число), то $y(x)$ - значение функции при этом аргументе (тоже число). Это известное место с путаницей в обозначениях, однако попытки изгнать путаницу приводят к менее интуитивным обозначениям.

[arseniiv]

А тут уже написали, что «линейный функционал» — это прозрачная комбинация двух терминов? Функционал — это функция из чего-то в скаляры. Линейный — ну, понятно, такой, что $f(a + b) = f(a) + f(b)$ для всех подходящих $a, b$. После этого он уже не так страшен.

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1202379 писал(а):

А тут уже написали, что «линейный функционал» — это прозрачная комбинация двух терминов?

Линейную комбинацию знаю, а прозрачная - это как?

[arseniiv]

(Оффтоп)

[misha.physics]

Значит, весь корень моего непонимания лежал в том как я логичесски строил цепочку упрощения этого определения:
Функция $a(\vec{x})$ называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ $a(\vec{x})$ называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ $\sum x^ia_i$ называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ число называется линейной формой $\Longleftrightarrow$ число называется ковектором... и тут стоп. Но ковектор это же многомерный обьект :)
И сразу не очевидно что имеется ввиду, что $a(\vec{x})==(a, \vec {x})$, где под последним подразумевается обычное алгебраичесское умножение, и потом используется что $(f^i\vec {e}_j)=\delta ^i_j$. Для меня наличие скобок возле $a$ никак не изменяло природы обозначения $a$. И если мы буквой $a$ обозначили ковектор а его значение на векторе той же буквой но со скобками то для меня то $a$ что без скобок это тоже $a$ со скобками $a(\vec{x})$. Получается что то типа: линейная форма это значение этой линейной формы. А все потому, что мы хотим одной буквой обозначить и сам обьект и его действие на вектор. Вот если бы ми обозначили ковектор через $\tilde{a}$ (мы же пишем стрелочку над вектором чтобы понимать что это не число, а геометричесский обьект), то я бы дал такое определение (не строгое наверное, но не так запутывающее):
Линейной формой (ковектором) называют обьект линейного пространства $\tilde{a}$. Он действует на векторы линейного пространства и выдает число $a(\vec{x})==(\tilde{a}, \vec{x})$ где $\tilde{a}=(a_1,...,a_n)$.
Но тогда вообще нет небходимости писать $a(\vec x)$. Но если хочется то теперь $a(\vec x)$ означал бы значение линейной формы на векторе (число), а $\tilde {a}(\vec {x})$ - ковектор, который ми спариваем с $\vec {x}$, то есть $\tilde {a}(\vec {x})==\tilde {a}$. А в предыдущих обозначениях так не получиться: $a(\vec {x})\ne a$.
Ну думаю, теперь я это на всю жизнь запомню, хотя это и кажется тривиальностью :)

[realeugene]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1202388 писал(а):

Линейную комбинацию знаю, а прозрачная - это как?

Это такое женское бельё.

[fred1996]

(Оффтоп)

Линейная комбинация, это такой мат. И к тому же прозрачный.

[Munin]

misha.physics
Рад, что вы, кажется, разбираетесь.

[Metford]

misha.physics
Теперь делайте следующий шаг: переварите закон преобразования ковекторов и просто векторов - а затем переходите к формам более высоких степеней. Там уже и до внешних форм недалеко.

[misha.physics]

Metford, я только что это сделал, и моей радости нет предела Именно сделав эти преобразования координат я понял сущность векторов и ковекторов, и то что понятие это относительно, и зависит от того какой базис мы преобразовываем. Вот как я это понял:
Рассмотрим лин. пространство $V$, введем в нём базис $\vec {e}_i$, теперь любой елемент этого пространства $\vec {x}=x^i\vec {e}_i$.
Рассмотрим лин. пространство $V^*$, введем в нём базис $f^k$, теперь любой елемент этого пространства $a=a_kf^k$.
Введем теперь такое соотношение между этими базисами: $(f^k,\vec {e}_i)=\delta ^k_i$.
Отсюда: $x^i=(\vec {x}, f^i)$ и $a_k=(a, \vec {e}_k)$.

Рассмотрим в лин. пространстве $V$ переход от старого базиса к новому: $\vec {e}_i\to \vec {e}_{j \prime}$. При этом получим: $\vec {e}_{i \prime}=S^k_i\vec {e}_k$. Матрицу $S\equiv (S^k_i)$ назовем прямой матрицей перехода от старого базиса к новому. Формально можно записать: $\vec {e}^{\prime}=S \vec {e}$. Обратно: $\vec {e}=T\vec {e}^{\prime}$. Очевидно, $ST=E$. После нехитрых вычислений я получаю закон преобразования координат, в символичесском матричном виде: $\vec {x}^{\prime}=T \vec {x}$ и $\vec {x}=S\vec {x}^{\prime}$.

Теперь, как преобразовываються компоненты обьекта $a$. Выхожу из этого: поскольку $a_k=(a, \vec {e}_k)$, то по аналогии доставляю штрихи $a_{k\prime}=(a, \vec {e}_{k\prime})$. И потом получаю: $a^{\prime}=aS$ и $a=a^{\prime}T$. Теперь наконец понял почему, если мы говорим что векторы ето столбики, то ковекторы должны быть строками, это вытекает из того что у их компонентов индексы на разных уровнях :)

Теперь самое интересное, проверяю:
$(\vec {x}, \vec {x})=(S\vec {x}^{\prime}, S\vec {x}^{\prime})\ne (\vec {x}^{\prime}, \vec {x}^{\prime})\ne inv$
$(a, a)\ne (a^{\prime}, a^{\prime})\ne inv$
а вот,
$(\vec {x}, a)=(a, \vec{x})=(\vec {x}^{\prime}, a^{\prime})=inv$,
и главная причина этого как я понимаю сидит здесь: $(f^k,\vec {e}_i)=\delta ^k_i$.

И потом возникает такая мысль: $a$ называют ковектором в том смысле, что при $\vec {e}_i\to \vec {e}_{j \prime}$, он преобразуется противоположно тому как это делает $\vec {x}$. А если би мы рассматривали $f^k\to f^{n\prime}$, то обьект $a$ преобразовывался бы "так как надо", для него теперь "вектор икс" был бы уже ковектором. То есть обьект может быть вектором или ковектором в зависимости от того чей базис мы меняем. Ковектором будет тот обьект чей базис мы не трогали.

Если обьект $\vec {x}$ и $a$ один и тот же, то можно сказать что действие $a(\vec {x})$ равно действию $\vec {x}(a)$ (или теперь стрелочку надо уже рисовать над $a$ а не над иксом :)) и равно длине этого обьекта, длины $a$ и $\vec {x}$ одинаковы.

И возникают эти два типа обьектом, потому что нам хочется рассматривать косоугольные с.к., но мы хотим чтобы что то сохранялось при замене базиса.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):

Теперь самое интересное, проверяю:
$(\vec {x}, \vec {x})=(S\vec {x}^{\prime}, S\vec {x}^{\prime})\ne (\vec {x}^{\prime}, \vec {x}^{\prime})\ne inv$
$(a, a)\ne (a^{\prime}, a^{\prime})\ne inv$

Вот тут неточно: такие скобки, какие Вы используете, применяются для скалярного произведения. У Вас, как Вы сами говорите, эти две комбинации скалярами не являются. В обеих комбинациях два свободных индекса, поэтому они не являются скалярами. Но вывод Ваш принципиально верен.

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):

Если обьект $\vec {x}$ и $a$ один и тот же, то можно сказать что действие $a(\vec {x})$ равно действию $\vec {x}(a)$ (или теперь стрелочку надо уже рисовать над $a$ а не над иксом :))

А это Вы даже несколько больше сделали, чем хотели. Вы уже со связью линейного пространства и сопряжённого ему разобрались. Теперь только примите во внимание, что это всё так легко и хорошо для пространств конечной размерности - и пока этого будет более чем достаточно. А стрелочки можно вообще не рисовать, когда хорошо понимаете, что пишете В линейной алгебре этого уже и не делают обычно. Положение индекса вполне красноречиво.

В общем, Вас можно поздравить с существенным продвижением.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):

$\vec {e}^{\prime}=S \vec {e}$
$\vec {x}=S\vec {x}^{\prime}$

Вот здесь где-то напутано. Поскольку и $\vec{e}_i,$ и $\vec{x}$ - вектора из одного пространства, то и преобразовываться они должны по одному и тому же закону.

Это вы слишком вольно обошлись с обозначениями, а по сути, вроде, всё правильно.

-- 22.03.2017 00:51:22 --

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):

То есть обьект может быть вектором или ковектором в зависимости от того чей базис мы меняем. Ковектором будет тот обьект чей базис мы не трогали.

Не совсем так. Объект - это ковектор, пока мы смотрим на пространство $V.$ Но по отношению к пространству $V^*$ - это вектор.

Для конечномерных пространств существует канонический изоморфизм $V^{**}\cong V.$ Для бесконечномерных, я слышал, в общем случае это неверно. Из-за чего я бесконечномерный случай и не понимаю :-(

Но в силу этого изоморфизма, если мы сосредоточимся на $V^*,$ то наоборот, его элементы будут "векторами", а элементы $V$ - "ковекторами".

Но в физике так не делают, там всегда понятно, которое из пространств "настоящее".

misha.physics в сообщении #1202545 писал(а):

Если обьект $\vec {x}$ и $a$ один и тот же, то можно сказать что действие $a(\vec {x})$ равно действию $\vec {x}(a)$

Ага, есть такой взгляд :-)
$f(x)$ есть значение $x$ на $f.$

-- 22.03.2017 00:52:34 --

А теперь самое забавное, но может быть, сложное.
Надо понять операцию внешнего произведения типа $\omega=a\wedge b.$ Тогда вы будете знать не только ковекторы, но и все внешние формы.

[misha.physics]

Metford, спасибо. И вот ещё, какое следствие (раз я так разогнался ): если мы хотим посчитать скалярное произведение двух векторов $\vec {x}$ и $\vec {y}$, которые живут в пространстве $V$, в косоугольной системе координат, то мы должны для любого одного из из этих векторов взять соотвествующий ему ковектор в сопряженном пространстве, и потом просто скалярно умножить его на тот другой, который ми не трогали. Теперь уже очевидно, но приятно. Вчера я о таком даже не подозревал.

-- 22 мар 2017, 00:06 --

Munin, да, я невольно использовал символичесское обозначение для базисных векторов: $\vec {x}=(x^1,...,x^n)$, a $\vec {e}=(\vec {e_1},...,\vec {e_n})$.

Может так: обьект $a$ если смотреть на него из $V$ это ковектор если мы не смотрим на него из $V^*$, я так понял ваше уточнение. Это еквивалентно?

Значит в $V$ обьект $\vec {x}$ это вектор, в $V^*$ обьект $a$ это вектор, а вот когда мы из $V^*$ "тащим" обьект $a$ в $V$, то в $V$ обьект $a$ уже ковектор. Очень занятно :)

(Оффтоп)

Кстати, может показаться, зачем я все так детально расписываю? Думаю, я так учусь выражать свои мысли, да и может кому-то пригодится, кто столкнеться с таким же непониманием. А ещё это возможность практиковать русский язык (или, правильне, учить на практике), ведь когда читаеш это одно, а когда пишешь - совсем другое.

[Metford]

Munin в сообщении #1202552 писал(а):

Для бесконечномерных, я слышал, в общем случае это неверно.

Именно так. Но к линейной алгебре это не относится ("к науке, которую я в данный момент представляю, это не имеет никакого отношения" (с) - классика ). Этим уже функциональный анализ занимается.

Перед внешним произведением я бы всё-таки сначала немножко линейными формами высших степеней позанимался. Ну, для большей плавности, что ли.